39734

Otwartość zbioru X wynika, z tego, Śe " xTX "r>0 K(x,r) lX Twierdzenie

Niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną, xfX, r>0. Wtedy kula otwarta K(x,r) jest zbiorem otwartym.

Dowód

Weźmy dowolne ylK(x,r). Mamy pokazać, Śe istnieje r>0 takie, Śe K(y,r) \ K(x,r)

Skoro y?K(x,r), to d(x,y)<r

Niech r= 34 (r — (d(x,y)). Wtedy mamy do pokazania "zTK(y,r) z?K(x,r), czyli d(x,z)<r.

Z warunku trójkąta

d(x,z) < d(x,y) + d(y,z) < d(x,y) + r = d(x,y) + Yi (r-d(x,y) < d(x,y) + (r-d(x,y) = r tottol@o2.pl 2

Twierdzenie

W dowolnej przestrzenie metrycznej(X,d) dla dowolnego x?X i r>0 kula domknięta jest zbiorem domkniętym.

Dowód

Mamy do pokazania, śe dopełnienie X/ K (x,r) jest zbiorem otwartym.

JeŚeliylX/ K (x,r) to d(x,y)>r.

Mamy więc r>0 takie, śe K(y,r)lX/ K (x,r), tzn. Śe "zTK(y,r) będzie zachodzić nierówność d(x,z)>r. Istnieje r>o takie, Śe d(x,y) - r > r Łatwo pokazać, śe tak dobrane r spełnia podany warunek.

Definicja

Rodzinę wszystkich zbiorów otwartych przestrzeni (X,d) nazywamy topologią tej przestrzeni i oznaczamy ją symbolem t(X)

Twierdzenie

W dowolnej przestrzeni metrycznej (X,d) topologia t(X) ma następujące własności: a)X,/Elt(X)

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Oczywiście, jedynym pierwiastkiem n-tego stopnia z liczby 0 jest 0. Twierdzenie 5 Niech liczba zespo
§3.3. IY-16 Twierdzenie 2. * Niech V będzie przestrzenią wektorową, a f : V1 —> F funkcją wieloli
P4130295 Twierdzenie 3.7 I Niech C będzie podzbiorem domkniętym osi rzeczywistej. Jeśli F jest I odw
P4200257 lawnonraoraio Twierdzenie 3.7 Niech C będzie podzbiorem domkniętym osi rzeczywistej. Jeśfi
10 (33) 184 9. Funkcje wielu zmiennych 9.19. TWIERDZENIE. Niech f będzie funkcją różniczkowalną i ok
10 (48) 199 Pochoane wyższych rzędów 9.40.    Twierdzenie. Niech f będzie funkcją rze
Kombinatory punktu stałego Powyższy przykład możemy uogólnić. Twierdzenie. Niech C = C[f,x] będzie
Reguły deltaReguły delta Twierdzenie. Niech / będzie funkcją na zamkniętych A-termach w postaci norm
50 Marek Kałuszka, Michał Krzeszowiec Twierdzenie 1. Niech w > 0 będzie ustalone. Załóżmy, że u j
ASD ITN k1 05 2002 2 które można rozwiązać przy pomocy tego algorytmu w ciągu lmin ? Ł Zad. 2 Nie
52048 Str081 158    5. I .terby pierwsze i rozkład na czynniki Twierdzenie 5.1.1. Nie

więcej podobnych podstron