31395

Powtórzenie ze szkoły: Szereg geometryczny

Definicja 1 Ciąg (a_n) nazywamy ciągiem geometrycznym, jeśli istnieje takie q. że dla każdego n € N spełnione jest a_n+i = a_nq.

Definicja 2 Suma n pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego

S_n = fli + + ... + a„_i + a_n

gdy q ź 1 jest równa V_n6N 5„ = a 17^. Gdy q = 1 ciąg (a„) jest ciągiem stałym a suma n pierwszych wyrazów tego ciągu jest równa S„ = a\n.

Twierdzenie Ciąg geometryczny o wyrazie pierwszym «i i ilorazie q jest :

• stały, gdy q 1 lub gdy jest to ciąg złozony z samych zer,

• rosnący, gdy aj > 0 i q > 1 lub gdy aj < 0 i q € (0,1),

• malejący, gdy ai > 0 i 9 € (0.1) lub gdy aj < 0 i q > 1,

• naprzemienny, gdy aj ^ 0 i q < 0,

Twierdzenie Jeżeli |qr| < 1, to ciąg S_n sum częściowych ciągu geometrycznego nieskończonego jest zbieżny i

lim S„ = S =

n—»oo 1 — q

Zadanie

Wyznacz sumę nieskończonego szeregu gemetrycznego przy założeniu, że jest on zbieżny. Wyznacz zbiór x € R. dla których jest 011 zbiezny.

1. *+i + 4f + ---

2. 2x + 4 + f +...

3. 2x + ^ + ^ + ...

4. y/x - 2 + 1 + + ...

5. x² + 2x³ + 4x‘^ł + ...

7. 3^x+3^x-‘ + 3^X‘² + ...

8. 1 -f 3^x2-^2x"³ + 3²(^x2—2r—3) + ... + 3ⁿ(^x2—2x—3) + ...

9. 3x - 9x² + 27x³ - 81x⁴ + ...

in * 1 1 x² 1 , x³ 1 ,