53310

elementy poza główną przekątną są równe zeru. Macierz I często jest oznaczana przez E.

Macierz diagonalną D stanowi macierz kwadratowa, której wszystkie elementy poza główną przekątną są równe zeru, czyli =0 dla i* j.

Macierz skalarna jest to taka macierz diagonalna, której wszystkie elementy są sobie równe, np. c, wtedy można zapisać c • E = S.

Macierzą kwadratową nazywamy każdą macierz stopnia (k * k), czyli o wiersz ach i Jc-kolumnach.

Macierzą symetryczną jest taka macierz kwadratowa, w której elementy są symetryczne względem przekątnej głównej, czyli ^a# =aji. dla i* j.

Iloczyn macierzy A^rA jest macierzą symetryczną, gdyż

A^T ■ A — N    (1.11)

Macierzy symetrycznej odpowiada jej transpoza, czyli

N^r —{a^ta)^t —a^ta =n    (112)

Niezmienność względem transpozycji cechuje każdy iloczyn macierzy, który prowadzi do macierzy symetrycznej.

Jeżeli macierz P jest symetiyczna, to zawsze iloczyn A⁷ pa =n stanowi macieiz symetryczną, gdyż

Dla macierzy kwadratowych można zdefiniować potęgowanie czyli

AA = A²    (1,14)

Macierz idempotentna A stanowi macierz kwadratowa, która spełnia następujący warunek

A² = A    (115)

Macierz hermitowska stanowi macierz kwadratowa, w której główna przekątna składa się tylko z zer i jedynek, a pozostałe elementy są równe zeru.

1.3. Rozkład macierzy na czynniki trójkątne lub trapezowe

Macietz kwadratową stopnia n można rozłożyć na iloczyn dwóch macieizy trójkątnych, z któiych pierwsza składa się z elementów zerowych nad przekąuią główną, a druga pod przekątną główną, czyli

A = H^tG    (1.16)

n.n n.n n.n

Elementy położone na przekątnej jednej z macierzy H lub G mogą być dowolnie ustalonymi liczbami z wyjątkiem zera. Najczęściej przyjmuje się na przekątnej macierzy G jedynki, a pozostałe elementy macierzy H i G wyznacza się z definicji mnożenia macierzy, czyli dla macieizy stopnia 3 będzie

(117)

lub

A = H^tG    (118)

Macieiz prostokątną poziomą , n<ni można rozłożyć na iloczyn macierzy trójkątnej “ i macieizy

trapezowej ^ o n wierszach i m kolumnach, przy czym elementy na przekąmej głównej mogą być ustalone w formie 1, czyli

(1.19)

lub

(1.20)

Macieiz symetryczną można rozłożyć na iloczyn dwóch macieizy, z których jedna jest transpozą drugiej, czyli

^r " (1.21)

Taki rozkład macierzy symetrycznej może nosić nazwę pierwiastka kwadratowego macierzy.

1.4. Wyznaczniki i minory macierzy, wartości w łasne macierzy

Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A stopnia n o elementach nazywamy funkcję rzeczywistą elementów ^au określoną wzorem

det(A)=|A|=£±<a_lła_2/...fl,J    (1.22)

gdzie sumowanie przebiega wszystkie permutacje wskaźników (i, j, •••, p) ciągu (1, 2,..., n), przy czym znak plus jest, gdy 0, j, •••, p) tworzą permutację parzystą, zaś znak minus jest gdy wskaźniki te tworzą permutację nieparzystą.

Jeżeli w macierzy A skreśli się i-ty wiersz i j-tą kolumnę, to wyznacznik takiej podmarierzy nosi nazw ę minora

2

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Trójkątna; to macierz kwadratowa, w której elementy leżące nad lub pod główną przekątną są równe
P3310012 (2) 31 1.5. Macierze współzależności 31r. dla i,k= 1,2.....p. Jej elementami, poza główną p
230 XI. Algebra macierzy Macierz kwadratowa, w której wszystkie elementy na głównej przekątnej są
teoria3 2 Macierz zerowa - wszystkie elementy są równe zero Macierz trójkątna dolna - zera powyżej
f18 Przewodnik naelektryzowany Wewnątrz przewodnika naelektryzowanego wektor E i D są równe zeru. St
CCF20100225010 88 Elżbieta Uiskowska Zabieg umieszczania istotnych elementów poza główna struktura
25273 zestaw 2 str 2 15.    Klórc wyrazy ciągu an = (n2 - 4)(6n - 30) są równe zeru?
Elektronika W Zad cz 2 8 W Czynsk, euarreONIKAWZADAMAgl t Część i Analiza malosyęnalowa układów p
Znajdź pracowników, których pensje są równe minimalnej pensji w ich dziale: > Rozwiązanie przez
Elementy teletransmisji danych Przekazywanie danych do kanału transmisji sterowane jest za pomocą pr
najszybszym środkiem przekazu są media, dlatego tak ważne jest poprawne i umiejętne kształtowanie st

więcej podobnych podstron