ÿþA r k u s z 0 4 : S t a n n a p r |e n i a . A r k u s z p r z e z n a c z o n y d o w i c z e D z p r z e d m i o t u P o d s t a w y w y t r z y m a Bo [c i m a t e r i a Bó w n a I I r o k u d z i e n n y c h s t u d i ó w
W y d z i a Bu I n |y n i e r i i M e c h a n i c z n e j i R o b o t y k i A G H n a k i e r u n k u I M I M w r o k u a k a d e m i c k i m 2 0 1 4 / 2 0 1 5 .
N o t a t k i d o w i c z e D z p r z e d m i o t u P o d s t a w y w y t r z y m a Bo [c i m a t e r i a Bó w
N o t a t k i d o w i c z e D z p r z e d m i o t u P o d s t a w y w y t r z y m a Bo [c i m a t e r i a Bó w
A r k u s z 0 4 : S t a n n a p r |e n i a
A r k u s z 0 4 : S t a n n a p r |e n i a
1 . S t a n n a p r |e n i a p o j c i a i d e f i n i c j e
P o d s t a w y t e o r e t y c z n e d o z a g a d n i e n i a s t a n u n a p r |e n i a n a l e |y o p a n o w a n a p o d s t a w i e w y k Ba d u i k s i |e k :
[ 1 ] , [ 2 ] .
" D e f i n i c j a n a p r |e n i a .
" T e n s o r n a p r |e n i a i k o s t k a n a p r |e n i a . N a p r |e n i a s t y c z n e i n o r m a l n e .
" P r z e s t r z e n n y s t a n n a p r |e n i a : z a g a d n i e n i e p o s t a c i w Ba s n e j t e n s o r a n a p r |e n i a , r ó w n a n i e w i e k o w e ,
n i e z m i e n n i k i t e n s o r a n a p r |e n i a .
" P Ba s k i s t a n n a p r |e n i a : w z o r y t a n s f o r m a c y j n e d l a o r i e n t a c j i o b r ó c o n e j o d o w o l n y k t , n a p r |e n i a g Bó w n e ,
o r i e n t a c j a m a k s y m a l n y c h n a p r |e D s t y c z n y c h .
Z a g a d n i e n i e p o s t a c i g Bó w n e j ( w Ba s n e j ) m a c i e r z y o r a z w e k t o r ó w g Bó w n y c h ( w Ba s n y c h ) m a c i e r z y j e s t w z a s a d z i e
z a g a d n i e n i e m a l g e b r a i c z n y m . D l a m a c i e r z y r e p r e z e n t u j c e j w a r t o [c i p e w n e j w i e l k o [c i f i z y c z n e j ( w n a s z y m p r z y p a d k u
d Bu g o [c i s k Ba d o w y c h w e k t o r a n a p r |e n i a ) p o s t a g Bó w n a m a s w o j i n t e r p r e t a c j f i z y c z n . J e d n a k m o |n a , p r z y g o t o w u j c
s i d o z a j , p o p r o s t u p r z y b l i |y s o b i e t e n t e m a t w i c z c p r z y k Ba d y c z y s t o a l g e b r a i c z n e .
2 . P r z e s t r z e n n y s t a n n a p r |e n i a
N a l e |y r o z w i z a z a d a n i a n r : 4 . 6 . 1 , 4 . 6 . 2 z k s i |k i [ 2 ] .
" U m i e j t n o [ n a r y s o w a n i a k o s t k i d l a d a n e g o t e n s o r a n a p r |e n i a i o d w r o t n i e : o d c z y t a n i e t e n s o r a z k o s t k i .
" O b l i c z e n i e w e k t o r a n a p r |e n i a p r z y p r z e c i c i u z a d a n p Ba s z c z y z n .
3 . P Ba s k i s t a n n a p r |e n i a
O b o w i z u j c e w z o r y t r a n s f o r m a c y j n e :
© C o p y r i g h t : A n n a S t r k . A u t o r e m a r k u s z a j e s t A n n a S t r k . A r k u s z s t a n o w i p r z e d m i o t p r a w a a u t o r s k i e g o o k r e [l o n e g o w U s t a w i e o p r a w i e
a u t o r s k i m i p r a w a c h p o k r e w n y c h ( D z . U . 1 9 9 4 r . N r 2 4 p o z . 8 3 z p ó zn . z m i a n a m i ) . A u t o r n i e w y r a |a z g o d y n a i n n e w y k o r z y s t y w a n i e a r k u s z a n i |
p o d a n e w j e g o p r z e z n a c z e n i u . 1
A r k u s z 0 4 : S t a n n a p r |e n i a . A r k u s z p r z e z n a c z o n y d o w i c z e D z p r z e d m i o t u P o d s t a w y w y t r z y m a Bo [c i m a t e r i a Bó w n a I I r o k u d z i e n n y c h s t u d i ó w
W y d z i a Bu I n |y n i e r i i M e c h a n i c z n e j i R o b o t y k i A G H n a k i e r u n k u I M I M w r o k u a k a d e m i c k i m 2 0 1 4 / 2 0 1 5 .
a ) O b r ó t d o o r i e n t a c j i o d w r ó c o n e j o k t d o w o l n y Æ
Ãx x Ãx y o b r ó t o k t Æ Ãx ' x ' Ã
x ' y '
T Ã = T Ã ' =
’!
[ ] [ ]
à à Ãy ' x ' Ã
y x y y y ' y '
Ãx ' x ' = Ãx x Å"c o s 2 Æ+ Ã Å"s i n 2 Æ+ Ã Å"s i n ( 2 Æ )
y y x y
à = à Å"s i n 2 Æ + à Å"c o s 2 Æ Ã Å"s i n ( 2 Æ )
y ' y ' x x y y x y
1
Ãx ' y ' = à = ( Ãy y à ) Å" Å"s i n ( 2 Æ ) + Ãx y Å"( c o s 2 Æ s i n 2 Æ )
y ' x ' x x
2
I s t n i e j i n n e z e s t a w y w z o r ó w , r ó w n o w a |n e p o w y |s z e m u z e s t a w o w i . M o |n a z n a l e z j e w l i t e r a t u r z e . N a z a j c i a
o b o w i z u j e z n a j o m o [ j e d n e g o z e s t a w u , j a p o l e c a m t e n .
b ) O b r ó t d o o r i e n t a c j i g Bó w n e j
Ãx x Ãx y Ã1 0
o b r ó t o k t Æ
p 1
T Ã = T =
à , p
’!
[ ] [ ]
à à 0 Ã2
y x y y
2
Ãx x + Ã Ã Ãy y
y y x x
Ã1 = + + Ã2
x y
( )
2 2
"
2
Ãx x + Ã Ãx x Ã
y y y y
Ã2 = + Ã2
x y
( )
2 2
"
Ã1 Ã
x x
Æ = a r c t a n o r a z Æ = Æ + 9 0 d e g
p 1 p 2 p 1
( )
Ã1 2
c ) O b r ó t d o o r i e n t a c j i m a k s y m a l n y c h n a p r |e D s t y c z n y c h
Ãx x Ãx y Ãa v ÃÄ m a x
o b r ó t o k t Æ
Ä m a x 1
T Ã = T Ã , s =
[ ] ’! [ ]
à à ÃÄ m a x Ãa v
y x y y
Ãx x + Ã
y y
Ãa v =
2
2
Ãx x Ã
y y
ÃÄ m a x = + Ã2
#" #"
x y
( )
2
"
Æ = Æ + 4 5 d e g o r a z Æ = Æ + 9 0 d e g
Ä m a x 1 p 1 Ä m a x 2 Ä m a x 1
J a k w i d a , p o w y |s z y w z ó r n i e u w z g l d n i a z n a k u n a p r |e D s t y c z n y c h . Z n a k t e n m o |n a o b l i c z y k o r z y s t a j c z e w z o r ó w
Æ = Æ Ãx ' y '
t r a n s f o r m a c y j n y c h w y p i s a n y c h w p o d p u n k c i e a ) . W ó w c z a s p r z y j m u j e m y i o b l i c z a m y . P r z y o k a z j i
Äm a x 1
j e s t t o d o b r a k o n t r o l a o b l i c z e n i a w a r t o [c i n a p r |e D.
d ) J a k o s p r a w d z e n i e m o |n a z a s t o s o w a n i e z m i e n n i k t e n s o r a p Ba s k i e g o s t a n u n a p r |e n i a
Ãx x + Ã = Ãx ' x ' + Ã = Ãp 1 + Ãp 2 = Ãa v + Ãa v
y y y ' y '
© C o p y r i g h t : A n n a S t r k . A u t o r e m a r k u s z a j e s t A n n a S t r k . A r k u s z s t a n o w i p r z e d m i o t p r a w a a u t o r s k i e g o o k r e [l o n e g o w U s t a w i e o p r a w i e
a u t o r s k i m i p r a w a c h p o k r e w n y c h ( D z . U . 1 9 9 4 r . N r 2 4 p o z . 8 3 z p ó zn . z m i a n a m i ) . A u t o r n i e w y r a |a z g o d y n a i n n e w y k o r z y s t y w a n i e a r k u s z a n i |
p o d a n e w j e g o p r z e z n a c z e n i u . 2
A r k u s z 0 4 : S t a n n a p r |e n i a . A r k u s z p r z e z n a c z o n y d o w i c z e D z p r z e d m i o t u P o d s t a w y w y t r z y m a Bo [c i m a t e r i a Bó w n a I I r o k u d z i e n n y c h s t u d i ó w
W y d z i a Bu I n |y n i e r i i M e c h a n i c z n e j i R o b o t y k i A G H n a k i e r u n k u I M I M w r o k u a k a d e m i c k i m 2 0 1 4 / 2 0 1 5 .
Z a d a n i e 1
D l a z a d a n e g o t e n s o r a n a p r |e n i a T Ã z n a l e z p o s t a p r z y o b r o c i e o k t Æ = 1 0 d e g , p r z y o b r o c i e d o
o r i e n t a c j i g Bó w n e j i d o o r i e n t a c j i m a k s y m a l n y c h n a p r |e D s t y c z n y c h . Z r o b i o d p o w i e d n i e r y s u n k i .
1 2 , 3 4 , 7
T = M P a
Ã
[ ]
4 , 7 4 , 2
a ) O b r ó t d o o r i e n t a c j i o d w r ó c o n e j o k t Æ = 1 0 d e g
Ãx ' x ' = 1 2 , 3 Å"c o s 2 1 0 + ( 4 , 2 ) Å"s i n 2 1 0 + ( 4 , 7 ) Å"s i n ( 2 Å"1 0 ) = 1 0 , 3 3 M P a
à = 1 2 , 3 Å"s i n 2 1 0 + ( 4 , 2 ) Å"c o s 2 1 0 ( 4 , 7 ) Å"s i n ( 2 Å"1 0 ) = 2 , 1 5 M P a
y ' y '
( 4 , 2 1 2 , 3 )
Ãx ' y ' = Ã = Å"s i n ( 2 0 ) + ( 4 , 7 ) Å"( c o s 2 1 0 s i n 2 1 0 ) = 7 , 2 7 M P a
y ' x '
2
1 2 , 3 4 , 7 o b r ó t o k t Æ 1 0 , 3 3 7 , 2 7
T = M P a T = M P a
Ã
à '
’!
[ ] [ ]
4 , 7 4 , 2
7 , 2 7 2 , 1 5
b ) O b r ó t d o o r i e n t a c j i g Bó w n e j
2
1 2 , 3 + ( 4 , 2 ) 1 2 , 3 ( 4 , 2 )
Ã1 = + + ( 4 , 7 ) 2 = 1 3 , 5 4 M P a
)
2 2
"(
2
1 2 , 3 + ( 4 , 2 ) 1 2 , 3 ( 4 , 2 )
Ã2 = + ( 4 , 7 ) 2 = 5 , 4 4 M P a
)
2 2
"(
1 3 , 5 4 1 2 , 4
Æ = a r c t a n = 1 4 , 7 8 d e g o r a z Æp 2 = 1 4 , 7 8 d e g + 9 0 d e g = 7 5 , 2 2 d e g
p 1
( )
( 4 , 7 )
o b r ó t o k t Æ
1 2 , 3 4 , 7 1 3 , 5 4 0
p 1
T = M P a T Ã , p = M P a
Ã
[ ] ’! [ ]
4 , 7 4 , 2
0 5 , 4 4
c ) O b r ó t d o o r i e n t a c j i m a k s y m a l n y c h n a p r |e D s t y c z n y c h
1 2 , 3 + ( 4 , 2 )
Ãa v = = 4 , 0 5 M P a
2
2
1 2 , 3 ( 4 , 2 )
ÃÄ m a x = + ( 4 , 7 ) 2 = 9 , 4 9 M P a
#" #"
)
2
"(
Æ = 1 4 , 7 8 d e g + 4 5 d e g = 3 0 , 2 2 d e g
Ä m a x 1
Æ = 3 0 , 2 2 d e g + 9 0 d e g = 1 2 0 , 2 2 d e g
Ä m a x 2
Æ = Æ
Z n a k n a p r |e n i a s t y c z n e g o o b l i c z a m y k o r z y s t a j c z e w z o r ó w t r a n s f o r m a c y j n y c h ; p r z y j m u j e m y :
Äm a x 1
1
Ãx ' y ' = Ã = ÃÄ m a x = ( 4 , 2 1 2 , 3 ) Å" Å"s i n ( 2 Å"3 0 , 2 2 ) + ( 4 , 7 ) Å"( c o s 2 3 0 , 2 2 s i n 2 3 0 , 2 2 ) = 9 , 5 2 M P a
y ' x '
2
( U w a g a ! P o w s t a Ba t u t a j m a Ba r ó |n i c a p o m i d z y w a r t o [c i a m i w y n i k a z p r z y j t e g o w o b l i c z e n i a c h z a o k r g l e n i a c o s i s i n d o
d w ó c h m i e j s c p o p r z e c i n k u . )
o b r ó t o k t Æ
1 2 , 3 4 , 7 4 , 0 5 9 , 4 9
Ä m a x 1
T = M P a T = M P a
Ã
à , s
[ ] ’! [ ]
4 , 7 4 , 2
9 , 4 9 4 , 0 5
d ) S p r a w d z e n i e w g n i e z m i e n n i k ó w
Ãx x + Ã = Ãx ' x ' + Ã = Ãp 1 + Ãp 2 = Ãa v + Ãa v
y y y ' y '
1 2 , 4 + ( 4 , 2 ) C" 1 0 , 3 3 + ( 2 , 1 5 ) C" 1 3 , 5 4 + ( 5 , 4 4 ) C" 4 , 0 5 Å"2 C" 8 , 1 M P a
( U w a g a ! P o w s t a Ba t u t a j m a Ba r ó |n i c a p o m i d z y w a r t o [c i a m i w y n i k a z p r z y j t e g o w o b l i c z e n i a c h z a o k r g l e n i a c o s i s i n d o
d w ó c h m i e j s c p o p r z e c i n k u . )
© C o p y r i g h t : A n n a S t r k . A u t o r e m a r k u s z a j e s t A n n a S t r k . A r k u s z s t a n o w i p r z e d m i o t p r a w a a u t o r s k i e g o o k r e [l o n e g o w U s t a w i e o p r a w i e
a u t o r s k i m i p r a w a c h p o k r e w n y c h ( D z . U . 1 9 9 4 r . N r 2 4 p o z . 8 3 z p ó zn . z m i a n a m i ) . A u t o r n i e w y r a |a z g o d y n a i n n e w y k o r z y s t y w a n i e a r k u s z a n i |
p o d a n e w j e g o p r z e z n a c z e n i u . 3
A r k u s z 0 4 : S t a n n a p r |e n i a . A r k u s z p r z e z n a c z o n y d o w i c z e D z p r z e d m i o t u P o d s t a w y w y t r z y m a Bo [c i m a t e r i a Bó w n a I I r o k u d z i e n n y c h s t u d i ó w
W y d z i a Bu I n |y n i e r i i M e c h a n i c z n e j i R o b o t y k i A G H n a k i e r u n k u I M I M w r o k u a k a d e m i c k i m 2 0 1 4 / 2 0 1 5 .
N a l e |y r o z w i z a w y b r a n e z a d a n i a z k s i |k i [ 3 ] d o t y c z c e z a g a d n i e n i a p Ba s k i e g o s t a n u . M o |n a t a k |e
r o z w i z a z a d a n i a 5 . 4 . 1 , 5 . 4 . 2 z k s i |k i [ 2 ] .
" U m i e j t n o [ z n a l e z i e n i a p o s t a c i m a c i e r z y n a p r |e D d l a s t a n u p Ba s k i e g o w o r i e n t a c j i o b r ó c o n e j o d o w o l n y
k t , o r i e n t a c j i g Bó w n e j , o r i e n t a c j i m a k s y m a l n y c h n a p r |e D s t y c z n y c h .
" I l u s t r a c j a g r a f i c z n a ( b e z k o Ba M o h r a ) .
4 . L i t e r a t u r a
[ 1 ] P i e c h n i k S . " M e c h a n i k a t e c h n i c z n a c i a Ba s t a Be g o " , W y d a w n i c t w o P K , K r a k ó w 2 0 0 7
[ 2 ] B o d n a r A . W y t r z y m a Bo [ m a t e r i a Bó w . P o d r c z n i k d l a s t u d e n t ó w w y |s z y c h s z k ó B t e c h n i c z n y c h , w y d a n i e d r u g i e
p o s z e r z o n e i p o p r a w i o n e , K r a k ó w 2 0 0 4
[ 3 ] N i e z g o d z i Ds k i M . , N i e z g o d z i Ds k i T . " Z a d a n i a z w y t r z y m a Bo [c i m a t e r i a Bó w " , W y d a w n i c t w o W N T , W a r s z a w a 2 0 1 2
[ 4 ] P r o g r a m y k o m p u t e r o w e d o o b l i c z e D z a g a d n i e n i e p o s t a c i w Ba s n e j m a c i e r z y , w e k t o r ó w w l a s n y c h .
© C o p y r i g h t : A n n a S t r k . A u t o r e m a r k u s z a j e s t A n n a S t r k . A r k u s z s t a n o w i p r z e d m i o t p r a w a a u t o r s k i e g o o k r e [l o n e g o w U s t a w i e o p r a w i e
a u t o r s k i m i p r a w a c h p o k r e w n y c h ( D z . U . 1 9 9 4 r . N r 2 4 p o z . 8 3 z p ó zn . z m i a n a m i ) . A u t o r n i e w y r a |a z g o d y n a i n n e w y k o r z y s t y w a n i e a r k u s z a n i |
p o d a n e w j e g o p r z e z n a c z e n i u . 4
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