24414
niezależne cxl wektorów generujących jądro to nasza liniowa kombinacja należy do jądra tylko wtedy gdy k\ = ... = kn = 0, a więc wektory są liniowo niezależne.
Pokażemy teraz, że różnowartośeiowość przekształcenia liniowego zależy od jądra tego przekształcenia.
Twierdzenie 1 Niech f będzie przekształceniem liniowym przestrzeni wektorowych. Przekształcenie f jest różnowartościowe wtedy i tylko wtedy gdy Kerif)={0\.
Dowód
(=») Ponieważ /(O) = 0 to z różnowarotściowości wynika, że jeśli f(v) = 0 to v = 0. a więc jądro składa się tylko z wektora zerowego.
(^) Musimy udowodnić, że jeśli f(v) = /(«) to v = u. Rzeczywiście jeśli f(v) = f(u) to z własności przekształcenia liniowego wynika, że f(u — v) = 0, a więc u — v € Ker(/) = {0} zatem u — v = 0 i mamy u = v.
Przekształcenie liniowe będziemy nazywać nieosobliwym jeśli Ker(/) =
{0}.
Twierdzenie 2 Niech V będzie przestrzenią liniową o skończonym wymiarze, i niech f będzie przekształceniem liniowym przestrzeni V w siebie. Wtedy następujące warunki są róumoważne:
(i) / jest bijekcją,
(ii) / jest surickcją.
(iii) / jest iniekcją.
Dowód Ponieważ V jest skończenie wymiarową przestrzenią liniową i / przekształca V w V więc jądro i obraz są pod przestrzeniami V i jest spełniona udowodniona wcześniej równość:
dim V = dim Ker(/) + dim Im(/)
Oczywiście z faktu, że / jest bijekcją wynika, że / jest surickcją.
Jeśli / jest surickcją to Im(/) = V, a więc dimlm(/) = dim V i z powyższego wzoru otrzymujemy, że dim Ker(/) = 0 a to oznacza, że Ker(/) = {0} i na podstawie poprzedniego twierdzenia / jest funkcją różnowartościową (=iniekcją).
Jeśli / jest iniekcją to na podstawie poprzedniego twierdzenia i na podstawie powyższego wzoru otrzymujemy dim Im(/) = dim V\ a więc Im(/) = V. czyli / jest również suriekcją. a więc jest bijekcją.
2
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
25146 skanuj0120 Katu : Tak. Wesz. to prawda nas wyzwala. A prawdę możesz odkryć tylko wtedy, gdy za
=*• wtedy i tylko wtedy, gdy A, = A2 = ... = = 0. PRZYKŁAD 1.4. Wykaż, że wektory a i b, są liniowo
tylko wtedy gdy, a=tg^ Twierdzenie 2. Jeżeli punkt (xo ,yo) należy do wykresu funkcji liniowej f(x)=
TWIERDZENIE 1.1. Układ wektorów (a, a2 ..., a,.) jest liniowo zależny wtedy i tylko wtedy, gdy przyn
099 2 Stabilność 99 2) jeśli pierwiastki były zespolone1, to badane układy były stabilne wtedy i tyl
P051111 57 Twierdzenie (Kroneckera-Capellego) Układ równań liniowych AX=B ma rozwiązanie wtedy i ty
badając wzajemne położenie wektorów normalnych. Płaszczyzny te są równoległe wtedy i tylko wtedy gdy
o Na szczeblu wyższym tylko wtedy, gdy jest to motorycznie uzasadnione Podział terytorialny: ^ Podzi
Jeżeli Jaś lubi Basię wtedy i tylko wtedy, gdy lubi Kasię, to Jaś lubi Basię i Jaś lubi
strona 16 29 września 2008, godzina 17:13 f r g wtedy i tylko wtedy, gdy / — g jest funkcją liniową.
Cc.) człowiek walczy tylko wtedy, gdy nikt nie chce pokoj u (a.) człowiek to w zasadzie dwunożn
P1010058 ZASADA DRUGA. Jeżeli do ciała przyłożone są dwie siły, to równoważą się one tylko wtedy, gd
P1010059 siły, to równoważą się one tylko wtedy, gdy mają tę samą linię działania, te same wartości
KRZ4 c) leżeli Józef zostanie prezesem wtedy i tylko wtedy gdy nie budzie uczciwy,
więcej podobnych podstron