ÿþR A C H U N E K Z D A C
~ ( Øð) n i e p r a w d a , |e ( n e g a c j a ) ; n e g a c j a
p ~ p
®ð j e [l i & t o & ( i m p l i k a c j a ) ;
Ùð o r a z ( k o n i u n k c j a ) ;
0 1
Úð l u b ( a l t e r n a t y w a ) ;
1 0
«ð w t e d y i t y l k o w t e d y ( r ó w n o w a |n o [) ;
k o n i u n k c j a Ùð : a l t e r n a t y w a Úð : i m p l i k a c j a ®ð: r ó w n o w a |n o [ «ð :
p q p Ùð q p q p Úð q
p q p ®ð q p q p «ð q
0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 1
0 1 0 0 1 1
0 1 1 0 1 0
1 0 0 1 0 1
1 0 0 1 0 0
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 . U s t a l i , c z y p o d a n a w y p o w i e d z j e s t z d a n i e m l o g i c z n y m . J e |e l i p o d a n a w y p o w i e d z j e s t
z d a n i e m o c e n i , j a k a j e s t w a r t o [ l o g i c z n a t e g o z d a n i a .
a . 1 +ð 4 =ð 6 .
b . Zw i a t j e s t p i k n y .
c . U c z s i m a t e m a t y k i !
d . 3 j e s t l i c z b a n i e p a r z y s t .
e . R o k m a 2 0 0 d n i .
f . S p r a w d z i , c z y l i c z b a 3 j e s t m n i e j s z a o d 1 .
g . S u m a d w ó c h l i c z b n i e p a r z y s t y c h j e s t l i c z b p a r z y s t .
h . 2 +ð1 <ð 9 .
i . P r o s t e a i b s r ó w n o l e g Be .
j . W i e l o r y b j e s t r y b .
2 . D a n e s z d a n i a :
p n i e b o j e s t c i e m n e .
q t e r a z j e s t w i e c z ó r .
r z b i e r a s i n a b u r z .
Z a p i s a p r z y u |y c i u p o w y |s z y c h o z n a c z e D i s p ó j n i k ó w l o g i c z n y c h z d a n i a :
a . N i e b o j e s t c i e m n e i t e r a z n i e j e s t w i e c z ó r .
b . J e [l i n i e b o j e s t c i e m n e , t o t e r a z j e s t w i e c z ó r l u b z b i e r a s i n a b u r z .
c . N i e b o n i e j e s t c i e m n e w t e d y i t y l k o w t e d y , g d y n i e j e s t w i e c z ó r i n i e z b i e r a s i n a b u r z .
3 . D a n e s z d a n i a :
p t e o r i a F r e u d a m a p r a w o d o m i a n a n a u k i .
q t e o r i a F r e u d a m o |e b y p o t w i e r d z o n a p r z e z e k s p e r y m e n t y .
r t e o r i a F r e u d a m o |e b y o b a l o n a p r z e z e k s p e r y m e n t y .
O d c z y t a z d a n i a z u |y c i e m s y m b o l i l o g i c z n y c h :
a . p Úð q .
d . q Ùð ~ r ®ð p .
(ð )ð
b . q Úð ~ r .
e . p Ùð ~ q «ð p Ùð r .
(ð )ð (ð )ð
c . ~ r ®ð p Ùð q .
(ð )ð
f . p ®ð q ®ð r .
(ð )ð
4 . D o b r a w a r t o [c i l o g i c z n i e z d a D p i q t a k , a b y z d a n i e p ®ð~ q Ùð ~ p b y Bo p r a w d z i w e .
(ð )ð
5 . U |y w a j c s y m b o l i p r z y j t y c h w r a c h u n k u z d a D, z a p i s a n a s t p u j c e z d a n i a :
a . S t u d e n t s i u c z y i z d a j e e g z a m i n y .
b . A s i a i P i o t r s t u d i u j .
c . J e s t e [ i n t e l i g e n t n y i n i e p r a w d a , |e m a s z z B p a m i .
d . J e [l i Z i e m i a j e s t o k r g Ba , t o z f a k t u , |e z i e m i a j e s t p Ba s k a , w y n i k a , |e z i e m i a j e s t g w i a z d .
M a t e m a t y k a d y s k r e t n a . O p r a c o w a Ba L . D o b r y a k o v a 1
e . T o , |e s t u d e n t s i n i e u c z y i [c i g a n a k o l o k w i a c h j e s t r ó w n o w a |n e t e m u , |e n i e p r a w d j e s t ,
|e ( s i u c z y l u b n i e [c i g a n a k o l o k w i a c h ) .
f . N i e j e s t p r a w d , |e j e |e l i E i n s t e i n b y B g e n i a l n y , t o N e w t o n b y B o g r a n i c z o n y .
g . P r z e c z y t a m k i l k a p o d r c z n i k ó w l o g i k i l u b w y s Bu c h a m w y k Ba d ó w i r o z w i |e k i l k a d z i e s i t
z a d a D.
h . N i e j e s t p r a w d , |e j e [l i P l a t o n z a Bo |y B A k a d e m i , t o z f a k t u , |e A r y s t o t e l e s b y B u c z n i e m
P l a t o n a w y n i k a , |e A r y s t o t e l e s n i e u c z s z c z a B d o A k a d e m i i .
i . S k o r o Z i e m i a o b r a c a s i w o k ó B S Bo Dc a , t o j e [l i Z i e m i a n i e o b r a c a s i w o k ó B S Bo Dc a , t o
d o s t a n 5 n a e g z a m i n i e .
j . J e |e l i n i e p r a w d a , |e t w i e r d z e n i a m a t e m a t y k i m o g o k a z a s i f a Bs z y w e , t o n i e p r a w d a , |e
t w i e r d z e n i a l o g i k i m o g o k a z a s i f a Bs z y w e .
k . N i e p o s i a d a s z g r u n t o w n e j w i e d z y o j z y k u , j e [l i s Ba b o z n a s z g r a m a t y k i n i g d y n i e u c z y Be [
s i l o g i k i .
6 . P o d a w a r t o [c i l o g i c z n e z d a D, j e |e l i w i a d o m o , |e z d a n i e p ®ð q j e s t f a Bs z y w e :
a . p Úð q ®ð p .
(ð )ð
b . q Úð p «ð~ p .
(ð )ð
c . p ®ð q Ùð ~ p .
(ð )ð
7 . O k r e [l i w a r t o [c i l o g i c z n e n a s t p u j c y c h z d a D z Bo |o n y c h :
a . J e [l i 4 j e s t l i c z b d o d a t n i , t o 5 j e s t l i c z b u j e m n .
b . J e [l i 4 j e s t l i c z b d o d a t n i , t o 5 j e s t l i c z b d o d a t n i .
c . J e [l i 4 j e s t l i c z b u j e m n , t o 5 j e s t l i c z b u j e m n .
d . J e [l i 4 j e s t l i c z b u j e m n , t o 5 j e s t l i c z b d o d a t n i .
e . 2 >ð 5 l u b 2 <ð 5 .
f . R o m b j e s t k w a d r a t e m l u b r o m b j e s t c z w o r o k t e m .
g . 3 2 1 ®ð 9 2 1 .
h . 3 <ð 2 w t e d y i t y l k o w t e d y , g d y Z i e m i a j e s t p l a n e t .
8 . P o d a z d a n i a o d w r o t n e , k o n t r a p o z y c j o r a z z d a n i a p r z e c i w n e d l a n a s t p u j c y c h z d a D:
a . J e [l i 2 +ð 2 =ð 5 , t o 4 +ð 6 =ð 9 .
b . J e [l i d z i s i a j j e s t 1 w r z e [n i a , t o 5 +ð 5 =ð1 1 .
c . p Ùð q ®ð r .
(ð )ð
d . J e [l i x +ð y =ð1 , t o x 2 +ð y 2 ³ð1 .
e . J e [l i x >ð a i x <ð-ða , t o x >ð a .
f . J e [l i x 2 =ð x , t o x =ð 0 l u b x =ð1 .
9 . W y z n a c z y w a r t o [ l o g i c z n z d a n i a z Bo |o n e g o p r z y p o d s t a w i e n i u w p =ð1 , w q =ð 0 .
(ð )ð (ð )ð
a . ~ p Úð q .
h . p ®ð q ®ð q .
(ð )ð
b . p Ùð ~ q .
i . p ®ð q ®ð p .
(ð )ð
c . ~ p ®ð~ q .
j . p ®ð q «ð q Úð p .
(ð )ð (ð )ð
d . ~ p «ð q .
(ð )ð
k . éð p Úð q ®ð p ùð Úð p «ð q .
(ð )ðûð (ð )ð
ëð
e . p Úð q «ð~ q .
(ð )ð
l . ~ p Ùð q «ð ~ p Úð ~ q .
(ð )ð (ð )ð
f . p Ùð q ®ð~ p .
(ð )ð
g . p ®ð q ®ð p .
(ð )ð
M a t e m a t y k a d y s k r e t n a . O p r a c o w a Ba L . D o b r y a k o v a 2
1 0 . D a n e s z d a n i a :
p w l o g i c e 1 o z n a c z a f a Bs z .
q l i c z b a 2 5 d z i e l i s i p r z e z 5 .
r 8 6 -ð8 0 =ð1 6 .
W y z n a c z y w a r t o [ l o g i c z n z d a n i a z Bo |o n e g o :
a . ~ p Ùð q Úð r . g . ~ p ®ð q ®ð r .
(ð )ð (ð )ð
b . ~ p Úð q Ùð r . h . ~ p ®ð q ®ð r .
(ð )ð (ð )ð
c . ~ p Ùð q Úð r . i . ~ p «ð q «ð r .
(ð )ð (ð )ð
d . ~ p Úð q Ùð r .
(ð )ð j . éð p ®ð r Úð ~ q ùð «ð éð p ®ð r Ùð ~ q ùð .
(ð )ð (ð )ðûð
ëð ûð ëð
e . ~ p Úð q Ùð r .
(ð )ð
k . éð p «ð r Úð ~ p ùð «ð éð p «ð r Úð q ùð .
(ð )ð (ð )ðûð
ëð ûð ëð
f . ~ p Ùð q Úð r .
(ð )ð
1 1 . J a k w a r t o [ l o g i c z n p o s i a d a z d a n i e o z n a c z o n e l i t e r a , j e [l i j e s t p r a w d , |e :
a . a t w o r z y f a Bs z y w k o n i u n k c j z d o w o l n y m z d a n i e m .
b . a t w o r z y f a Bs z y w k o n i u n k c j t y l k o z n i e k t ó r y m i z d a n i a m i .
c . a t w o r z y p r a w d z i w k o n i u n k c j z n i e k t ó r y m i z d a n i a m i .
d . a t w o r z y p r a w d z i w a l t e r n a t y w z d o w o l n y m z d a n i e m .
e . a t w o r z y p r a w d z i w a l t e r n a t y w t y l k o z n i e k t ó r y m i z d a n i a m i .
f . a t w o r z y f a Bs z y w a l t e r n a t y w z n i e k t ó r y m i z d a n i a m i .
g . I m p l i k a c j a , k t ó r e j p i e r w s z y m c z Bo n e m ( p o p r z e d n i k i e m ) j e s t a , j e s t z a w s z e p r a w d z i w a .
h . I m p l i k a c j a , k t ó r e j d r u g i m c z Bo n e m ( n a s t p n i k i e m ) j e s t a , j e s t z a w s z e p r a w d z i w a .
1 2 . U d o w o d n i , |e j e |e l i z d a n i e p j e s t f a Bs z y w e , t o d l a k a |d e g o z d a n i a q m a m y :
a . p Úð q r ó w n o w a |n e j e s t q .
b . p Ùð q r ó w n o w a |n e j e s t p .
1 3 . U d o w o d n i , |e j e |e l i z d a n i e p j e s t p r a w d z i w e , t o d l a k a |d e g o z d a n i a q m a m y :
a . p Ùð q r ó w n o w a |n e j e s t q .
b . p Úð q r ó w n o w a |n e j e s t p .
1 4 . W y k a z a , |e n a s t p u j c a f o r m u Ba j e s t t a u t o l o g i : ~ p Úð q «ð~ p Ùð ~ q .
(ð )ð
1 5 . U d o w o d n i I p r a w o d e M o r g a n a : Z a p r z e c z e n i e k o n i u n k c j i j e s t r ó w n o w a |n e a l t e r n a t y w i e
z a p r z e c z e D.
1 6 . W y k a z a , |e n a s t p u j c a f o r m u Ba j e s t t a u t o l o g i : éð p Úð q Úð r ùð «ð éð p Úð q Úð r ùð .
(ð )ðûð ëð(ð )ð
ëð ûð
1 7 . W y k a z a , n i e w y k o r z y s t u j c t a b e l i z e r o j e d y n k o w e j , |e n a s t p u j c e w y r a |e n i a s
t a u t o l o g i a m i :
a . ~ p ®ð ( p ®ð q ) . e . [ ( p ®ð q ) ®ð p ] ®ð p .
b . p ®ð ( p Úð q ) .
f . éð p Ùð q ®ð r ùð «ð éð p ®ð q ®ð r ùð .
(ð )ð (ð )ðûð
ëð ûð ëð
c . ( p Ùð q ) ®ð p .
g . ( p ®ð q ) «ð ( ~ p Úð q ) .
d . ( p ®ð q ) «ð ( ~ q ®ð~ p ) .
h . ( ~ p ®ð p ) ®ð p .
1 8 . S p r a w d z i , n i e w y k o r z y s t u j c t a b e l i z e r o j e d y n k o w e j , c z y n a s t p u j c e w y r a |e n i a s
t a u t o l o g i a m i :
a . [ ( p Úð q ) Ùð ~ p ] ®ð q . e . [ ( p Ùð q ) Úð ( p ®ð q ) ] ®ð ( p ®ð q ) .
b . [ ( p Úð q ) Ùð ( p ®ð q ) ] ®ð ( q ®ð p ) . f . ( p ®ð q ) ®ð[ p ®ð ( q Úð r ) ] .
c . p ®ð[ ( ~ p ) Úð q ] . g . ~ [ p Ùð ( ~ p Ùð q ) ] .
d . ( p ®ð q ) ®ð[ ( p Ùð r ) ®ð q ] .
M a t e m a t y k a d y s k r e t n a . O p r a c o w a Ba L . D o b r y a k o v a 3
1 9 . C z y p r a w d z i w e j e s t z d a n i e :
a . J e [l i l i c z b a n a t u r a l n a n d z i e l i s i p r z e z 5 , t o z f a k t u , |e n n i e d z i e l i s i p r z e z 5 w y n i k a , |e n
d z i e l i s i p r z e z 3 .
b . J e [l i l i c z b a n d z i e l i s i p r z e z 2 i n d z i e l i s i p r z e z 7 , t o z f a k t u , |e n n i e d z i e l i s i p r z e z 7
w y n i k a , |e n d z i e l i s i p r z e z 3 .
c . J e [l i f i g u r a a j e s t c z w o r o k t e m i a m a w s z y s t k i e k t y r ó w n e , t o z f a k t u , |e a j e s t
c z w o r o k t e m , w y n i k a , |e a m a b o k i r ó w n e .
d . J e [l i J a n s k Ba m a B l u b P i o t r s k Ba m a B, t o j e [l i J a n n i e s k Ba m a B, t o P i o t r s k Ba m a B.
e . J e [l i K o l u m b o d k r y B A m e r y k l u b M a r c o P o l o b y B w A m e r y c e , t o j e [l i K o l u m b o d k r y B
A m e r y k , t o M a r c o P o l o n i e b y B w A m e r y c e .
f . J e [l i n i e p r a w d a , |e K o l u m b o d k r y B A m e r y k , a M a r c o P o l o b y B w A m e r y c e , t o K o l u m b
o d k r y B A m e r y k , a M a r c o P o l o n i e b y B w A m e r y c e .
g . J e [l i K o l u m b n i e o d k r y B A m e r y k l u b M a r c o P o l o n i e b y B w A m e r y c e , t o n i e p r a w d a , |e
K o l u m b o d k r y B A m e r y k i M a r c o P o l o b y B w A m e r y c e .
2 0 . Z a p i s a z a p r z e c z e n i e p o d a n y c h n i |e j z d a D.
a . L i c z b a n a t u r a l n a n j e s t m n i e j s z a o d 5 i j e s t l i c z b p a r z y s t .
b . a ³ð b l u b c £ð a .
c . F u n k c j a f x j e s t c i g Ba i r ó |n i c z k o w a l n a .
(ð )ð
d . T r ó j k t j e s t p r o s t o k t n y z n a c z y t o s a m o c o t r ó j k t s p e Bn i a t w i e r d z e n i e P i t a g o r a s a .
e . J e [l i l i c z b a k o Dc z y s i c y f r p a r z y s t , t o l i c z b a j e s t p a r z y s t a .
f . J e [l i A l a n i e m a k o t a , t o A l a m a p s a .
g . J e [l i a =ð b , t o a d z i e l i s i p r z e z b i b d z i e l i s i p r z e z a .
h . J e [l i l i c z b a d z i e l i s i p r z e z 4 , t o d z i e l i s i p r z e z 2 .
2 1 . Z a p i s a , u |y w a j c s y m b o l i k w a n t y f i k a t o r ó w n a s t p u j c e z d a n i a i o c e n i w a r t o [ l o g i c z n
k a |d e g o z n i c h :
a . I s t n i e j e l i c z b a c a Bk o w i t a , w a r t o [ b e z w z g l d n a k t ó r e j j e s t w a r t o [c i n a t u r a l n .
b . I s t n i e j e t a k a l i c z b a r z e c z y w i s t a m n i e j s z a o d z e r a , |e j e j k w a d r a t j e s t w i k s z y o d 1 0 0 0 .
c . K a |d y d z i e l n i k l i c z b y c a Bk o w i t e j j e s t o d n i e j m n i e j s z y , b d z j e s t j e j r ó w n y .
d . I s t n i e j l i c z b y n a t u r a l n e , k t ó r e d z i e l s i t y l k o p r z e z 1 i p r z e z s i e b i e .
e . I l o r a z l i c z b n a t u r a l n y c h m u s i b y w a r t o [c i n a t u r a l n .
f . I l o c z y n l i c z b r z e c z y w i s t y c h m o |e b y l i c z b c a Bk o w i t .
g . I s t n i e j e t a k a l i c z b a w y m i e r n a , |e i l o c z y n t e j l i c z b y i d o w o l n e j l i c z b y c a Bk o w i t e j j e s t l i c z b
c a Bk o w i t .
h . D o k a |d e j l i c z b y c a Bk o w i t e j m o |n a d o b r a t a k l i c z b w y m i e r n , |e i l o c z y n t y c h l i c z b j e s t
l i c z b c a Bk o w i t .
i . M i d z y l i c z b a m i n a t u r a l n y m i n i 2 ×ðn i s t n i e j e c o n a j m n i e j j e d n a l i c z b a p i e r w s z a .
2 2 . O c e n i w a r t o [ l o g i c z n n a s t p u j c y c h z d a D o r a z z a p i s a i c h z a p r z e c z e n i a .
1
f . "ðx Îð¡ð$ðy Îð¥ð : x 2 +ð y ³ð1 .
a . "ðx Îð¡ð : s i n x =ð .
2
g . $ðx Îð¡ð$ðy Îð¡ð : x 2 +ð y <ð 0 .
b . $ðx Îð¡ð : x =ð -ð2
h . "ðx Îð¡ð"ðy Îð¡ð : x <ð 2 ×ð y Úð y <ð 2 ×ð x .
(ð )ð
c . "ðx Îð¡ð : x 2 =ð x .
d . $ðx Îð¡ð : x 2 =ð x .
e . "ðx Îð¡ð : -ð4 ×ð x £ð 0
M a t e m a t y k a d y s k r e t n a . O p r a c o w a Ba L . D o b r y a k o v a 4
T E O R I A Z B I O R Ó W
1 . C z y z b i o r y A i B s r ó w n e : A =ðÆð , B =ð{ Æð} ? O d p o w i e d z u z a s a d n i .
2 . Z i l u e l e m e n t ó w s k Ba d a s i z b i ó r ?
a . x Îð¥ð : x <ð 4 .
{ð }ð f . x Îð¢ð : x 2 =ð 8 .
{ð }ð
g . Æð.
b . x Îð¥ð : x 2 <ð 4 .
{ð }ð
h . Æð .
{ð }ð
c . x Îð¢ð : x <ð 4 .
{ð }ð
i . Æð, Æð .
{ð }ð
{ð }ð
d . x Îð¢ð : x 2 <ð 4 .
{ð }ð
j . Æð, Æð, Æð .
{ð {ð }ð
}ð
e . x Îð¢ð : x 2 =ð 4
{ð }ð
3 . U d o w o d n i , |e a , b , b , c ¹ð a , b , c .
{ð }ð {ð }ð {ð }ð
{ð }ð
4 . U d o w o d n i , |e j e [l i A j e s t z b i o r e m p i e r w i a s t k ó w r ó w n a n i a x 2 -ð 4 ×ð x -ð5 =ð 0 i B =ð -ð1 , 5 , t o
{ð }ð
A =ð B .
5 . D a n y j e s t z b i ó r A =ð a , b , c , a , b , a , a , b , c , d , a , b , c .
{ð {ð }ð {ð }ð {ð }ð {ð }ð
}ð
a . K t ó r e e l e m e n t y t e g o z b i o r u s z b i o r a m i ?
b . K t ó r e z n a s t p u j c y c h w y r a |e D m a j s e n s :
Øð a Îð A .
Øð a Ìð A .
{ð }ð
Øð a Ìð A .
Øð a , b , c , d Îð A .
{ð }ð
Øð a Îð A .
{ð }ð
Øð a , b , c , d Ìð A .
{ð }ð
6 . K t ó r a z n a s t p u j c y c h r ó w n o [c i j e s t p r a w d z i w a , a k t ó r a f a Bs z y w a d l a d o w o l n e g o z b i o r u A ?
a . A ÈðÆð =ð A . d . A ÇðÆð =ð A .
b . A ÇðÆð =ð Æð .
e . A Èð A =ð Æð.
c . A ÈðÆð =ð Æð .
f . A \ A =ðÆð.
7 . W y z n a c z y e l e m e n t y n a s t p u j c y c h z b i o r ó w :
a . x Îð¥ð : x 2 ³ð 0 . h . x Îð¡ð : x 2 +ð 4 ×ð x +ð 4 £ð 0 .
{ð }ð {ð }ð
b . x Îð¥ð : 5 -ð x £ð1 . i . x Îð¢ð : ( x +ð1 ) 2 £ð 0 .
{ð }ð {ð }ð
c . x Îð¥ð : x <ð 0 .
{ð }ð
j . 1 , 2 , 1 , 2 , Æð .
{ð }ð {ð }ð
{ð }ð
{ð }ð
d . x Îð¥ð : x =ð 4 Úð x =ð 7 .
{ð }ð
k . 1 , 2 , 1 , 2 , Æð .
{ð }ð {ð }ð {ð }ð
{ð {ð }ð }ð
e . Æð .
{ð }ð
l . x Îð£ð: x 2 -ð 4 ×ð x +ð 5 =ð 0 .
{ð }ð
f . a , b , c .
{ð }ð
{ð }ð
g . Æð .
8 . Z n a l e z w a r u n e k c h a r a k t e r y z u j c y e l e m e n t y z b i o r ó w :
a . A =ð{ . . . , -ð4 , -ð3 , -ð 2 , -ð1 , 0 } .
b . B =ð 1 , 2 , 4 , 8 , 1 6 , . . . .
{ð }ð
c . C =ð 3 , 8 .
{ð }ð
9 . D a n e s d w a z b i o r y A i B . Z n a l e z A Çð B , A Èð B , A \ B , B \ A .
a . A =ð 0 , 3 , 6 , 8 , B =ð 3 , 5 , 8 , 9 , .
{ð }ð {ð }ð
b . A =ð x Îð¡ð : x 2 -ð x -ð1 2 ³ð 0 , B =ð x Îð¡ð : 2 ×ð x -ð3 <ð 7
{ð }ð {ð }ð
c . A =ð -ð1 , 1 \ 1 / 2 , B =ð x Îð¢ð : -ðpð £ð x <ð 2 0 .
(ð ]ð {ð }ð
{ð }ð
M a t e m a t y k a d y s k r e t n a . O p r a c o w a Ba L . D o b r y a k o v a 5
1 0 . D a n a j e s t p r z e s t r z e D U ( u n i w e r s u m ) o r a z z b i o r y A i B . W y z n a c z y A i B .
a . U =ð ¥ð , A =ð 1 , 3 , 5 , 7 , . . . , B z b i ó r l i c z b n a t u r a l n y c h w i k s z y c h o d 6 .
{ð }ð
b . U =ð ¢ð , A =ð ¥ð , B z b i ó r l i c z b c a Bk o w i t y c h m n i e j s z y c h o d 5 .
c . U z b i ó r p o t g l i c z b y 2 o w y k Ba d n i k u n a t u r a l n y m , A z b i ó r p o t g l i c z b y 2 o w y k Ba d n i k u
n i e p a r z y s t y m , B =ð 1 , 2 , 4 , 8 . . . .
{ð }ð
1 1 . W y z n a c z y z b i o r y :
a . ¥ð Çð 4 , 7 .
(ð ]ð
b . ¥ð Çð -ð4 , 7 .
(ð ]ð
c . ¢ð Çð -ð4 , 7 .
(ð )ð
d . ¥ð \ -ð2 , 4 .
(ð )ð
e . 5 , 6 \ ¥ð.
[ð ]ð
1 2 . N i e c h x , y , z , f s r ó |n e o d z b i o r u p u s t e g o . J a k i e z a l e |n o [c i m u s z z a c h o d z i p o m i d z y
n i m i , |e b y z a c h o d z i By r ó w n o [c i :
a . y , z =ð y , z , f .
{ð }ð {ð }ð
b . x , y , x , x =ð y , x .
{ð }ð {ð }ð
c . x , y , z =ð x , z .
{ð }ð {ð }ð
{ð }ð {ð }ð
d . y , f , z =ð y , x .
{ð }ð {ð }ð {ð }ð
{ð }ð {ð }ð
e . x , Æð , z =ð Æð .
{ð }ð {ð }ð
{ð }ð {ð }ð
1 3 . P r z y j m u j c , |e r ó |n e l i t e r y o z n a c z a j r ó |n e p r z e d m i o t y , e w e n t u a l n i e l i c z b y r z e c z y w i s t e ,
z b a d a , j a k i e r e l a c j e i n k l u z j i z a c h o d z m i e d z y n a s t p u j c y m i z b i o r a m i A i B :
a . A =ð a , a , 0 , B =ð a .
{ð }ð
{ð }ð {ð }ð
b . A =ð a , b , B =ð a , c , d .
{ð }ð {ð }ð
c . A =ð x Îð¥ð : x >ð 2 , B =ð y Îð¥ð : y >ð 2 .
{ð }ð {ð }ð
d . A =ð a ×ð x +ð b : a , x , b Îð¡ð , B =ð x +ð y : x , y Îð¡ð .
{ð }ð {ð }ð
e . A =ð x Îð¥ð : x 2 >ð 4 , B =ð x Îð¥ð : x >ð 2 .
{ð }ð
{ð }ð
f . A =ð a , b , a , b , Æð , B =ð a , b , Æð .
{ð }ð {ð }ð {ð }ð
{ð }ð {ð }ð
g . A =ð x Îð¡ð : x >ð 0 , B =ð y Îð¥ð : y >ð 0 .
{ð }ð {ð }ð
h . A =ð a , b , c , d , c , d , B =ð a , b , c .
{ð }ð {ð }ð {ð }ð
{ð }ð {ð }ð
1 4 . C z y n a s t p u j c a i n k l u z j a j e s t p r a w d z i w a c z y f a Bs z y w a d l a d o w o l n y c h z b i o r ó w A i B ?
R o z w i z a z a d a n i e z a p o m o c d i a g r a m ó w V e n n a .
a . ( A Çð A ) Íð A .
b . ( A \ B ) Íð ( A Çð B ) .
c . ( A Çð B ) Íð A .
1 5 . Z a p o m o c d i a g r a m ó w V e n n a s p r a w d z i , c z y p o n i |s z e r ó w n o [c i s p r a w d z i w e . U d o w o d n i
t e , k t ó r e s p r a w d z i w e .
a . A \ ( A \ B ) =ð A Çð B .
e . ( A Èð B ) =ð A Çð B .
b . ( A Èð B ) \ A =ð B \ ( A Çð B ) .
f . A Èð( A Çð B ) =ð A .
c . A \ B \ C =ð A \ C \ B \ C . g . A Çð( A Èð B ) =ð A .
(ð )ð (ð )ð (ð )ð
d . ( A Çð B ) =ð A Èð B .
M a t e m a t y k a d y s k r e t n a . O p r a c o w a Ba L . D o b r y a k o v a 6
1 6 . U d o w o d n i :
a . A -ð B =ð B -ð A .
&ð &ð
b . A -ð B =ð Æð®ð A =ð B .
&ð
c . A Çð( B -ðC ) =ð ( A Çð B ) -ð ( A ÇðC ) .
&ð&ð
1 7 . D o w i e [, |e d l a d o w o l n y c h z b i o r ó w A , B , C , D z a c h o d z n a s t p u j c e i m p l i k a c j e b d z
r ó w n o w a |n o [c i :
a . éð A Íð B Ùð C Íð D ùð ®ð A ÈðC Íð B Èð D .
(ð )ð (ð )ðûð (ð )ð
ëð
b . éð A Íð B Ùð C Íð D ùð ®ð A \ D Íð B \ C .
(ð )ð (ð )ðûð (ð )ð
ëð
c . A Íð B «ð B =ð éðA Èð B \ A ùð .
(ð )ð (ð )ðûð
(ð )ð
ëð
1 8 . W y z n a c z y A i i A i .
Ið Uð
i ÎðI i ÎðI
a . I =ð 0 , 1 , 2 , 3 , A i =ð i -ð1 , i +ð 2 .
{ð }ð [ð ]ð
b . I =ð 0 , 1 , 2 , 3 , A i =ð -ði , 0 , i .
{ð }ð {ð }ð
c . I =ð 0 , 1 , 2 , 3 , A i =ð ¡ð \ i .
{ð }ð {ð }ð
1 9 . W y z n a c z y A i i A i , g d y I =ð ¥ð+ð o r a z g d y I =ð ¡ð+ð :
Uð Ið
i ÎðI i ÎðI
a . A i =ð x Îð¥ð : -ði £ð x £ð i
{ð }ð
b . A i =ð x Îð¡ð : -ði £ð x £ð i
{ð }ð
1
ìðx üð
c . A i =ð Îð¡ð : 0 £ð x £ð
íðýð
i +ð1 þð
îð
1 i +ð1
ìðx üð
d . A i =ð Îð¡ð : 1 -ð £ð x £ð
íðýð
1 +ð i i +ð 2 þð
îð
¥ð ¥ð
2 0 . W y z n a c z y A i i A i , g d y I =ð ¥ð+ð :
Ið Uð
i =ð1 i =ð1
1
éð0 , ùð.
a . A i =ð
êð úð
i
ëð ûð
1 1
éð ùð.
b . A i =ð ,
êð-ð i i úð
ëð ûð
éð 1 ùð
æð öð
c . A i =ð ¡ð \
çð ÷ð
êð0 , èð1 +ð i øðúð.
ëðûð
d . A i =ð ¡ð \ i , ¥ð .
[ð )ð
a .
2 1 . W y z n a c z y A i i A i , g d y I =ð ¡ð :
Ið Uð
i ÎðI i ÎðI
1
éð0 , ùð.
a . A i =ð
êð
i 2 +ð1 úð
ëð ûð
b . A i =ð i , ¥ð .
(ð )ð
2
éð ùð
c . A i =ð
ëð1 , i ûð.
M a t e m a t y k a d y s k r e t n a . O p r a c o w a Ba L . D o b r y a k o v a 7
¥ð
2 2 . W y z n a c z y A i , g d y I =ð ¥ð+ð :
Uð
i =ð1
1 1
ìðx üð.
a . A i =ð Îð¡ð : -ð 2 +ð £ð x <ð 2 -ð
íðýð
i i
îðþð
b . A i =ð x Îð¡ð : x 2 +ð 2 ×ð x +ð i =ð 0 .
{ð }ð
¥ð
2 3 . W y z n a c z y A i , g d y I =ð ¥ð+ð :
Ið
i =ð1
1
ìðx üð.
a . A i =ð Îð¡ð : 0 £ð x <ð 2 -ð
íðýð
i
îðþð
b . A i =ð x Îð¡ð : x >ð i .
{ð }ð
2 4 . U d o w o d n i , |e d l a d o w o l n y c h r o d z i n A =ð A i : i Îð I o r a z B =ð B i : i Îð I :
{ð }ð {ð }ð
a .
Ið( A Èð B i ) =ðIðA ÈðIðB .
i i i
i ÎðI i ÎðI i ÎðI
b .
Uð( A Çð B i ) ÍðUðA ÇðUðB .
i i i
i ÎðI i ÎðI i ÎðI
c .
Uð( A Èð B i ) =ðUðA ÈðUðB .
i i i
i ÎðI i ÎðI i ÎðI
2 5 . W y z n a c z y i l o c z y n k a r t e z j a Ds k i A ´ð B i B ´ð A d l a n a s t p u j c y c h z b i o r ó w A i B .
a . A =ð 0 , 1 , B =ð{ 1 , 2 , 3 }
{ð }ð
b . A =ð 0 , 1 , B =ð{ 1 , 2 , 3 }
{ð }ð
{ð }ð
c . A =ðÆð , B =ð a , b , c , d .
{ð }ð
d . A =ð{ Æð, 4 } , B =ð{ 1 , 2 , 3 } .
a .
2 6 . W y z n a c z y z b i ó r A 2 i o k r e [l i j e g o m o c :
a . A =ð 2 , 3 , 4 , 5 .
{ð }ð
b . A =ð a , b .
{ð }ð
2 7 . S p r a w d z i , c z y p r a w d z i w a j e s t n a s t p u j c a r ó w n o [:
A ´ð( B ÈðC ) =ð ( A ´ð B ) Èð( A ´ðC ) .
2 8 . S p r a w d z i , c z y p r a w d z i w a j e s t n a s t p u j c a r ó w n o [:
a . A \ ( B ´ðC ) =ð ( A \ B ) ´ð( A \ C ) .
b . A Çð( B ´ðC ) =ð ( A Çð B ) ´ð( A ÇðC ) .
2 9 . U d o w o d n i r ó w n o [:
a . ( A Çð B ) ´ðC =ð ( A ´ðC ) Çð( B ´ðC ) .
b . A ´ð( B \ C ) =ð ( A ´ð B ) \ ( A ´ðC ) .
c . B ´ð =ð A i ) .
IðA Ið( B ´ð
i
i ÎðI i ÎðI
d . B ´ð =ð
UðA Uð( B ´ð A i ) .
i
i ÎðI i ÎðI
3 0 . U z a s a d n i , |e j e [l i A ´ð B =ð B ´ð A , t o a l b o A =ðÆð , a l b o B =ðÆð , a l b o A =ð B .
M a t e m a t y k a d y s k r e t n a . O p r a c o w a Ba L . D o b r y a k o v a 8
R E L A C J E
1 . D a n e s z b i o r y A =ð -ð3 , 0 , 4 , B =ð -ð1 , -ð2 , 5 , W y z n a c z y r e l a c j e Âð Íð A ´ð B , a Âðb :
{ð }ð {ð }ð
a . a +ð b >ð 0 .
b . a -ðb <ð 0 .
c . a +ð b £ð 0 .
d . a -ðb ³ð 0 .
e . a ×ðb >ð 0 .
2 . W y z n a c z y d z i e d z i n y d l a n a s t p u j c y c h r e l a c j i :
a . Âð=ð a , b , a , c , b , a .
{ð }ð
b . Âð=ð a , a , a , b , a , c , b , c .
{ð }ð
c . Âð=ð a , b , c , d , a , c , b , c , a , d , b , a .
{ð }ð
d . a Âðb Ûð ( a Îð¥ð Ùðb Îð¥ð Ùð a <ð b ) .
3 . W y z n a c z y d z i e d z i n y r e l a c j i , o r a z d l a r e l a c j i b i n a r n y c h p o l e r e l a c j i , d o p e Bn i e n i e r e l a c j i o r a z
r e l a c j o d w r o t n :
a . A =ð -ð2 , -ð1 , 0 , 2 , B =ð 1 , 2 , C =ð 0 , 2 , 4 , Âð =ð a , b , c : a Îð A Ùðb Îð B Ùð c ÎðC Ùð a +ð 2 ×ðb =ð c .
{ð }ð {ð }ð {ð }ð {ð }ð
b . A =ð 2 , 3 , 7 , 1 4 , B =ð 3 , 5 , 6 , 9 , 1 0 , Âð =ð a , b : a Îð A Ùðb Îð B Ùð a i b s w z g l d n i e p i e r w s z e .
{ð }ð {ð }ð {ð (ð )ð
}ð
4 . D l a z a d a n y c h r e l a c j i d w u a r g u m e n t o w y c h Âð1 i Âð2 w y z n a c z y Âð1 oðÂð2 :
a . Âð1 =ð 1 , 2 , 2 , 3 , 1 , 4 , Âð2 =ð 2 , 3 , 3 , 2 , 4 , 2 , 4 , 5 .
{ð }ð {ð }ð
b . Âð1 =ð x , y , x , z , Âð2 =ð x , y , y , x , y , z , z , z .
{ð }ð {ð }ð
5 . D l a z a d a n y c h r e l a c j i d w u a r g u m e n t o w y c h Âð w y z n a c z y D ( Âð) , D -ð1 ( Âð) , Âð-ð1 , ÂðoðÂð,
ÂðoðÂð-ð1 o r a z Âð-ð1 oðÂð :
2
a . Âð =ð x , y Îð ¥ð+ð : x | y .
(ð )ð
{ð }ð
b . Âð =ð x , y Îð¡ð2 : x +ð y £ð 0 .
{ð }ð
c . Âð =ð x , y Îð¡ð2 : 2 ×ð x ³ð 3 ×ð y .
{ð }ð
6 . U d o w o d n i , |e d l a d o w o l n e j r e l a c j i Âð : Âð Íð D Âð ´ð D -ð1 Âð .
(ð )ð (ð )ð
-ð1
7 . S p r a w d z i , c z y p r a w d z i w y j e s t w z ó r ( Âð1 ÇðÂð2 ) -ð1 =ð Âð1 ÇðÂð-ð1 .
2
-ð1
8 . U d o w o d n i , |e ( Âð1 oðÂð2 ) -ð1 =ð Âð-ð1 oðÂð1 .
2
9 . U d o w o d n i , |e d l a d o w o l n y c h r e l a c j i b i n a r n y c h p r a w d z i w a j e s t r ó w n o [
( Âð1 oðÂð2 ) oðÂð3 =ð Âð1 oð( Âð2 oðÂð3 )
.
1 0 . D l a z b i o r u A =ð 1 , 2 , 3 p o d a p r z y k Ba d r e l a c j i Âð :
{ð }ð
a . Z w r o t n e j .
b . S y m e t r y c z n e j .
c . P r z e c h o d n i e j .
1 1 . Z a k Ba d a j c , |e r ó |n e l i t e r y o z n a c z a j r ó |n e e l e m e n t y , z b a d a , k t ó r e w Ba s n o [c i m a j
n a s t p u j c e r e l a c j e ÂðÍð A 2 , g d z i e A =ð a , b , c , d .
{ð }ð
a . Âð=ð a , a , b , b , a , b . A w z b i o r z e B =ð a , b ?
{ð }ð {ð }ð
b . Âð=ð a , a , b , b , c , c , d , d , a , b , b , a
{ð }ð.
c . Âð=ð a , b , a , c , b , c , c , c , a , a , b , b . A w z b i o r z e B =ð a , b , c ?
{ð }ð {ð }ð
M a t e m a t y k a d y s k r e t n a . O p r a c o w a Ba L . D o b r y a k o v a 9
1 2 . U d o w o d n i , |e r e l a c j a ÂðÍð¡ð2 j e s t z w r o t n a , s y m e t r y c z n a i p r z e c h o d n i a :
Âð =ð x , y : x 2 =ð y 2 .
{ð }ð
1 3 . Z b a d a , k t ó r e w Ba s n o [c i m a r e l a c j a Âð :
a . Âð Íð ¥ð2 : Âð =ð x , y : 2 x +ð y .
{ð }ð
b . Âð Íð ¢ð2 : Âð =ð x , y : 3 x -ð y
{ð }ð.
c . Âð Íð ¥ð2 : Âð =ð x , y : x ¹ð 0 Ùð x y
{ð }ð.
d . Âð Íð ¡ð2 : Âð =ð x , y : x 2 ¹ð y 2 .
{ð }ð
e . Âð Íð ¥ð2 : Âð =ð x , y : x ×ð y =ð 4
{ð }ð.
1 4 . S p r a w d z i , c z y n a s t p u j c e z d a n i e j e s t p r a w d z i w e : C z [ w s p ó l n a d w u r e l a c j i
p r z e c h o d n i c h j e s t p r z e c h o d n i a .
1 5 . U d o w o d n i , |e n a t o b y r e l a c j a Âð b y Ba s y m e t r y c z n a p o t r z e b a i w y s t a r c z a , b y Âð Íð Âð-ð1 .
2
1 6 . D l a d a n e g o z b i o r u X o r a z r e l a c j i ÂðÍð X z b a d a , c z y Âð j e s t z w r o t n a , s y m e t r y c z n a i
p r z e c h o d n i a . J e [l i r e l a c j a j e s t r e l a c j r ó w n o w a |n o [c i , w s k a z a k l a s y a b s t r a k c j i :
a . X =ð ¥ð, x Âðy Ûð 2 x +ð y .
b . X =ð ¥ð, x Âðy Ûð 4 x +ð y
c . X =ð ¥ð, x Âðy Ûð 5 x -ð y .
d . X =ð ¡ð, x Âðy Ûð x -ð y =ð 3 .
e . X =ð ¡ð, x Âðy Ûð y =ð x 2
.
f . X =ð ¡ð, x Âðy Ûð x 2 ¹ð y 2
g . X =ð -ð2 , -ð1 , 0 , 1 , x Âðy Ûð x -ð y ¹ð -ð3 .
{ð }ð
h . X =ð ¡ð, x Âðy Ûð x 2 +ð ( y -ð 2 ) 2 >ð 4 .
i . X =ð ¡ð, x Âðy Ûð 3 £ð x -ð y £ð 6 .
j . X =ð ¡ð, x Âðy Ûð x ×ð y ³ð 0 .
1 7 . Z b a d a , c z y r e l a c j a Âð j e s t r e l a c j r ó w n o w a |n o [c i . J e [l i t a k , w y z n a c z y k l a s y a b s t r a k c j i .
X =ð ¥ð´ð¥ð, d l a x =ð m 1 , n 1 , y =ð m 2 , n 2 r e l a c j a Âð j e s t o k r e [l o n a n a s t p u j c o :
x Âðy Ûð m 1 , n 1 Âð m 2 , n 2 Ûð m 1 +ð n 2 =ð n 1 +ð m 2 .
1 8 . W z b i o r z e X d a n a j e s t r e l a c j a Âð . Z b a d a , c z y r e l a c j a t a j e s t r e l a c j p o r z d k u o r a z r e l a c j
l i n i o w e g o p o r z d k u .
a . X =ð ¢ð, Âð =ð x , y : x y
{ð }ð.
b . X j e s t z b i o r e m p o s t a c i 3 n , n Îð¥ð, Âð =ð x , y : x y .
{ð }ð
c . X =ð ¡ð, Âð =ð x , y : x <ð y Úð y <ð x .
{ð }ð
d . X =ð ¡ð, Âð =ð x , y : x £ð 2 ×ð y .
{ð }ð
e . X =ð ¡ð, Âð =ð x , y : x <ð y Úð x =ð y .
{ð }ð
f . X =ð ¥ð, Âð =ð x , y : x y Úð x £ð y
{ð }ð.
g . X =ð ¡ð, Âð =ð x , y : x £ð y .
{ð }ð
M a t e m a t y k a d y s k r e t n a . O p r a c o w a Ba L . D o b r y a k o v a 1 0
F U N K C J E
1 . Z b a d a c z y p o d a n e r e l a c j e s f u n k c j a m i ?
2
a . Âð Íð ¡ð+ð , Âð =ð x , y : x 2 =ð y 2 ; u w a g a : ¡ð =ð ¡ð+ð Èð¡ð Èð 0 .
(ð )ð {ð }ð
{ð }ð
-ð
b . Âð Íð ¥ð´ð¢ð, Âð =ð x , y : x 3 =ð y 2
{ð }ð
c . x j e s t b r a t e m l u b s i o s t r y .
d . Âð =ð x , x 2 : x Îð¢ð .
{ð }ð
e . Âð Íð ¡ð2 , Âð =ð x , y : x =ð y 2 .
{ð }ð
f . Âð Íð £ð´ð£ð, x , y : I m x =ð R e y .
{ð }ð
2 . P r z y j m u j e m y , |e d z i e d z i n k a |d e j z p o d a n y c h p o n i |e j f u n k c j i j e s t z b i ó r l i c z b r z e c z y w i s t y c h ,
d l a k t ó r y c h w z ó r o k r e [l a j c y t f u n k c j m a s e n s . W y z n a c z y t d z i e d z i n :
x +ð 3
a . f x =ð .
(ð )ð
x -ð 3
x +ð 3
b . f x =ð .
(ð )ð
x 2 -ð 2
x +ð 3
c . f x =ð .
(ð )ð
2
x -ð 2
(ð )ð
1
d . f x =ð .
(ð )ð
1 -ð 4 ×ð x 2
4 -ð x 2
e . f x =ð .
(ð )ð
x 2 -ð x -ð 2
3 . D a n a j e s t f u n k c j a f : ¡ð ®ð ¡ð . W y z n a c z y p r z e c i w d z i e d z i n t e j f u n k c j i :
a . f x =ð x 2 +ð 3 .
(ð )ð
b . f x =ð c o s x .
(ð )ð
c . f x =ð c o s x .
(ð )ð
d . f x =ð1 -ð x .
(ð )ð
e . f x =ð 8 .
(ð )ð
1
ìð
d l a x ¹ð 0
ïð
f . f x =ð .
(ð )ð x 4
íð
ïð-ð6 d l a x =ð 0
îð
1
ìð
d l a x ¹ð 0
ïð
g . f x =ð .
(ð )ð x 3
íð
ïð0 d l a x =ð 0
îð
4 . D a n a j e s t f u n k c j a f : ¡ð ®ð ¡ð i z b i ó r A Íð ¡ð . W y z n a c z y o b r a z z b i o r u A w
p r z e k s z t a Bc e n i u f :
a . f x =ð 4 ×ð x +ð1 2 , A =ð 1 , 3 , 5 .
(ð )ð {ð }ð
f x =ð 5 ×ð x +ð1 , A =ð -ð2 , 1 .
(ð )ð (ð )ð
b .
f x =ð x -ð 2 , A =ð 1 , 6 .
(ð )ð [ð )ð
c .
f x =ð 8 , A =ð 1 , 6 .
(ð )ð [ð )ð
d .
x -ð 3 d l a x <ð1
ìð
f x =ð , A =ð 0 , 5 .
(ð )ð [ð ]ð
íð
e .
îðx +ð 2 d l a x ³ð1
M a t e m a t y k a d y s k r e t n a . O p r a c o w a Ba L . D o b r y a k o v a 1 1
5 . W y z n a c z y o b r a z z b i o r u A =ð 5 , 7 , 8 , 9 , 1 1 , 1 2 , 1 3 , 1 5 w p r z e k s z t a Bc e n i u f : ¥ð ®ð ¥ð
{ð }ð
o k r e [l o n y m p o n i |e j :
a . f x j e s t n a j w i k s z l i c z b p a r z y s t m n i e j s z l u b r ó w n x .
(ð )ð
b . f x j e s t n a j w i k s z l i c z b n i e p a r z y s t s p o [r ó d d z i e l n i k ó w l i c z b y x .
(ð )ð
6 . N i e c h f : ¡ð ®ð ¡ð b d z i e o k r e [l o n e w z o r e m f ( x ) =ð x 2 -ð5 ×ð x +ð 6 . Z n a l e z:
a . f * 0 , 2 .
[ð ]ð
b . f * 0 , 4 .
{ð }ð
c . f * -ð2 , 6 .
[ð ]ð
-ð1
d . f * -ð¥ð, 0 .
(ð ]ð
-ð1
e . f * -ð¥ð, -ð3
(ð ]ð
-ð1
f . f * -ð0 , 2 5 .
{ð }ð
7 . N i e c h f : ¡ð ®ð ¡ð b d z i e o k r e [l o n e w z o r e m f x =ð s i n x +ð1 . Z n a l e z:
(ð )ð
a . f * 0 , pð .
{ð }ð
pð pð pð
üð
b . f * ìð , , .
íðýð
2 4 6
îðþð
3 ×ðpð
ùð
c . f * éð0 , .
êð úð
2
ëð ûð
1
-ð1
d . f * æð , ¥ðöð .
çð ÷ð
2
èð øð
-ð1
e . f * -ð¥ð, 1 .
(ð )ð
-ð1
f . f * 0 .
{ð }ð
8 . W y z n a c z y p r z e c i w o b r a z z b i o r u B w p r z e k s z t a Bc e n i u f : ¡ð ®ð ¡ð o k r e [l o n y m p o n i |e j :
a . f x =ð 3 ×ð x +ð 2 , B =ð 5 , 1 1 , 1 4 .
(ð )ð {ð }ð
b . f x =ð x , B =ð 0 , 2 , 8 .
(ð )ð {ð }ð
c . f x =ð1 -ð x 2 , B =ð 0 , -ð3 .
(ð )ð [ð ]ð
d . f x =ð 8 , B =ð 4 , 9 .
(ð )ð [ð )ð
e . f x =ð 8 , B =ð 4 , 7 .
(ð )ð [ð )ð
1
ìð
d l a x ¹ð 0
ïð
f . f x =ð , B =ð -ð1 ; 1 .
(ð )ð x 2 (ð )ð
íð
ïð-ð4 d l a x =ð 0
îð
9 . N i e c h a ¹ð b , z a [ X =ð a , b , a , b , Y =ð a , b , f : X ®ðY b d z i e o d w z o r o w a n i e m
{ð {ð }ð {ð }ð
}ð
o k r e [l o n y m w z o r a m i f a =ð f b =ð a , f a , b =ð b . Z n a l e z f * a , b .
(ð )ð (ð )ð (ð )ð {ð }ð
{ð }ð
1 0 . U d o w o d n i , |e :
a . f * A Çð B Ìð f * A Çð f * B .
(ð )ð (ð )ð (ð )ð
b . f * A \ f * B Ìð f * A \ B .
(ð )ð (ð )ð (ð )ð
-ð1
c . A Ìð f * f * A .
(ð )ð
M a t e m a t y k a d y s k r e t n a . O p r a c o w a Ba L . D o b r y a k o v a 1 2
1 1 . O k r e [l i s u p e r p o z y c j f oð g o r a z w y z n a c z y o b r a z y f oð g * A , f oð g * B :
(ð )ð (ð )ð
a . f : ¡ð ®ð ¡ð o k r e [l o n e j e s t w z o r e m f x =ð x +ð 2 , g : ¡ð ®ð ¢ð o k r e [l o n e j e s t w z o r e m
(ð )ð
2
êðx úð
g ( x ) =ð -ð , A =ð 0 , 1 , B =ð ¡ð+ð , g d z i e c a Bo [ z l i c z b y n a j w i k s z a l i c z b a c a Bk o w i t a n i e
[ð )ð êðûð
ëða úð
êð
3 úð
ëð ûð
w i k s z a o d d a n e j l i c z b y .
b . f : ¥ð ®ð ¡ð o k r e [l o n e j e s t w z o r e m f n =ð n , g : ¡ð ®ð ¡ð o k r e [l o n e j e s t w z o r e m
(ð )ð
g x =ð x 4 -ð x 2 , A =ð 2 , 4 , 6 , 8 , 1 0 , B =ð 0 , 1 .
(ð )ð {ð }ð {ð }ð
c . f : ¡ð2 ®ð £ð o k r e [l o n e j e s t w z o r e m f ( x , y ) =ð x +ð i ×ð y , g : £ð ®ð ¡ð o k r e [l o n e j e s t w z o r e m
g x =ð x +ð1 , A =ð 0 , 1 ´ð 0 , 1 , B =ð x , y : x 2 +ð y 2 £ð 2 .
(ð )ð (ð )ð [ð ]ð
{ð }ð
1 2 . N i e c h A =ð 1 , 2 , 5 , 7 i B =ð 3 , 4 , 6 , 8 . K t ó r e r e l a c j e Âð Íð A ´ð B s f u n k c j a m i :
{ð }ð {ð }ð
a . Âð=ð 7 , 4 , 2 , 3 , 1 , 4 , 5 , 6 .
{ð }ð
b . Âð=ð 2 , 4 , 5 , 8 , 1 , 3 , 7 , 6 .
{ð }ð
c . Âð=ð 2 , 3 , 5 , 6 , 7 , 4 .
{ð }ð
d . Âð=ð 7 , 3 , 1 , 4 , 5 , 3 , 1 , 8 , 2 , 6 .
{ð }ð
K t ó r e z t y c h f u n k c j i s i n j e k c j a m i ( o d w z o r o w a n i a m i r ó |n o w a r t o [c i o w y m i ) , a j a k i e s u r j e k c j m i
( o d w z o r o w a n i a m i " n a " ) ?
1 3 . D l a d a n e g o p r z e k s z t a Bc e n i a f : ¡ð ®ð ¡ð z b a d a , c z y f j e s t i n j e k c j ( o d w z o r o w a n i e m
r ó |n o w a r t o [c i o w y m ) , c z y f j e s t s u r j e k c j ( o d w z o r o w a n i e m " n a "
) . J e [l i f n i e j e s t i n j e k c j ,
w s k a z a x 1 i x 2 t a k i e , |e x 1 ¹ð x 2 , a l e f x 1 =ð f x 2 . J e [l i n i e j e s t s u r j e k c j z n a l e z W f .
(ð )ð (ð )ð
a . f x =ð x 2
(ð )ð
b . f x =ð x 3 -ð x 2
(ð )ð
c . f x =ð , g d z i e c a Bo [ z l i c z b y n a j w i k s z a l i c z b a c a Bk o w i t a n i e w i k s z a o d d a n e j
(ð )ð êðûð êðûð
ëðx úð ëðx úð
l i c z b y .
x
ìð
, x ¹ð-ð1
ïð
d . f x =ð .
(ð )ð x +ð1
íð
ïð1 , x =ð-ð1
îð
e . f x =ð x 4 -ð5 ×ð x 2 +ð 4
(ð )ð
2 ×ð x +ð1
ìð
, x ¹ð 1
ïð
f . f x =ð .
(ð )ð x -ð1
íð
ïð0 , x =ð1
îð
2 ×ð x
g . f x =ð .
(ð )ð
x 2 +ð1
1 4 . N i e c h f : ¥ð ®ð ¥ð b d z i e o k r e [l o n e w z o r e m f ( n ) =ð n 2 +ð1 . C z y f j e s t p r z e k s z t a Bc e n i e m
r ó |n o w a r t o [c i o w y m ? C z y f j e s t p r z e k s z t a Bc e n i e m " n a " ?
1 5 . N i e c h f : X ®ðY i g : Y ®ð Z b d p r z e k s z t a Bc e n i a m i r ó |n o w a r t o [c i o w y m i . U d o w o d n i , |e
f oð g : X ®ð Z j e s t t a k |e p r z e k s z t a Bc e n i e m r ó |n o w a r t o [c i o w y m .
M a t e m a t y k a d y s k r e t n a . O p r a c o w a Ba L . D o b r y a k o v a 1 3
1 6 . N i e c h f : ¥ð2 ®ð ¥ð b d z i e o d w z o r o w a n i e m , o k r e [l o n y m w z o r e m f n , k =ð n ×ðk .
(ð )ð
a . C z y o d w z o r o w a n i e f j e s t " n a " ?
b . W y z n a c z y f * ¥ð´ð 2 .
{ð }ð
(ð )ð
-ð1
c . W y z n a c z y f * 0 .
{ð }ð
-ð1
d . W y z n a c z y f * 2 n : n Îð¥ð .
{ð }ð
-ð1
1 7 . D a n a j e s t f u n k c j a f . W y z n a c z y f u n k c j o d w r o t n f :
a . f : ¡ð ®ð ¡ð, f x =ð 4 ×ð x +ð1
(ð )ð
b . f : ¡ð ®ð ¡ð, f x =ð 2 -ð3 ×ð x
(ð )ð
1
c . f : ¡ð \ 2 ®ð ¡ð \ 0 , f x =ð
{ð }ð {ð }ð (ð )ð
2 ×ð x -ð 4
1 8 . O d p o w i e d z i e n a p y t a n i a :
a . I l e n a l e |y w y l o s o w a k a r t z t a l i i l i c z c e j 5 2 k a r t y , a b y n a p e w n o t r a f i By s i c o n a j m n i e j d w i e
w j e d n y m k o l o r z e ?
b . I l e n a l e |y w y l o s o w a k a r t z t a l i i l i c z c e j 5 2 k a r t y , a b y n a p e w n o t r a f i By s i c o n a j m n i e j
c z t e r y w j e d n y m k o l o r z e ?
1 9 . W b l o k u 6 p i t r o w y m n a p a r t e r z e d o w i n d y w s i a d Bo 8 o s ó b . C z y m o |l i w a j e s t s y t u a c j a , |e
k a |d y z p a s a |e r ó w w y s i d z i e n a i n n y m p i t r z e ?
2 0 . W y k a z a , |e w g r u p i e 2 0 o s ó b m u s z b y c o n a j m n i e j d w i e , k t ó r e u r o d z i By s i w t y m s a m y m
m i e s i c u .
2 1 . N a z a j c i a c h k o Ba m a t e m a t y c z n e g o p o j a w i Bo s i 5 0 o s ó b . C z y m o |n a s p o [r ó d n i c h w y b r a 5
o s ó b u r o d z o n y c h w t y m s a m y m m i e s i c u ;
2 2 . N i e c h S =ð 0 , 1 , 2 , 3 , . . . , 1 9 . J a k n a j m n i e j s z l i c z b l i c z b n i e p a r z y s t y c h n a l e |y w y b r a z e
{ð }ð
z b i o r u S , a b y s u m a c o n a j m n i e j d w ó c h z n i c h b y Ba r ó w n a 2 0 ?
2 3 . U d o w o d n i , |e w [r ó d w y b r a n y c h d o w o l n y c h 7 r ó |n y c h l i c z b c a Bk o w i t y c h m u s z b y t a k i e 2 ,
k t ó r y c h s u m a l u b r ó |n i c a d z i e l i s i p r z e z 1 0 .
M a t e m a t y k a d y s k r e t n a . O p r a c o w a Ba L . D o b r y a k o v a 1 4
R E K U R E N C J E
1 . D a n a j e s t r e k u r e n c j a . W y p i s a k i l k a p i e r w s z y c h w y r a z ó w c i g u . W y z n a c z y z b i ó r w a r t o [c i
c i g u :
a 0 =ð1
ìð
a .
íða =ð 3 ×ða n -ð1 -ð 2 , d l a n Îð¥ð .
îð n
ìð
ïða 0 =ð 5
b . , d l a n Îð¥ð .
íð
n -ð1
(ð )ð
ïða =ð -ð1 ×ð a n -ð1
n
îð
ìða 0 =ð1
ïð
ïð
c . , d l a n Îð¥ð .
íða =ð 2
1
ïð
n -ð1
(ð )ð
ïða =ð 2 ×ð a n -ð1 +ð -ð1 ×ð a n -ð2
n
îð
2 . D a n y j e s t c i g 1 , 5 , 2 5 , 1 2 5 , 6 2 5 , . . . . P o d a w z ó r o g ó l n y n a n t y w y r a z c i g u . O k r e [l i t e n
c i g r e k u r e n c y j n i e .
3 . O k r e [l i r e k u r e n c y j n i e :
a . 1 , 1 ×ð3 , 1 ×ð3 ×ð5 , 1 ×ð3 ×ð5 ×ð7 , . . .
;
b . 0 , 0 +ð 2 , 0 +ð 2 +ð 4 , 0 +ð 2 +ð 4 +ð 6 , . . . ;
c . 1 , 1 ×ð2 2 , 1 ×ð2 2 ×ð3 2 , ×ð1 ×ð2 2 ×ð3 2 ×ð4 2 , . . . ;
d . 1 , 1 +ð 2 , 1 +ð 2 +ð 4 , 1 +ð 2 +ð 4 +ð8 , 1 +ð 2 +ð 4 +ð8 +ð1 6 , . . . ;
e . 1 , 1 -ð3 , 1 -ð3 +ð5 , 1 -ð3 +ð5 -ð7 , 1 -ð3 +ð5 -ð7 +ð9 . . . ;
f . 1 2 , 1 2 -ð 2 2 , 1 2 -ð 2 2 +ð3 2 , 1 2 -ð 2 2 +ð3 2 -ð 4 2 , . . . ;
4 . P o d a w z ó r o g ó l n y a n c i g u o k r e [l o n e g o r e k u r e n c y j n i e :
a 0 =ð 2
ìð
íða =ð -ð3 ×ð a n -ð1 .
îð n
5 . D o w i e [, |e j e |e l i w y r a z y c i g u a n s p e Bn i a j n a s t p u j c e w a r u n k i
a 0 =ð 0
ìð
ïða =ð 5
íð
1
ïða =ð -ða n -ð1 +ð 6 ×ð a n -ð2 ,
îð n
n
t o w z ó r o g ó l n y m a p o s t a a n =ð 2 n -ð -ð3 .
(ð )ð
6 . D o w i e [, |e j e |e l i w y r a z y c i g u a n s p e Bn i a j n a s t p u j c e w a r u n k i :
a 0 =ð 2
ìð
ïða =ð 3
,
íð
1
ïða =ð 3 ×ð a n -ð1 -ð 2 ×ð a n -ð2
îð n
t o w z ó r o g ó l n y m a p o s t a a n =ð 2 n +ð1 .
7 . W k a |d y m z n a s t p u j c y c h p r z y p a d k ó w w y z n a c z y w z ó r o g ó l n y c i g u a n :
a 0 =ð 2 a 0 =ð1 a 0 =ð1
ìð ìð ìð
ïða ïða ïða
a . =ð-ð1 b . =ð 8 c . =ð 3
íð íð íð
1 1 1
ïða =ð -ða n -ð1 +ð 6 ×ð a n -ð2 ïða =ð 4 ×ð a n -ð1 -ð 4 ×ð a n -ð2 ïða =ð a n -ð2
îð n îð n îð n
=ð 4 ìð
ìð a 0 =ð 0
ïða 0
d .
íð ïð
e . =ð1
ïða n =ð 2 ×ða n -ð1 +ð n 2 íða
1
îð
ïða =ð 6 ×ða n -ð1 -ð8 ×ða n -ð2 +ð 5 n
îð n
M a t e m a t y k a d y s k r e t n a . O p r a c o w a Ba L . D o b r y a k o v a 1 5
8 . W y k o r z y s t u j c s c h e m a t H o r n e r a o b l i c z y w a r t o [ w i e l o m i a n u :
a . w ( x ) =ð 2 ×ð x 4 -ð5 ×ð x 2 +ð 4 ×ð x +ð 1 w p u n k c i e x 0 =ð 3 / 2 .
b . w ( x ) =ð 3 ×ð x 4 +ð 5 ×ð x 3 +ð 4 ×ð x 2 +ð 5 w p u n k c i e x 0 =ð1 .
c . w ( x ) =ð 3 ×ð x 4 +ð 5 ×ð x 3 +ð 4 ×ð x 2 +ð 5 w p u n k c i e x 0 =ð 3 .
¥ð
1
n
9 . W i e d z c , |e =ð g d y x <ð1 , w y z n a c z y z w y k B f u n k c j t w o r z c a w p o s t a c i
åðx
1 -ð x
n =ð0
s z e r e g u , g d y d a n a j e s t j e j p o s t a z w a r t a :
1
a .
1 -ð 2 ×ð x
1
b . .
1 +ð 3 ×ð x
1
c . .
( 1 -ð x ) 2
1
d . .
1 -ð x 2
¥ð
1
n
1 0 . W i e d z c , |e f u n k c j a t w o r z c a c i g u 1 , 1 , 1 , 1 , . . . m a p o s t a G ( x ) =ð =ð , w y z n a c z y
åðx 1 -ð x
n =ð0
p o s t a z w a r t f u n k c j i t w o r z c e j G ( x ) d l a d a n e g o c i g u :
a . 1 , 0 , 0 , 0 , . . . .
b . 0 , 0 , . . . , 0 , 1 , 0 , 0 . . . .
1ð2ð4ð
4ð 3ð
m z e r
c . 1 , -ð1 , 1 , -ð1 , . . . .
d . a n =ð 3 n .
1 1 . W y z n a c z y w z ó r o g ó l n y d l a c i g u F i b b o n a c c i e g o , w y k o r z y s t u j c f u n k c j t w o r z c .
1 2 . W y z n a c z y w z ó r o g ó l n y c i g u o k r e [l o n e g o r e k u r e n c y j n i e , w y k o r z y s t u j c f u n k c j t w o r z c :
a 0 =ð 0
ìð
ïða
a . =ð1 .
íð
1
ïða =ð 5 ×ða n -ð1 -ð 4 ×ða n -ð2
îð n
a 0 =ð-ð4
ìð
ïða =ð-ð3
ïð
1
b . .
íða =ð-ð7
2
ïð
ïða n =ð 2 ×ð a n -ð1 +ð1 ×ða n -ð1 -ð 2 ×ð a n -ð3
îð
a 0 =ð 0
ìð
c .
íða =ð 2 ×ða n -ð1 +ð 2 ×ð n -ð1 .
îð n
a 0 =ð1
ìð
ïða
d . =ð 2 .
íð
1
ïða =ð 6 ×ða n -ð1 -ð8 ×ð a n -ð2 +ð n
îð n
M a t e m a t y k a d y s k r e t n a . O p r a c o w a Ba L . D o b r y a k o v a 1 6
T E O R I A L I C Z B
1 . Z n a l e z N W D a , b w y k o r z y s t u j c a l g o r y t m E u k l i d e s a .
(ð )ð
a . a =ð 8 9 , b =ð 5 5 .
b . a =ð 2 2 0 , b =ð 2 8 .
c . a =ð 5 4 6 , b =ð 2 3 1 .
d . a =ð1 0 0 1 , b =ð 6 2 5 3 .
e . a =ð 2 4 7 5 , b =ð 7 0 0 .
2 . Z n a l e z N W D a , b o r a z N W W a , b w y k o r z y s t u j c f a k t o r y z a c j :
(ð )ð (ð )ð
a . a =ð1 8 9 , b =ð 7 2 0 .
b . a =ð 2 2 4 , b =ð 3 7 5 .
3 . O k r e [l i f u n k c j E u l e r a d l a d a n y c h l i c z b ( w s k a z ó w k a : a b y c z y n n i k i b y By p a r a m i w z g l d n i e
p i e r w s z e w y s t a r c z y p r z e d s t a w i c a By i l o c z y n w y k o r z y s t u j c f a k t o r y z a c j ) :
a . -ð1 , 1 , 4 , 7 , 1 0 , 1 3 .
b . 3 ×ð7 , 3 ×ð7 ×ð1 1 , 1 3 ×ð1 7 , 1 6 ×ð2 7 ×ð4 9 , 2 4 ×ð2 8 ×ð4 5 .
(ð )ð (ð )ð (ð )ð (ð )ð (ð )ð
c . 3 6 , 5 8 , 1 1 3 , 1 7 3 , 1 9 2 .
d . 3 7 5 , 7 2 0 , 9 8 8 , 4 3 2 0 .
4 . jð a =ð 8 4 0 o r a z a =ð 3 að ×ð7 bð ×ð1 1 gð . W y z n a c z y a .
(ð )ð
5 . jð a =ð 6 0 o r a z a =ð p ×ðq , g d z i e p i q s r ó |n y m i l i c z b a m i p i e r w s z y m i . W y z n a c z y a , j e |e l i
(ð )ð
p -ð q =ð 4 .
6 . jð a =ð1 2 0 o r a z a =ð p 2 ×ðq 2 , g d z i e p i q s r ó |n y m i l i c z b a m i p i e r w s z y m i . W y z n a c z y a .
(ð )ð
7 . W y z n a c z y i l e j e s t l i c z b n a t u r a l n y c h , m n i e j s z y c h o d l i c z b y 1 6 6 5 , t a k i c h , |e n a j w i k s z y
w s p ó l n y d z i e l n i k t y c h l i c z b z l i c z b 1 6 6 5 j e s t r ó w n y 3 7 .
8 . W y z n a c z y i l e j e s t l i c z b n a t u r a l n y c h , m n i e j s z y c h o d l i c z b y 1 4 7 6 , t a k i c h , |e n a j w i k s z y
w s p ó l n y d z i e l n i k k a |d e j z t y c h l i c z b z l i c z b 1 4 7 6 j e s t r ó w n y 4 1 .
9 . D a n e s l i c z b y 1 0 0 , 2 1 0 , 3 4 6 . K t ó r e z t y c h l i c z b p r z y s t a j d o 2 3 m o d u l o 7 ?
1 0 . D a n e s l i c z b y 1 8 0 , 5 3 1 , 1 0 4 . K t ó r e z t y c h l i c z b p r z y s t a j d o 1 1 m o d u l o 1 3 ?
1 1 . W y k o n a o b l i c z e n i a :
a . 3 2 4 5 4 8 -ð3 4 5 -ð3 4 2 3 4 m o d 3 .
(ð )ð
b . 1 2 5 4 3 ×ð4 3 2 1 m o d 5 .
(ð )ð
c . 5 2 9 -ð1 2 1 m o d 7 .
(ð )ð
d . 3 2 9 ×ð9 8 8 m o d 9 .
(ð )ð
e . 1 3 ×ð 1 8 +ð 2 3 m o d 7 .
(ð (ð )ð
)ð
f . 3 7 m o d 2 .
1 2 . W y z n a c z y r e s z t z d z i e l e n i a l i c z b y 1 3 3 ×ð5 4 8 p r z e z 5 7 .
1 3 . P o k a z a , |e j e [l i n j e s t l i c z b n i e p a r z y s t , t o n 2 ºð1 m o d 8 .
1 4 . Z j a k n a j m n i e j s z l i c z b ( w e d Bu g w a r t o [c i b e z w z g l d n e j ) k o n g r u e n t n a j e s t l i c z b a
N =ð1 1 ×ð1 8 ×ð2 3 2 2 ×ð1 3 ×ð1 9 m o d u l o 7 ?
1 5 . S p r a w d z i , c z y 5 1 8 ºð1 m o d 2 7 .
M a t e m a t y k a d y s k r e t n a . O p r a c o w a Ba L . D o b r y a k o v a 1 7
1 6 . W y k o n a o b l i c z e n i a w z b i o r z e ¢ðn :
a . ¢ð7 : 7 +ð 2 , 4 -ð8 , 2 ×ð4 .
b . ¢ð1 3 : 5 +ð1 1 , 1 -ð9 , 7 ×ð6 .
c . ¢ð1 2 : 5 +ð 4 , 3 -ð8 , 5 ×ð8 .
1 7 . R o z w i z a r ó w n a n i e :
a . 2 ×ð x ºð 3 m o d 6 . f . 4 ×ð x ºð 6 m o d 7 .
b . 3 ×ð x ºð 4 m o d 7 . g . 3 ×ð x ºð 3 m o d 6 .
c . 3 ×ð x ºð 2 m o d 5 . h . 2 1 ×ð x ºð 5 m o d 3 6 .
d . 3 ×ð x ºð 5 m o d 6 . i . 5 ×ð x ºð 2 m o d 1 0 .
e . 4 ×ð x ºð 8 m o d 1 2
1 8 . R o z w i z a u k Ba d r ó w n a D:
x ºð 3 m o d 7
ìð
a . .
íð
îðx ºð 7 m o d 1 3
x ºð 2 m o d 3
ìð
x ºð 3 m o d 1 1
ìð
ïðx ºð 3 m o d 5
b .
íðx ºð 5 m o d 7 .
ïð
d .
îð íðx ºð 4 m o d 1 1
ïð
x ºð 2 3 m o d 3 1
ìð
ïðx ºð 5 m o d 1 6
ïðx
îð
c . ºð 7 m o d 1 2
íð
ïðx ºð1 2 m o d 3 5
îð
1 9 . R o z w i z a u k Ba d r ó w n a D:
2 ×ð x ºð 7 m o d 1 3
4 ×ð x ºð 3 m o d 7 ìð
ìð
ïð5 ×ð ïð5 ×ð x ºð 8 m o d 1 7
a . x ºð 4 m o d 1 1 .
ïð
íð
b .
íð3 ×ð x ºð 7 m o d 3 1 .
ïð1 1 ×ð x ºð 8 m o d 1 3
îð ïð
ïð1 4 ×ð x ºð 3 5 m o d 1 9
îð
2 0 . Z n a l e z n a j m n i e j s z l i c z b n a t u r a l n , k t ó r a p r z y d z i e l e n i u p r z e z 3 , 5 , 1 1 d a j e o d p o w i e d n i o
r e s z t y 2 , 2 , 1 0 .
2 1 . R e s z t a z d z i e l e n i a p e w n e j l i c z b y c a Bk o w i t e j x p r z e z 3 j e s t r ó w n a 2 , r e s z t a z d z i e l e n i a x 2
p r z e z 3 2 j e s t r ó w n a 7 , r e s z t a z d z i e l e n i a x 3 p r z e z 3 3 j e s t r ó w n a 1 1 1 . W y z n a c z y l i c z b x .
2 2 . O b l i c z y m o |l i w e s z y b k o :
a . 5 8 4 m o d 3 .
b . 4 4 7 m o d 5 .
c . 3 6 3 6 m o d 1 7 .
d . 8 5 1 4 3 m o d 1 1 .
2 3 . W y z n a c z y r e s z t z d z i e l e n i a :
a . 3 8 3 1 7 5 p r z e z 4 5 .
b . 1 0 9 3 4 5 p r z e z 1 4 .
c . 3 8 0 +ð 7 8 0 p r z e z 1 1 .
d . 3 1 0 0 +ð 5 1 0 0 p r z e z 7 .
2 4 . W y z n a c z y o s t a t n i c y f r l i c z b y :
a . 3 5 6 4 1 3 9 w z b i o r z e ¢ð7 .
b . 2 3 2 0 1 1 9 w z b i o r z e ¢ð5 .
2 5 . W y z n a c z y o s t a t n i e d w i e c y f r y l i c z b y 7 4 3 .
M a t e m a t y k a d y s k r e t n a . O p r a c o w a Ba L . D o b r y a k o v a 1 8