ÿþW O J S K O W A A K A D E M I A T E C H N I C Z N A
i m . J a r o s Ba w a D b r o w s k i e g o
Z A K AA D A W I O N I K I I U Z B R O J E N I A L O T N I C Z E G O
P r z e d m i o t :
P O D S T A W Y A U T O M A T Y K I
( s t u d i a s t a c j o n a r n e I s t o p n i a )
W I C Z E N I E R A C H U N K O W E N r 1
C H A R A K T E R Y S T Y K I S T A T Y C Z N E
U K AA D Ó W A U T O M A T Y C Z N E J R E G U L A C J I
W a r s z a w a 2 0 1 3
W I C Z E N I E R A C H U N K O W E N R 1
T e m a t :
C h a r a k t e r y s t y k i s t a t y c z n e u k Ba d ó w a u t o m a t y c z n e j r e g u l a c j i
P o d c z a s w i c z e n i a p o r u s z a n e b d n a s t p u j c e z a g a d n i e n i a :
·ð l i n e a r y z a c j a r ó w n a D o p i s u j c y c h z a c h o w a n i e s i n i e l i n i o w e g o
e l e m e n t u a u t o m a t y c z n e j r e g u l a c j i ;
·ð w y z n a c z e n i e c h a r a k t e r y s t y k i s t a t y c z n e j u k Ba d u a u t o m a t y c z n e j
r e g u l a c j i .
1 . W i a d o m o [c i o g ó l n e
A b y d o k o n a a n a l i z y e l e m e n t ó w i u k Ba d ó w a u t o m a t y k i n a l e |y j e
s c h a r a k t e r y z o w a z a p o m o c d o s t p n y c h m e t o d o p i s o w o ,
a n a l i t y c z n i e , g r a f i c z n i e , i t p . W t y m c e l u n a l e |y o p i s a z j a w i s k a
f i z y c z n e z a c h o d z c e w a n a l i z o w a n y m u k Ba d z i e o r a z j e g o w Ba [c i w o [c i .
J e d n a k z a z w y c z a j u k Ba d y r z e c z y w i s t e s b a r d z o z Bo |o n e i o k r e [l e n i e
o g ó l n e w s z y s t k i c h w Ba [c i w o [c i m o |e b y t r u d n e l u b n a w e t n i e m o |l i w e .
W t a k i m p r z y p a d k u n a l e |y p o c z y n i r ó |n e g o r o d z a j u z a Bo |e n i a
u p r a s z c z a j c e , c z y l i n a l e |y u s t a l i k t ó r e e l e m e n t y u k Ba d u , j a k i e
z j a w i s k a i p a r a m e t r y o r a z j a k i e i c h z a k r e s y s i s t o t n e z p u n k t u w i d z e n i a
s t e r o w a n i a . O p r a c o w a n y w t e n s p o s ó b o p i s z a c h o w a n i a s i
p o j e d y n c z y c h e l e m e n t ó w l u b c a By c h u k Ba d ó w a u t o m a t y k i n a z y w a m y
m o d e l e m m a t e m a t y c z n y m e l e m e n t u l u b u k Ba d u a u t o m a t y k i . M o d e l e t e
m o g b y p r z e d s t a w i o n e z a p o m o c :
·ð r ó w n a n i e l u b u k Ba d r ó w n a D a l g e b r a i c z n y c h ,
r ó |n i c z k o w y c h , r ó |n i c o w y c h , c a Bk o w y c h , i t p . ;
·ð t r a n s m i t a n c j a o p e r a t o r o w a i w i d m o w a ;
·ð m o d e l u k Ba d u w p r z e s t r z e n i s t a n ó w ;
·ð c h a r a k t e r y s t y k i c z a s o w e i c z s t o t l i w o [c i o w e ;
·ð c h a r a k t e r y s t y k s t a t y c z n y c h i d y n a m i c z n y c h .
C h a r a k t e r y s t y k s t a t y c z n u k Ba d u n a z y w a m y z a l e |n o [ s y g n a Bu
w y j [c i o w e g o w f u n k c j i s y g n a Bu w e j [c i o w e g o w s t a n i e u s t a l o n y m , t z n .
g d y p o c h o d n e z m i e n n y c h ( w s p ó Br z d n y c h ) u k Ba d u w z g l d e m c z a s u s
r ó w n e z e r u ( p o z a n i k n i c i u p r o c e s u p r z e j [c i o w e g o d l a t ’! ") .
L i n e a r y z u j c u k Ba d y z Bo |o n e n a l e |y r o z p a t r z y c h a r a k t e r y s t y k i
s t a t y c z n e p o s z c z e g ó l n y c h e l e m e n t ó w u k Ba d u . L i n e a r y z a c j a j e s t
p r o c e s e m t w o r z e n i a m o d e l u l i n i o w e g o , k t ó r y a p r o k s y m o w a Bb y m o d e l
n i e l i n i o w y . T a k w i c , l i n e a r y z a c j a p o l e g a n a z n a l e z i e n i u t a k i c h
l i n i o w y c h r ó w n a D r ó |n i c z k o w y c h , k t ó r e z p e w n y m p r z y b l i |e n i e m
o p i s u j w Ba s n o [c i a n a l i z o w a n e g o u k Ba d u d l a n i e w i e l k i c h z m i a n
s y g n a Bó w w o k ó B i c h w a r t o [c i u s t a l o n e j .
2
P o o n e z o s t a n o d y l i n e a r y z
o d c z a s w i c z e D o m ó w i o d w i e m e t o z a c j i :
1 . l i n e a r y z a c j a s t a t y c z n a k t ó r a d o t y c z y u k t o m a t y k i
l a a , d k Ba d ó w a u t
o n i e l i n i o w y m a m i a l g e b r a i c z n y m i ;
o p i s a n y c h n m i r ó w n a n i a
2 . l i n e a r y z a c j a d y n a m i c d o t y Ba d ó w a u t
l a c z n a y c z c a u k B t o m a t y k i
o n i e l i n i o w y m a m i r ó |n i c z k
o p i s a n y c h n m i r ó w n a n i a k o w y m i .
2 . L i n e a a t y c z n a
a r y z a c j a s t a
N i e c d z i e z a l e |n o o a l e |n o [c i
c h d a n a b d o [ y = f ( x ) . G r a f i c z n y o b r a z t e j z a
p r z e d s t a
a w i a r y s . 1 .
P r o c a n a :
c e s l i n e a r y z a c j a p o l e g a
·ð s i e n i u u k Ba d d n y c h d o p u n k t u p r a c y
·ð p r z e n i e s d u w s p ó Br z y ;
·ð e n i u n a Bó w w o p i s i e m a t e m a
·ð z a s t p i e s y g n w a t y c z n y m
o d c h y l e n i a m i t y c h w a r t o [c i w p u n k c i e p r a
a c y ;
·ð e n i u k r z y w e j u j c e j z a l e | ) s t y c z n
·ð z a s t p i e e j r e p r e z e n t u |n o [ y = f ( x )
d o n i e j w p r a c y .
w p u n k c i e p
W p r z y p a d k u k i l k u s y g n a B o w y c h , n a p r z y k Ba d y =
p k a Bó w w e j [c i o = f ( x 1 , x 2 ) ,
w t e d y :
éð ùð éð ùð
éð ùð
¶ðf (ðx 1 , x 2 )ð ¶ðf (ðx 1 , x 2 )ð
¶ð
Dðy =ð ×ð Dðx 1 +ð ×ð Dðx 2 ( 1 )
êð êð
¶ðx 1 úð ¶ðx 2 úð
ëð ûð ëð ûð
ëð ûð
x 1 0 x 2 0
A n a l o g i y = f ( x 1 , x 2 , &
i c z n i e , g d y y & , x n ) , w t e d y :
éð ùð éð ùð
¶ðf (ðx 1 , x 2 , . . . , x n )ð ¶ðf (ðx 1 , x 2 , . . . , x n )ð
x
Dðy =ð ×ð Dðx 1 +ð . . . +ð ×ð Dðx n ( 2 )
Dðy Dð
êð êð
¶ðx 1 úð ¶ðx n úð
¶ð
ëð ûðx ëð ûðx
1 0 n 0
0
R y s . 1 . L i n e a y c z n a f u n k c j i
a r y z a c j a s t a t y i
P r z y k Ba d
d 1 .
C h a r a k t e r y s t y k e l e m e n t u o p i s y w a n e f u n k c j Y = X 2 p r z e
e g o e d s t a w i a
r y s . 2 . Z a k Ba d a j c , |e z a k r e s z w k t u
Z z m i e n n o [c i s y g n a Bó w w o k ó B p u n k p r a c y
X i , Y i j e s t m a By , r ó w n a n i e n i e l i n i o w e z a s t p u j e s i p r z y b
j e e b l i |o n y m
r ó w n a n i l i n i o w y u z y s k u j z a c e n w p r o w a d z p r z y b
i e m y m , j c z e n i a b l i |o n e g o
3
o p i s u m a t e m a t y c z m o | a a
z n e g o |l i w o [ z a s t o s o w a n i a t e o r i i u k Ba d ó w
l i n i o w y c
c h .
R y s . 2 . L i n n k c j i Y = X 2
n e a r y z a c j a f u n
J a k p o k a z a n o n a r y s . 2 , w y p y r y s u j e m y
n w y b i e r a m y p u n k t p r a c y ( X i , Y i ) i r
s t y c z n d o k r z y w e j w t y m p u n k t r u j c t e n p u n k t o t r z y m
k c i e . R o z p a t m a m y :
Y
Y =ð Y i +ð y +ð eð »ð Y i +ð y ( 3 )
y d Y
=ð - n a c p u n k c i e ( X i , Y i ) ( 4 )
c h y l e n i e w p ,
x d X
i
s t d :
d Y d
2
x )ð
y =ð x =ð (ðX )ð x =ð 2 X i x ( 5 )
d X d X
i i
z a t e m :
Y
Y =ð Y i +ð 2 X i x ( 6 )
C z s w a m y p o c z t w s p ó Br z d n y k t u p r a c y
s t o p r z e s u w t e k u k Ba d u w y c h d o p u n k
( p o Bo |e n w a g i ) o k r e [l o z w s p ó Br z d
n i a r ó w n o w o n e g o p r z e z d n e ( X i , Y i ) .
3 . L i n e a y n a m i c z n a
a r y z a c j a d y
4
J e d n z m e t o d s p r o w a d r ó w n n i e l i n i
n d d z a n i a n a D i o w y c h d o p o s t a c i
r ó w n a D l i n i o w y c h j j i d y n a m i c z p o l e g a n a
j e s t m e t o d a l i n e a r y z a c j z n e j , k t ó r a p
z a p i s a n i a n i e l i n i o w e s z e r e g i e m T o t o c z e n i u
i u r ó w n a n i a e g o u k Ba d u s T a y l o r a w o
p u n k t u p k t e m t y m j e s l o n y ( r ó w n o
p r a c y . P u n k s t s t a n u s t a l o w a g i ) .
P r z y z a Bo |e n i u |e o d c h y o d p u n k t u p r a j e s t n i e
y u , y l e n i e p a c y e w i e l k i e ,
m o |n a w T a y l o r a p o m w k t ó r y c h
w s z e r e g u T m i n c z [ n i e l i n i o w ( w y r a z y , w
w y s t p u w y |s z e p o c h o d n e j a k o d o t r z y m a n e
u j e e ) o s t a t e c z n i e m a B. O t
r ó w n a n i j e s t r ó w n l i n i o k t ó r o p i s u j e d y n a m i k u w
i e n a n i e m o w y m , r e d u k Ba d u
p u n k c i e p r a c y o r a z e w i e l k i m o t o c z e n i u , p o n i e w a | n i
z w j e g o n i e o i e l i n i o w e
c h a r a k t e a t y c z n e z a s t t y c z n y m i d o n i c h w p
e r y s t y k i s t a t p i l i [m y s t d p u n k t a c h
p r a c y .
C z s c h a r a k t s t a t y c z n e w y s t p u j w p o s t a c i r o d z i n y
s t o t e r y s t y k i s w w
c h a r a k t e w y e s t
e r y s t y k , w t e d y , g d y c h a r a k t e r y s t y k a j e f u n k c j w i e l u
z m i e n n y n p . m o m e n t o b r o s i l n i e l e k t r y c j e s t f u n k c j
y c h , o t o w y i k a c z n e g o t
d w ó c h p o d s t a w o w w i e l k o a m i a n e r u j c e g o
w y c h o [c i , a n o w i c i e n a p i c i a s t e
p r a c s i l e g o p r d k o [ w e j M = f ( U , n
l n i k a o r a z j e [c i o b r o t o w n ) .
L i n e u |o n e |y z y k t e r y s t y k i
e a r y z u j c u k Ba d y z Bo | n a l e | r o z p a t r z c h a r a k t
s t a t y c z n m e n t ó w u k Ba
n e p o s z c z e g ó l n y c h e l e m a d u .
R y a c h a r a k t e r y s y c h
y s . 3 . R o d z i n a s t y k s t a t y c z n y
d w s i l n i k a e l e k t r y U , n ) .
w u f a z o w e g o s y c z n e g o M ( U
U o g ó l n i d u r l i n e a r y i f u n k c j a :
i a j c p r o c e d y z a c j i : j e |e l i
&ð &ð
. ,
F (ðy , y , . . . y (ðn )ð, u , u , . . . , u (ðm )ð)ð=ð 0 ( 7 )
j e s t c i g i r ó |n i m y c h
g Ba i c z k o w a l n a w z g l d e m w s z y s t k i c h z m i e n n y c i i c h
p o c h o d n c z e n i u p u n k ó w n o w a g i ) ,
n y c h w o t o c k t u p r a c y ( r ó , t o :
&ð
(ð
y =ð y 0 , (ðy )ð =ð 0 . . . (ðy (ðn )ð)ð =ð 0
0 0
( 8 )
&ð
u
u =ð u 0 , (ðu )ð =ð 0 . . . (ðu (ðm )ð)ð =ð 0
0 0
5
F (ðy 0 , u 0 )ð=ð 0 ( 9 )
R o z w i j a m y f u n k c j p o l e w e j s t r o n i e r ó w n a n i a ( 7 ) w s z e r e g T a y l o r a :
&ð &ð
F (ðy , y , . . . , y (ðn )ð, u , u , . . . , u (ðm )ð)ð=ð
¶ðF ¶ðF ¶ðF
&ð
=ð F (ðy 0 , u 0 )ð+ð Dðy +ð Dðy +ð . . . +ð Dðy (ðn )ð +ð ( 1 0 )
&ð
¶ðy ¶ðy ¶ðy (ðn )ð
0 0 0
¶ðF ¶ðF ¶ðF
&ð
+ð Dðu +ð Dðu +ð . . . +ð Dðu (ðm )ð +ð R n
&ð
¶ðu ¶ðu ¶ðu (ðm )ð
0 0 0
g d z i e :
¶ðF
, Kð, i t d . - p o c h o d n e c z s t k o w e w p u n k c i e r ó w n o w a g i ;
¶ðy
0
&ð
Dðy , Dðy , Kð, i t d . - p r z y r o s t y s y g n a Bó w i i c h p o c h o d n y c h w z g l d e m c z a s u ,
l i c z o n e w o d n i e s i e n i u d o p u n k t u r ó w n o w a g i o z n a c z o n e g o
u m o w n i e p r z e z 0 :
&ð &ð &ð
Dðy =ð y -ð y 0 , Dðy =ð y -ð y 0 , Kð
&ð &ð &ð
Dðu =ð u -ð u 0 , Dðu =ð u -ð u 0 , Kð
R n r e s z t a n i e l i n i o w a r ó w n a s u m i e w y r a z ó w s z e r e g u T a y l o r a z a w i e r a j c y c h
p o c h o d n e c z s t k o w e r z d u d r u g i e g o .
G d y r o z w a |y m y z a c h o w a n i e s i e l e m e n t u p r z y n i e w i e l k i m
o d c h y l e n i u o d p o Bo |e n i a r ó w n o w a g i , t o p r z y r o s t y s y g n a Bó w i i c h
p o c h o d n y c h s n i e w i e l k i e , d l a t e g o w p r z y b l i |e n i u m o |n a p o m i n
w y r a z y z a w i e r a j c e i l o c z y n y p r z y r o s t ó w o r a z t e p r z y r o s t y w p o t g a c h
d r u g i e j i w y |s z e j , a z a t e m m o |n a p r z y j , |e R n = 0 . W t e d y p o
u w z g l d n i e n i u r ó w n a D ( 7 ) i ( 9 ) o t r z y m a m y z r ó w n a n i a ( 1 0 ) :
¶ðF ¶ðF ¶ðF
&ð
Dðy +ð Dðy +ð. . . +ð Dðy (ðn )ð +ð
&ð
¶ðy ¶ðy ¶ðy (ðn )ð
0 0 0
( 1 1 )
¶ðF ¶ðF ¶ðF
&ð
+ð Dðu +ð Dðu +ð. . . +ð Dðu (ðm )ð =ð 0
&ð
¶ðu ¶ðu ¶ðu (ðm )ð
0 0 0
J e |e l i u k Ba d j e s t s t a c j o n a r n y , t o w p u n k c i e p r a c y o d p o w i a d a j c y m
p u n k t o w i r ó w n o w a g i , p o c h o d n e c z s t k o w e w y s t p u j c e w r ó w n a n i u
( 1 1 ) s s t a Be :
6
¶ðF ¶ðF ¶ðF
F
a 0 =ð , a 1 =ð , . . a n =ð
=ð . . ,
&ð
¶ðy ¶ðy ¶ðy (ðn )ð
0 0 0
¶ðF ¶ðF ¶ðF
F
b 0 =ð , b 1 =ð , . . . , b m =ð
=ð
&ð
¶ðu ¶ðu ¶ðu (ðm )ð
0 0 0
W ó w n a n i e ( 1 1 ) p r o s t a :
w c z a s r ó w n r z y j m u j e p o
a n Dðy (ðn )ð +ð a n -ð1 Dðy (ðn -ð1 )ð +ð. . . +ð a 1 Dðy +ð a 0 Dðy =ð
Dð Dð &ð y
&ð
=ð b m Dðu (ðm )ð +ð b m -ð1 Dðu (ðm -ð1 )ð +ð. . . +ð b 1 Dðu +ð b 0 Dðu
b
m 0
P r z y k Ba d
d 2 .
O p i s k u k Ba d u m n a p r z e d s t a w
s a d y n a m i k m a s a t Bu m i k - s p r |y n w i o n y n a
r y s . 4 . N a r y s u n k u t t a w i o n o r ó w a k t e r y s t y k i s
N t y m p r z e d s t w n i e | c h a r a s t a t y c z n e
s i By b e z s p r |y n y . S y g n a Be m w e j [c i o w y m j e s t s i Ba
z w Ba d n o [c i , t Bu m i k a i s S w
x ( t ) , a s y y j [c i o w y m p a s y y ( t ) .
y g n a Be m w y j p o Bo |e n i e m a
R y s p r |y n a i j e y s t y k i s t a t y c z n
y s . 4 . U k Ba d m a s a t Bu m i k e g o c h a r a k t e r y n e .
O p i s u k B d s t a w i e z a s a o s t a :
Ba d u n a p o d a d y d A l a m b e r t a m a p o
&ð&ð &ð
jð =ð f m y +ð f b y +ð f c y -ð x t =ð 0 ( 1 2 )
jð =ð
(ð )ð (ð )ð (ð )ð (ð )ð
(ð
g d z i e : f m s i Ba b e z w Ba d
d n o [c i ;
f o r z o n a p r z e z t
f b s i Ba w y t w o t Bu m i k ;
f y n y .
f c s i Ba s p r |y
R o z p h a r a k t e r y s t y s t a t y c z n u k Ba d u m o |e m y z a p |e
p a t r u j c c h y k i n e m p i s a ,
f u n k c j a jð j e s t n i e l i n i o w z &ð&ð &ð l i n i o w y m
z a l e |n o [c i y , y , y , x ( n i e l
r ó w n a n i g i e g o r z d u
i e m r ó |n i c z k o w y m d r u g u ) :
&ð&ð &ð &ð&ð &ð
jð éð f m y , f b y , f c y , x t ùð =ð jð y , y , y , x =ð 0 ( 1 3 )
f ùð y
(ð )ð (ð )ð (ð )ð (ð )ðûð [ð ]ð
ëð ûð
R ó w ( 1 3 ) j e s t o g ó p o s t a c r ó w n a n i a ( 1 2 ) . W c e l u
w n a n i e ) ó l n c i
p r z e p r o w l i j i e m y
w a d z e n i a l i n e a r y z a c j i t e j f u n k c j p r z y j m u j e p u n k t p r a c y o
7
&ð&ð &ð
w s p ó Br z d n y c h : y =ð 0 , y =ð 0 , y = y 0 , x ( t ) = x 0 , t j . s t a n u s t a l o n y w
&ð&ð &ð
u k Ba d z i e ( y =ð 0 , y =ð 0 ) , g d z i e p o Bo |e n i e m a s y y 0 w y n i k a z d z i a Ba n i a s i By
x 0 ( w s t a n i e u s t a l o n y m r ó w n a n i e ( 1 2 ) m a p o s t a f c = x 0 ) .
R o z w i j a j c n i e l i n i o w f u n k c j w s z e r e g T a y l o r a w o t o c z e n i u
p r z y j t e g o p u n k t u p r a c y ( 0 , 0 , y 0 , x 0 ) o t r z y m a m y :
&ð&ð &ð
Dðjð =ð jð Dðy , Dðy , y 0 +ð Dðy , x 0 +ð Dðx -ðjð 0 , 0 , y 0 , x 0 =ð
(ð)ð (ð )ð
o o o o
æð öð æð öð æð öð ¶ðjð
¶ðjð ¶ðjð ¶ðjð
æð öð
&ð&ð &ð
=ð Dðy +ð Dðy +ð Dðy +ð Dðx +ð ( 1 4 )
çð ÷ð çð ÷ð çð ÷ð çð ÷ð
&ð&ð &ð
¶ðy ¶ðy ¶ðy ¶ðx
èð øð
èð øð èð øð èð øð
o o o
æð öð æð öð æð öð
1 ¶ð2 jð 1 ¶ð2 jð 1 ¶ð2 jð
&ð&ð &ð&ð &ð &ð&ð
=ðDðy 2 +ð Dðy Dðy +ð Dðy Dðy +ðKð+ð
÷ð ÷ð
&ð&ð &ð&ð &ð &ð&ð
2 ! çð ¶ðy 2 ÷ð 2 ! çð ¶ðy ¶ðy 2 ! çð ¶ðy ¶ðy
èð øð èð øð èð øð
1ð4ð4ð4ð4ð4ð4ð4ð4ð4ð4ð4ð2ð4ð4ð4ð4ð4ð4ð4ð4ð4ð4ð4ð4ð
4ð 3ð
R
o o o o
æð æð
g d z i e : æð ¶ðjð öð , çð ¶ðjð öð , çð ¶ðjð öð , æð ¶ðjð öð - p o c h o d n e c z s t k o w e w p u n k c i e p r a c y ;
çð ÷ð ÷ð ÷ð çð ÷ð
&ð&ð &ð
¶ðy ¶ðy ¶ðy ¶ðx
èð øð
èð øð èð øð èð øð
&ð&ð &ð
- o d c h y l e n i a s y g n a Bó w y , y , y , x o d p u n k t u p r a c y ;
&ð&ð &ð
Dðy , Dðy , Dðy , Dðx
R n n i e l i n i o w a c z [ r o z w i n i c i a f u n k c j i jð w s z e r e g T a y l o r a .
Z r ó w n a n i a ( 1 3 ) w y n i k a , |e l e w a s t r o n a r ó w n a n i a ( 1 4 ) j e s t r ó w n a
z e r u . P o m i j a j c n i e l i n i o w c z [ s z e r e g u T a y l o r a R n j a k o d o s t a t e c z n i e
m a B o t r z y m a m y r ó w n a n i e r ó |n i c z k o w e l i n i o w e p o s t a c i :
o o o o
æð öð æð öð æð öð ¶ðjð
¶ðjð ¶ðjð ¶ðjð
æð öð
&ð&ð &ð
Dðy +ð Dðy +ð Dðy +ð Dðx =ð 0 ( 1 5 )
çð ÷ð çð ÷ð çð ÷ð çð ÷ð
&ð&ð &ð
¶ðy ¶ðy ¶ðy ¶ðx
èð øð
èð øð èð øð èð øð
P o d a n e w y |e j r o z w a |a n i a m o |n a Ba t w o u o g ó l n i n a p r z y p a d e k
u k Ba d u o d o w o l n e j l i c z b i e w e j [ i o p i s a n e g o r ó w n a n i e m d o w o l n e g o
r z d u .
W t y m p r z y p a d k u , o b l i c z a j c p o c h o d n e c z s t k o w e p o p r z e z
r ó |n i c z k o w a n i e r ó w n a n i a ( 1 2 ) o r a z w y k r e [l a j c s t y c z n e w p u n k c i e
p r a c y d o c h a r a k t e r y s t y k s t a t y c z n y c h ( r y s . 4 ) o t r z y m a m y :
o o
æð öð æð d f m öð Dðf m
¶ðjð
=ð =ð =ð m
çð ÷ð çð ÷ð
&ð&ð &ð&ð &ð&ð
¶ðy d y Dðy
èð øð èð øð
o o
æð öð æð d f b öð Dðf b
¶ðjð
=ð =ð =ð b 0 ( 1 6 )
çð ÷ð çð ÷ð
&ð&ð &ð
¶ðy d y Dðy
èð øð èð øð
o o
æð öð æð d f c öð Dðf c
¶ðjð
=ð =ð =ð c 0
çð ÷ð çð ÷ð
¶ðy d y Dðy
èð øð èð øð
8
o o
¶ðjð d x
æð öð æð öð
=ð -ð =ð -ð1
çð ÷ð çð ÷ð
¶ðx d x
èð øð èð øð
g d z i e : m m a s a u k Ba d u , w t y m p r z y p a d k u j e s t o n a s t a Ba i d l a t e g o c h a r a k t e r y s t y k a
F m ( y ) j e s t l i n i a p r o s t ; b 0 w s p ó Bc z y n n i k t Bu m i e n i a t Bu m i k a w p u n k c i e y = 0 ;
c 0 w s p ó Bc z y n n i k s p r |y n y w p u n k c i e y = y 0 .
¶ð
W r ó w n a n i a c h ( 1 6 ) p o c h o d n e c z s t k o w e z a s t p i l i [m y
¶ð
d
&ð&ð &ð
p o c h o d n y m i , p o n i e w a | f u n k c j e f m y , f b y , f c y i x ( t ) s
(ð )ð (ð )ð (ð )ð
d
f u n k c j a m i j e d n e j z m i e n n e j .
W p r o w a d z a j c p o w y |s z e o z n a c z e n i a o t r z y m a m y z l i n e a r y z o w a n e
r ó w n a n i a r ó |n i c z k o w e o p i s u j c e d y n a m i k u k Ba d u m a s a t Bu m i k
s p r |y n a w p o s t a c i :
2
d Dðy d Dðy
m +ð b 0 +ð c 0 Dðy =ð Dðx ( 1 7 )
d t 2 d t
g d z i e : Dðy i Dðx o d c h y l e n i a z m i e n n y c h y i x o d p u n k t u p r a c y .
W o m a w i a n y m p r z y k Ba d z i e l i n e a r y z a c j m o |n a p r z e p r o w a d z i
p r o [c i e j l i n e a r y z u j c k o l e j n o w y r a z y r ó w n a n i a ( 1 2 ) , t o z n a c z y f u n k c j e
&ð&ð &ð
f m y , f b y , f c y . R o z p i s u j c p o w y |s z e f u n k c j e w s z e r e g T a y l o r a i
(ð )ð (ð )ð (ð )ð
p o m i j a j c n i e l i n i o w c z [ t e g o s z e r e g u o t r z y m a m y b e z p o [r e d n i o :
o
2
æð d f m öð d Dðy
&ð&ð &ð&ð
Dðf m y =ð Dðy =ð m
(ð )ð
çð ÷ð
&ð&ð
d y d t 2
èð øð
o
æð d f b öð d Dðy
&ð&ð
Dðf b y =ð Dðy =ð b 0 ( 1 8 )
(ð )ð
çð ÷ð
&ð
d y d t
èð øð
o
æð d f c öð
Dðf c y =ð Dðy =ð c 0 Dðy
(ð )ð
çð ÷ð
d y
èð øð
o
d x
æð öð
Dðx t =ð Dðx =ð Dðx
(ð )ð
çð ÷ð
d x
èð øð
P o d s t a w i a j c r ó w n a n i e ( 1 8 ) d o r ó w n a n i a ( 1 2 ) o t r z y m a m y r ó w n a n i e
z l i n e a r y z o w a n e p o s t a c i :
2
d Dðy d Dðy
m +ð b 0 +ð c 0 Dðy =ð Dðx ( 1 9 )
d t 2 d t
9
c z y l i t a k s a m p o s t a j w p o p m a w i a n e j m
i m j a k p r z e d n i o o m m e t o d z i e
( r ó w n a n
n i e 1 7 ) .
P r z y k Ba d
d 3 .
J a k o p r z y k Ba d n a l i n e a r y z u k Ba d n i e l i n i o w n i e c h p o s Bu |y
o z a c j d u w e g o h
z b i o r n i k w w y p By s w o b o d n y m c i e c z y . S c h e m a t o p i s y
k y w e m y w a n e g o
e l e m e n t u p o k a z a n o n a r y s . 3 . 3 g d z i e s y g j [c i o w y m i s Q 1
u o 3 , g n a Ba m i w e j s :
n a t |e n i z b i o r n i k a o r i e r z c h n i a p r
i e d o p By w u c i e c z y d o z r a z f p o w i r z e p By w u
p r z e z z a o w y m j e s t h p o z i o m c o r n i k u .
a w ó r , s y g n a Be m w y j [c i o c i e c z y w z b i o
W s t u s t a l o n y c h z i o m u c i e c z y k u m o |n a
t a n a c h n i e u z m i a n y p o z i y w z b i o r n i k
o p i s a z r ó w n a n i a :
z a p o m o c r
d h
A =ð Q 1 -ð Q 2 ( 2 0 )
A Q
d t
g d z i e : A i a p r z e k r o j u p o z b i o r n i k a ;
p o w i e r z c h n i o p r z e c z n e g o z
R ó w m ó w i , |e z m i b i o r n i k u j e s
w n a n i e t o m i a n a i l o [c i c i e c z y w z b s t r ó w n a
r ó |n i c y n a t |e n i a d o p By w u Q 1 i n a t | w y p B Q 2 c z e
|e n i a By w u c i e c z y
z b i o r n i k
k a .
R y s . 5 s w o b o d n y m c
5 . Z b i o r n i k z w y p By w e m s c i e c z y .
J e [l i m y r ó w n a n i e g o d l a p r z e
i r o z p a t r z y m i e B e r n o u l i e e k r o j ó w 1 - 1 i 2 - 2 :
V 1 2 p 1 V 2 2 p 2
p
+ð
+ð +ð h =ð +ð +ð 0 ( 2 1 )
2 g gð 2 g gð
gð
p r z y j = p 2 ( c i [n i e f e r y c z n e ) ,
y j m u j c p r d k o [ V 1 = 0 o r a z p 1 = e n i e a t m o s f e
o t r z y m a
a m y :
V 2 =ð 2 g h ( 2 2 )
p o n i
i e w a |:
1 0
Q 2 =ð f V 2 =ð f 2 g h ( 2 3 )
W s t a w i a j c r ó w n a n i e ( 2 3 ) d o r ó w n a n i a ( 2 0 ) o t r z y m a m y ;
d h
A =ð Q 1 -ð f 2 g h ( 2 4 )
d t
R ó w n a n i e ( 2 4 ) o k r e [l a j c e z a c h o w a n i e o m a w i a n e g o u k Ba d u j e s t
r ó w n a n i e m r ó |n i c z k o w y m n i e l i n i o w y m , k t ó r e n a l e |y z l i n e a r y z o w a .
P r z y j m i j m y w s p ó Br z d n e p u n k t u p r a c y h n , Q 1 n , f n , w o t o c z e n i u , k t ó r e g o
p r z e p r o w a d z i m y l i n e a r y z a c j . W s p ó Br z d n e p u n k t u p r a c y w y n i k a j z
r ó w n a n i a o k r e [l a j c e g o s t a n u s t a l o n y w u k Ba d z i e . S t a n u s t a l o n y w t y m
p r z y p a d k u j e s t o k r e [l o n y s t a Bo [c i p o z i o m u c i e c z y w z b i o r n i k u d h / d t = 0 .
S t d z r ó w n a n i a ( 2 4 ) w y n i k a , |e r ó w n a n i e o p i s u j c e s t a n u s t a l o n y
m a p o s t a :
Q 1 =ð f 2 g h ( 2 5 )
Z w y m a g a D s t a w i a n y c h p r o j e k t o w a n i u u k Ba d u p o d a n e b d z i e n p . |e
p o z i o m c i e c z y w z b i o r n i k u w y n o s i h n , a n a t |e n i e d o p By w u c i e c z y d o
z b i o r n i k a w y n o s i Q 1 n . Z r ó w n a n i a ( 2 5 ) m o |e m y o k r e [l i p o w i e r z c h n i
p r z e p By w u p r z e z z a w ó r f n :
Q 1 n
f n =ð ( 2 6 )
2 g h n
P r z e p r o w a d z a j c l i n e a r y z a c j r ó w n a n i a ( 2 4 ) w o k ó B p u n k t u p r a c y
z a s t p u j e m y r z e c z y w i s t e w i e l k o [c i w y s t p u j c e w r ó w n a n i u i c h
p r z y r o s t a m i Dð, s t d o t r z y m a m y :
d Dðh
A =ð DðQ 1 -ð DðQ 2 ( 2 7 )
d t
W r ó w n a n i u t y m n i e l i n i o w o [ u k r y t a j e s t w DðQ 2 , w o b e c c z e g o
w y s t a r c z y z l i n e a r y z o w a t y l k o t c z [ r ó w n a n i a . A b y z l i n e a r y z o w a
u k Ba d r o z p i s z e m y n i e l i n i o w f u n k c j o k r e [l a j c n a t |e n i e w y p By w u
c i e c z y Q 2 = Q 2 ( h , f ) w s z e r e g T a y l o r a :
¶ðQ 2 ¶ðQ 2 1 ¶ð2 Q 2 1 ¶ð2 Q 2
DðQ 2 =ð Dðh +ð Dðf +ð Dð2 h +ð Dðh Dðf +ð. . . ( 2 8 )
h =ðh n
¶ðh ¶ðf h =ðh n 2 ! ¶ðh 2 2 ! ¶ðh ¶ðf
4ð2ð4ð4ð4ð4ð4ð4ð
f =ð f n 1ð4ð4ð4ð4ð4ð 3ð
f =ð f n
R
1 1
g d z i e : R n i e l i n i o w a c z [ s z e r e g u T a y l o r a m o |e b y p o m i n i t a , o i l e
j e s t d o s t a t e c z n i e m a Ba .
P r z y j m u j c :
¶ðQ 2 ¶ðQ 2
=ð a 1 =ð a 2 ( 2 9 )
h =ðh n
¶ðh ¶ðf
h =ðh n
f =ð f n
f =ð f n
i w s t a w i a j c r ó w n a n i e ( 2 8 ) i ( 2 9 ) d o r ó w n a n i a ( 2 7 ) o t r z y m a m y
z l i n e a r y z o w a n e r ó w n a n i e o p i s u j c e z a c h o w a n i e u k Ba d u :
d Dðh
A +ð a 1 Dðh =ð DðQ 1 -ð a 2 Dðf ( 3 0 )
d t
W r ó w n a n i u n a l e |y w y z n a c z y w a r t o [c i w s p ó Bc z y n n i k ó w a 1 , a 2 ,
k t ó r e m o |n a p r z e p r o w a d z i d w o m a m e t o d a m i :
1 . P o n i e w a | z n a m y r ó w n a n i e o k r e [l a j c e f u n k c j Q 2 = Q 2 ( f , h )
m o |e m y p o l i c z y b e z p o [r e d n i o w a r t o [c i t y c h w s p ó Bc z y n n i k ó w o b l i c z a j c
w a r t o [c i o d p o w i e d n i c h p o c h o d n y c h c z s t k o w y c h w p u n k c i e p r a c y :
¶ðQ 2 g
a 1 =ð=ð f n
h =ðh n
¶ðh 2 h n
f =ð f n
( 3 1 )
¶ðQ 2
a 2 =ð=ð 2 g h n
¶ðf h =ðh n
f =ð f n
2 . G d y b y f u n k c j a Q 2 = Q 2 ( f , h ) n i e b y Ba b y z n a n a , t o n a l e |y
p r z e p r o w a d z i o d p o w i e d n i e p o m i a r y m a j c e n a c e l u o k r e [l e n i e
z a l e |n o [c i Q 2 o d f o r a z h . P r z y k Ba d o w e w y n i k i p o m i a r ó w p r z e d s t a w i o n e
s n a r y s . 6 i r y s . 7 .
P o z l i n e a r y z o w a n i u , t z n . z a s t p i e n i u o d p o w i e d n i c h k r z y w y c h n a
r y s . 6 i r y s . 7 , s t y c z n y m i d o n i c h w p u n k c i e p r a c y o r a z o k r e [l e n i u i c h
n a c h y l e n i a o t r z y m a m y :
¶ðQ 2 DðQ 2
a 1 =ð=ð
h =ðh n
¶ðh Dðh
f =ð f n
¶ðQ 2 DðQ 2
a 2 =ð=ð
¶ðf Dðf
h =ðh n
f =ð f n
1 2
R y s . 6 . C h a r a k t e r y s n a z a w o r u Q 2 = Q 2 ( h ) .
s t y k a s t a t y c z n
2
R y s . 7 . C h a r a k t e r y s n a z a w o r u Q 2 = Q 2 ( f ) .
s t y k a s t a t y c z n
2
P r z y k Ba d
d 4 .
W y z l a n e a n i e u j c e c h o w a n i e
z n a c z y z l i n e a r y z o w a r ó w n a o p i s u z a c
d w u f a z o n i k a k t r y c z n e g o n i e o b c i |o n e g o m o
o w e g o s i l n e l e k o m e n t e m
z e w n t r z o m o m e n c i e b e r
z n y m , e z w Ba d n o [c i w i r n i k a r ó w n y m I . R o d z i n a
c h a r a k t e y c z n y c h t e g o d a n a j e s t n
e r y s t y k s t a t y g o s i l n i k a p o n a r y s . 8 .
R y s . 8 . C y k i s t a t y c z n e s i l n i k a d w u f
C h a r a k t e r y s t y f a z o w e g o .
1 3
R ó w n a n i e o p i s u j c e z a c h o w a n i e s i t a k i e g o s i l n i k a w y n i k a z p r a w a
d A l e m b e r t a :
&ð
I ×ðn =ð M n , U ( 3 2 )
(ð )ð
g d z i e : M m o m e n t o b r o t o w y s i l n i k a ;
U - n a p i c i e z a s i l a j c e b d c e w i e l k o [c i w e j [c i o w ;
n p r d k o [ o b r o t o w a s i l n i k a b d c a w i e l k o [c i w e j [c i o w ;
R ó w n a n i e ( 3 2 ) j e s t r ó w n a n i e m r ó |n i c z k o w y m n i e l i n i o w y m
( n i e l i n i o w e c h a r a k t e r y s t y k i s t a t y c z n e r y s . 8 ) , k t ó r e n a l e |y
z l i n e a r y z o w a . P r z y j m u j e m y p u n k t p r a c y A o w s p ó Br z d n y c h n 0 i U 0 ,
p o n i e w a | w r ó w n a n i u ( 3 2 ) n i e l i n i o w a j e s t f u n k c j a M ( n , U ) , r o z p i s u j e m y
j w s z e r e g T a y l o r a :
¶ðM ¶ðM
DðM ( n , U ) =ð Dðn +ð DðU +ð R ( 3 3 )
n =ðn 0 n =ðn 0
¶ðn ¶ðU
U =ðU 0 U =ðU 0
P r z e c h o d z c n a p r z y r o s t y w i e l k o [c i o d p u n k t u p r a c y i p r z y j m u j c ,
|e R n i e l i n i o w a c z [ s z e r e g u T a y l o r a j e s t r ó w n a z e r u , o t r z y m a m y
z l i n e a r y z o w a n e r ó w n a n i e o p i s u j c e z a c h o w a n i e o m a w i a n e g o s i l n i k a
d w u f a z o w e g o w p o s t a c i :
¶ðM ¶ðM
&ð
I Dðn =ð Dðn +ð DðU ( 3 4 )
n =ðn 0 n =ðn 0
¶ðn ¶ðU
U =ðU 0 U =ðU 0
O d p o w i e d n i o p o r z d k u j c r ó w n a n i e ( 2 4 ) o t r z y m a m y :
¶ðM ¶ðM
&ð
I Dðn -ð Dðn =ð DðU ( 3 5 )
n =ðn 0 n =ðn 0
¶ðn ¶ðU
U =ðU 0 U =ðU 0
¶ðM
a d z i e l c s t r o n a m i p r z e z o t r z y m a m y :
n =ðn 0
¶ðn
U =ðU 0
&ð
T Dðn +ðDðn =ð k DðU ( 3 6 )
¶ðM
I
¶ðU
g d z i e : T =ð ; k =ð
¶ðM ¶ðM
-ð-ð
¶ðn ¶ðn
1 4
W a r t o [ p o c h o d n y c h c z s t k o w y c h w y s t p u j c y c h w e w z o r z e ( 3 3 )
o k r e [l a m y z c h a r a k t e r y s t y k s t a t y c z n y c h s i l n i k a r y s . 8 . N p . p r z y j m u j c
p u n k t p r a c y u 0 = 8 0 V , n 0 = 5 0 0 r a d / s o r a z I = 0 , 2 · 1 0 - 6 N s 2 m ,
o t r z y m a m y :
¶ðM DðM U 6 ×ð1 0 -ð3
-ð1
=ð =ð =ð1 , 5 ×ð1 0 -ð4 N m V ( 3 7 )
n =ðn 0
¶ðn DðU 4 0
U =ðU 0
¶ðM DðM n 1 , 2 ×ð1 0 -ð3
=ð =ð =ð 4 ×ð1 0 -ð6 N s m
n =ðn 0
¶ðn DðU 3 0 0
U =ðU 0
S t d :
0 , 2 ×ð1 0 -ð6 1 , 5 ×ð1 0 -ð4
-ð1
T =ð=ð 0 , 0 5 s ; k =ð=ð 3 7 , 5 V s -ð1
4 ×ð1 0 -ð6 4 ×ð1 0 -ð6
P o d s t a w i a j c o b l i c z o n e w a r t o [c i d o r ó w n a n i a ( 3 4 ) o t r z y m a m y
o s t a t e c z n p o s t a z l i n e a r y z o w a n e g o r ó w n a n i a o p i s u j c e g o o m a w i a n y
u k Ba d :
d Dðn
0 , 0 5 +ð Dðn =ð 3 7 , 5 DðU ( 3 8 )
d t
P r z y k Ba d 5 .
D a n y j e s t o b w ó d e l e k t r y c z n y ( r e z y s t o r + c e w k a z r d z e n i e m )
p r z e d s t a w i o n y n a r y s . 9 .
R y s . 8 . S c h e m a t o b w o d u e l e k t r y c z n e g o .
S t r u m i e D m a g n e t y c z n y d Ba w i k a w y n o s i :
¨ k = c o n s t
R ó w n a n i e u k Ba d u m o |n a z a p i s a :
1 5
( 3 9 )
P o d s t a w i a j c z a Yð( t ) , o t r z y m a m y :
( 4 0 )
R ó w n a n i e ( 4 0 ) z a p i s z e m y w o g ó l n e j p o s t a c i :
, , 0 ( 4 0 )
P r z y j m u j e m y p u n k t u s t a l o n e j p r a c y p r z y n a p i c i u u 0 i p r d z i e i 0 .
N a s t p n i e z n a j d u j e m y p o c h o d n e c z s t k o w e w z g l d e m c z a s u w p u n k c i e
p r a c y :
, 0
1
R o z w i j a j c l e w s t r o n r ó w n a n i a ( 4 0 ) w s z e r e g T a y l o r a w o t o c z e n i u
p u n k t u p r a c y u s t a l o n e j u = u 0 i i = i 0 , o t r z y m u j e m y p o p o m i n i c i u r e s z t y
n i e l i n i o w e j :
" " " 0 ( 4 1 )
P o p o d s t a w i e n i u p o c h o d n y c h c z s t k o w y c h w p u n k c i e p r a c y
o t r z y m a m y :
( 4 2 )
" " "
P r z y j m u j c Dði = i o r a z Dðu = u u z y s k u j e m y :
( 4 3 )
P r z y k Ba d 6 .
D o k o n a l i n e a r y z a c j i r ó w n a n i a r ó |n i c z k o w e g o ( 4 4 ) w p u n k c i e
p r a c y y 0 = 0 , 5 , d y 0 / d t = 1 , d y 0 2 / d t 2 = 0 , 4 .
1 6
3 4 3 3 ( 4 4 )
R o z w i j a m y f u n k c j p o l e w e j s t r o n i e r ó w n a n i a ( 4 4 ) w s z e r e g T a y l o r a
o r a z p o m i j a j c n i e l i n i o w c z [ t e g o r o z w i n i c i a o t r z y m u j e m y
r ó w n a n i e :
" " " "
" " ( 4 5 )
O b l i c z a j c p o c h o d n e c z s t k o w e w p u n k c i e p r a c y o t r z y m u j e m y :
8 3 8 " 0 , 5 " 1 " 0 , 4 3 " 0 , 4 2 , 0 8
8 1 8 " 0 , 5 " 1 " 0 , 4 1 1 , 8
4 6 4 " 0 , 5 " 1 6 " 0 , 5 " 0 , 4 2 , 2
1
1
3
P o d s t a w i a j c p o w y |s z e z a l e |n o [c i d o r ó w n a n i a ( 4 5 ) o t r z y m u j e m y
z l i n e a r y z o w a n e r ó w n a n i e ( 4 4 ) w p r z y j t y m p u n k c i e p r a c y :
2 , 0 8 " 1 , 8 " 2 , 2 " 3 " " 3 " ( 4 5 )
P r z y k Ba d 7 .
R ó w n a n i e ( 4 6 ) o p i s u j e p e w i e n u k Ba d z j e d n y m w e j [c i e m x i j e d n y m
w y j [c i e m y . N a l e |y p r z e p r o w a d z i l i n e a r y z a c j t e g o r ó w n a n i a w o k ó B
p u n k t u p r a c y o w s p ó Br z d n e j x 0 = 1 .
y =ð 2 x 2 +ð x -ð1 ( 4 6 )
1 7
P o w y |s z e r ó w n a n i e s t a n o w i f u n k c j d w ó c h z m i e n n y c h f ( x , y ) s p e Bn i a j c
z a l e |n o [:
f ( x , y ) =ð y -ð 2 x 2 -ð x +ð1 =ð 0 ( 4 7 )
P u n k t p r a c y j e s t w i c o k r e [l o n y p r z e z d w i e w s p ó Br z d n e x 0 , y 0 .
P o d s t a w i a j c w s p ó Br z d n x 0 = 1 d o r ó w n a n i a ( 4 6 ) o t r z y m u j e m y :
2
y 0 =ð 2 x 0 +ð x 0 -ð1 Þð y 0 =ð 2 ( 4 8 )
P o o b l i c z e n i u d r u g i e j w s p ó Br z d n e j p u n k t u p r a c y m o |n a p r z y s t p i d o
l i n e a r y z a c j i , t z n . z a s t p i e n i a k r z y w e j o p i s a n e j r ó w n a n i e m ( 4 6 ) s t y c z n
d o n i e j w p u n k c i e p r a c y ( x 0 , y 0 ) . W t y m c e l u r o z w i j a s i f u n k c j f ( x , y ) w
s z e r e g T a y l o r a w o k ó B p u n k t u ( x 0 , y 0 ) i p o m i j a w y r a z y n i e l i n i o w e t e g o
r o z w i n i c i a :
¶ðf (ðx , y )ð ¶ðf (ðx , y )ð
f ( x , y ) =ð f ( x 0 , y 0 ) +ð (ðx -ð x 0 )ð+ð (ðy -ð y 0 )ð =ð 0
¶ðx ¶ðy
(ðx 0 , y 0 )ð
(ðx 0 , y 0 )ð
P o n i e w a | p u n k t ( x 0 , y 0 ) s p e Bn i a r ó w n a n i e ( 4 7 ) w i c f ( x 0 , y 0 ) = 0 . S t d
p o w y |s z e r ó w n a n i e p r z y j m u j e p o s t a :
¶ðf (ðx , y )ð ¶ðf (ðx , y )ð
f ( x , y ) =ð (ðx -ð x 0 )ð+ð (ðy -ð y 0 )ð =ð 0
¶ðx ¶ðy
(ðx 0 , y 0 )ð
(ðx 0 , y 0 )ð
P o w y z n a c z e n i u p o c h o d n y c h c z s t k o w y c h w p u n k c i e p r a c y ( x 0 , y 0 ) o r a z
z m i a n i e z m i e n n y c h x = x - x 0 i y = y - y 0 , c o o d p o w i a d a p r z e s u n i c i u u k Ba d u
w s p ó Br z d n y c h d o p u n k t u p r a c y u z y s k u j e s i z l i n e a r y z o w a n e r ó w n a n i e
w i |c e p r z y r o s t y z m i e n n y c h i s Bu s z n e w n i e w i e l k i m o t o c z e n i u p u n k t u
( x 0 , y 0 ) :
-ð 5 Dðx +ð Dðy =ð 0
4 . L i t e r a t u r a
1 . Z b i g n i e w W A AA C H C y b e r n e t y k a t e c h n i c z n a . C z [ I E k s p l o a t a c j a o s p r z t u ,
W y d z i a B W y d a w n i c z y W A T , W a r s z a w a 1 9 8 3
2 . J a n u s z K O W A L P o d s t a w y a u t o m a t y k i T 1 , U c z e l n i a n e W y d a w n i c t w a
N a u k o w o - D y d a k t y c z n e A G H , K r a k ó w 2 0 0 4 .
3 . M i c h a B B O G A C K I , M a c i e j C H O R O W S K I , E w a ZL I F I R S K A Z b i ó r z a d a D z
p o d s t a w a u t o m a t y k i , W y d a w n i c t w o P o l i t e c h n i k i W r o c Ba w s k i e j , W r o c Ba w 1 9 8 8 .
1 8
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