103973

Algebra liniowa z geometrią analityczną Lista 5: Liczby zespolone (cz. 2)

1. Podane liczby zapisać w postaci trygonometrycznej:

a) -5 + 5i, b) -Sy/3, c) -4i, d) 1 - t A

e) 2\/3 - 2i, f) sina — icosa, g) 1 + cosa 4- isin a.

2. Wykonać działania (wynik przedstawić w ]X)staci algebraicznej):

a) (I-i)¹⁵, b) (2 - 2\/3t)²⁰⁰,

^d) e) (cos f- isin |)'°,

3. Na płaszczyźnie zespolonej narysować zbiory:

a) A = {z € C : § < arg 2 < £},

b) D= {zeC: arg (2 -t- 3 - 4i) = 4f},

c) C= {z G C: arg (ii) > ^}.

d) D={ze C: Ł!<arg[(i-if )*)<$}.

e) £={:eC: f < arg (i⁴) < *},

f) F = {2 G C : arg i < i 4 < | 2 - 2i - 2 |< 6}.

c) (2v/3 - 2*')²⁰ • (3 + 3i)¹⁰,

(cos &Ł+i*in 2f)^ir'

4. Korzystając ze wzoru de Moivre’a wyrazić:

a) sin 3x w j>ostaci wielomianu od sin x;

b) cos 3x w |>ostaci wielomianu od cos x;

c) sin 5x w |K>staci wielomianu od sin x i cos x:

d) ctg3x jako funkcję ctgx;

e) tg 4x jako funkcję tg x.

5. Podane liczby zespolone zapisać w postaci wykładniczej:

a) 1—i, b)-6, c) —2i, d) (l+i) (cos —4-isin^), e) [3(co6~+£sin4f)]⁴².

6. Podane liczby zespolone zapisać w postaci trygonometrycznej:

a) e**, b)6e*¥, c) 2e*ł • (1 - i), d) (3e^)⁸, _e)

7. Obliczyć i narysować na płaszczyźnie zespolonej pierwiastki:

a) śP-l + i, b) \/-8 + 8v/3*, c) ^27, d) e) tfl.

8. Obliczyć pierwiastki:

a) \/(3 - 4i)². b) </(-! + 3/)¹. c) ^(1 + 2/)°. d) ^(1 - i)'^J.

9. W liczbach zespolonych rozwiązać równania:

a) 2³ = (1 + 3i)³, b) (2 - i)⁴ = (z + i)⁴, c) z³ = (1+ iz)³.

10. Jednym z wierzchołków kwadratu (na płaszczyźnie zespolonej) jest punkt 4 - i. Wyznaczyć pozostałe wierzchołki tego kwadratu, jeżeli jego środkiem jest:

a) początek układu współrzędnych; b) punkt 1;

c) punkt 3 + i; d) punkt 7 + \/2 i.

11. Punkty 2 = 1 — 3i i w = 1 + 5£ płaszczyzny zespolonej są przeciwległymi wierzchołkami

kwadratu. Wyznaczyć pozostałe wierzchołki tego kwadratu.