123169

Zbiór Ki ma dokładnie p elementów: 1,1 + 1,1 + 1 + 1

p-1

Ponadto /\j jest zamknięty ze względu na dodawanie i mnożenie. Rzeczywiście A:1 + /I = (A: + /)1 i (A'l)(/1) = (kl) 1. Odwzorowanie / : Z_p —* K\, f(k) = AT jest izomorfizmem. Podobnie można udowodnić, że jeśli charakterystyka ciała K jest równa zero to K\ jest izomorficzny z pierścieniem liczb całkowitych, a to oznacza że w ciele K istnieje poddało izomorficzne z ciałem liczb wy miernych.□

Twierdzenie 3 Jeśli ciało K jest skończone to liczba jego elementów jest równa p^k dla pewnej liczby pierwszej p i pewnej liczby naturalnej k.

Dowód Jeśli K jest ciałem skończonym to jego charakterystyka musi być różna od zera. A więc Istnieje liczba pierwsza p, taka że CharK = p. Na podstawie poprzedniego twierdzenia Istnieje podciało K\ ciała K, które jest izomorficzne z ciałem Z_p. Ciało K można traktować jako przestrzeń liniową nad K\. Przestrzeń ta jest skończenie wymiarowa (bo liczba wektorów jest skończona). Istnieją, zatem, wektory Vi,    które stanowią bazę tej

przestrzeni. To oznacza, że każdy element V G K ma jednoznaczny zapis w postaci:

v = ojri + a₂1’₂ + ... + a/fct;*,

gdzie Oj € K\. A więc liczba wektorów z ciała I\ jest równa liczbie wszystkich

możliwych ciągów (qi,q₂,____a*) o wyrazach z ciała K\. Ponieważ w^f ciele

Ki jest dokładnie p elementów to w ciele K jest dokładnie pr elementów'.□ Przykład Nie istnieje dało, które ma dokładnie 6 elementów, bo liczba G nic jest potęgą liczby pierwszej.

Pierścienie wielomianów

Niech P będzie pewnym pierścieniem. Wielomianem o współczynnikach z pierścienia P nazywamy wyrażenie postaci:

«o + a\x + ... + a„xⁿ

gdzie G P. Każdy element a, nazywamy współczynnikami tego w ielomianu, a element x nazywamy zmicmią. Wyrażenia te rozumiemy w sposób formalny niejako funkcje ale jako napisy formalne. Zbiór wszystkich wielomianów' jednej zmiennej x o współczynnikach z pierścienia P oznaczamy przez P[x). Zmienna x spełnia następujące własności:

(i)    ax = xa dla każdego a G P.

(ii)    Każdy element ze zbioru P[x] ma jednoznaczny zapis w^r postaci:

«o + <i|Z + • • • + a_nxⁿ

2

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
1
4 Sprawdzeniem poprawności i dokładności wykonanego planu jest zamknięcie się wieloboku sił w węźl
1
4 Sprawdzeniem poprawności i dokładności wykonanego planu jest zamknięcie się wieloboku sił w węźl
Kompetencje społeczne: KI. Ma świadomość, jak ważne jest przestrzeganie zasad etyki zawodowej i
IDEALIZM - DOKŁADNIEJ;) -    podstawą idealizmu jest twierdzenie, że rzeczywistość ma
102 H. Dźwigoł w organizacje inteligentne. Wiedza jest tutaj elementem kluczowym, przede wszystkim z
ANKIETA Proszę o dokładne odpowiedzi na pytania. Ankieta nie jest anonimowa ze względu na potrzebę z
pkm osinski06 to Pnedmowa budowy podstawowych elementów i zespołów maszyn jest nieodzowny ze względ
Ad 2) faktura pro-forma ma układ i elementy faktury handlowej z tym, że nie stwierdza ona faktu wysł
IMGB31 (2) 220 Warzyw liściowe 220 Warzyw liściowe Endywia ma dość wysokie wymagania po. karmowe, ze
Wstęp Zarządzanie tworzeniem oprogramowania jest trudne, ze względu ►
IMG?35 (2) C0z. nr 1 poważna, to jest y to jest y piramida finansowa, ale jest poważniejsza ze wzglę
Zatem przedmiotem w naukach o zarządzaniu jest człowiek ze względu na jego działalność organizatorsk
47702 IMG?35 (2) C0z. nr 1 poważna, to jest y to jest y piramida finansowa, ale jest poważniejsza ze
ED (41) 122 IV. Zasady tworzenia typów społecznych ter elementów składowych, ale również ze względu
■    Regulacja handlu zagranicznego jest konieczna ze względów obronnych. ■

więcej podobnych podstron