ÿþE g z a m i n p o p r a w k o w y z r ó w n a D r ó |n i c z k o w y c h c z s t k o w y c h .
Aó d z, d n . 1 8 . 0 2 . 2 0 0 8 .
1 . P o d a p r z y k Ba d z e w n t r z n e g o z a g a d n i e n i a N e u m a n n a d l a r ó w n a n i a h i p e r b o l i c z n e g o w p r z y p a d k u n = 2 .
O p i s a i n t e r p r e t a c j ( f i z y c z n , c h e m i c z n , l u b d o w o l n i n n ) d l a p o d a n e g o p r z y k Ba d u .
2 . P o s Bu g u j c s i o g ó l n m e t o d w y p r o w a d z a n i a r ó w n a D c h a r a k t e r y s t y k , w y p r o w a d z i r ó w n a n i a c h a r a k t e r y -
s t y k d l a r ó w n a n i a k r z y w y c h g e o d e z y j n y c h p o s t a c i :
u 2 + u 2 + u 2 = n 2 ,
x y z
g d z i e n j e s t p e w n s t a B.
3 . P o s Bu g u j c s i w z o r e m P o i s s o n a d l a k o Ba , n a p i s a r o z w i z a n i e u ( x , y ) z a g a d n i e n i a D i r i c h l e t a w e w n t r z u
e l i p s y
x 2 y 2
+ < 1
a 2 b 2
d l a r ó w n a n i a t y p u e l i p t y c z n e g o
a 2 u x x + b 2 u y y = 0 ,
g d z i e a , b s s t a By m i , z w a r u n k i e m b r z e g o w y m u ( x ) = g ( x ) d l a x z b r z e g u e l i p s y .
4 . W y k a z a ( u z a s a d n i ) , |e w r o z w i n i c i u w s z e r e g F o u r i e r a f u n k c j i f : [ - À, À] ’! R n i e p a r z y s t e j n i e w y s t p u j
s k Ba d n i k i z a w i e r a j c e c o s i n u s .
5 . N i e c h Æ b d z i e r o z w i z a n i e m p o d s t a w o w y m r ó w n a n i a L a p l a c e a . P o k a z a , |e
| Æ( y ) | d y C µ2 l n µ
B ( 0 , µ)
d l a n = 2 , g d z i e C j e s t p e w n s t a B.
"u "u
6 . N i e c h f u n k c j a u = u ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) b d z i e h a r m o n i c z n a . C z y f u n k c j a w = · d l a n = 2 j e s t
"x 1 "x 2
h a r m o n i c z n a ? O d p o w i e d z u z a s a d n i .
7 . O k r e [l i t y p r ó w n a n i a
"u
""u - = 0
"t
d l a z m i e n n e j x " R 2 i w y k a z a , |e f u n k c j a
"
t k
u ( x , t ) = "2 k f ( x ) ,
k !
k = 0
g d z i e f j e s t f u n k c j n i e s k o Dc z e n i e w i e l e r a z y r ó |n i c z k o w a l n , p r z y z a Bo |e n i u , |e s z e r e g m o |n a r ó |n i c z k o w a
w y r a z p o w y r a z i e p o t r z e b n l i c z b r a z y , p r z e d s t a w i a r o z w i z a n i e t e g o r ó w n a n i a .
8 . J a k m o |n a z n a l e z w e k t o r n o r m a l n y z e w n t r z n y d o k u l i B ( ˜, 1 ) ‚" R n o [r o d k u w p u n k c i e z e r o i p r o m i e n i u
1 w d o w o l n y m p u n k c i e x 0 " "B ( ˜, 1 ) .
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