ÿþM E T O D A R Ó {N I C S K O CC Z O N Y C H
( M R S )
F i n i t e D i f f e r e n c e M e t h o d s ( F D M )
P r o b l e m :
L ( y ) = 0 w o b s z a r z e &!
w a r u n k i b r z e g o w e
B ( y ) = 0 n a b r z g u “ o b s z a r u &!
I s t o t a m e t o d y :
Z a m i a n a o p e r a t o r ó w r ó |n i c z k o w y c h n a o d p o w i e d n i e o p e r a t o r y r ó |n i c o w e
o k r e [l o n e n a d y s k r e t n y m z b i o r z e p u n k t ó w .
Z a d a n i e w y j [c i o w e ’! u k Ba d r ó w n a D a l g e b r a i c z n y c h
R R Z ( O D E ) l u b R R C z ( P D E )
s i a t k a z b i ó r p u n k t ó w , w k t ó r y c h o k r e [l a m y o p e r a t o r y r ó |n i c o w e
w z By e l e m e n t y s i a t k i
g w i a z d a z b i ó r w z Bó w s i a t k i p o t r z e b n y c h d o r o z p i s a n i a o p e r a t o r a
r ó |n i c o w e g o
E t a p y r e a l i z a c j i :
1 . d y s k r e t y z a c j a o b s z a r u
2 . d o b ó r g w i a z d r ó |n i c o w y c h
3 . g e n e r a c j a s c h e m a t ó w r ó |n i c o w y c h
4 . g e n e r a c j a r ó w n a D r ó |n i c o w y c h
5 . u w z g l d n i e n i e w a r u n k ó w b r z e g o w y c h
6 . r o z w i z a n i e u k Ba d u r ó w n a D r ó |n i c o w y c h
7 . p o s t p r o c e s s i n g , a n a l i z a b Bd ó w
S c h e m a t y r ó |n i c o w e p i e r w s z e j i d r u g i e j p o c h o d n e j
f ( x ) - f ( x - h )
f ' ( x ) =
h
+ 2
f ( x + h ) - f ( x - h )
5 / 1 2
f ' ( x ) =
2 h
f ( x + h ) - f ( x )
1 / 2
f ' ( x ) =
h
- 1
i - 1 i i + 1
i - 1 i i + 1
1
- 1 1 0
h
1
R o z n i c e s k o n c z o n e
- 1 0 1
p o c h o d n a
2 h
l e w a
p r a w a
1
c e n t r a l n a
0 - 1 1
h
D r u g a p o c h o d n a
i + 1
i - 2 i - 1 i
i + 2
1
1 - 2 1
h 2
P r z y k Ba d :
2 2 2
L u = u + a u + b u
1
L u H" ( 1 - 2 1 )
x = x i
h 2
1
+ ( - a 0 a )
2 h
2 h
+ ( 0 b 0 )
+ ( 0 b 0 )
1 a h a h
= ( 1 - - 2 + b h 2 1 + )
h 2 2 2
W a r u n k i b r z e g o w e ( b o u n d a r y c o n d i t i o n s B C )
" D i r i c h l e t
u = u D
"&!
" N e u m a n n
B u = u N
"&!
" m i e s z a n e
P r z y k Ba d 1 :
N ' + p = 0 r ó w n a n i a r ó w n o w a g i
p ( x ) E A
µ = u ' z w . g e o m e t r y c z n e
N = E A µ r ó w n a n i a k o n s t y t u t y w n e
x
L
u ( 0 ) = u ( L ) = 0 w a r u n k i b r z e g o w e
E A = c o n s t . Ò! E A u " + p = 0
R o z w i z a n i e [c i s Be ( p ( x ) = p 0 ) :
2
ùø
p 0 L 2 îø x x
ëø öø
u ( x ) = -
ìø ÷ø
ïø úø
2 E A L L
íø øø
ïø úø
ðø ûø
x 1 : u 1 = 0
h 2
x 2 : - u 1 + 2 u 2 - u 3 = p 2
E A
h 2
x 3 : - u 2 + 2 u 3 - u 4 = p 3
E A
x 3 x 5
x 1 x 2 x 4
h 2
x 4 : - u 3 + 2 u 4 - u 5 = p 4
E A
x 5 : u 5 = 0
2 - 1 0 u 2 1 u 2 3
îø ùøîø ùø îø ùø îø ùø îø ùø
p 0 L 2 ïø1 úø p 0 L 2 ïø4 úø
ïø úø ïøu úø
= Ò! =
= Ò! =
3
ïø- 1 2 - 1 úøïøu 3 úø ïø úø ïø úø ïø úø
ïø- 1 2 - 1 úøïøu 3 úø ïø1 úø ïøu 3 úø ïø4 úø
úøïø
1 6 E A 3 2 E A
1 6 E A 3 2 E A
ïø 0 - 1 2 úøïøu 4 úø ïø1 úø ïøu 4 úø ïø3 úø
ðø ûøðø ûø ðø ûø ðø ûø ðø ûø
u E X = u F D
P r z y k Ba d 2 :
N ' + p = 0 r ó w n a n i a r ó w n o w a g i
p ( x ) E A
µ = u ' z w . g e o m e t r y c z n e
N = E A µ r ó w n a n i a k o n s t y t u t y w n e
u ( 0 ) = 0 w a r u n k i b r z e g o w e
x
L
N ( L ) = E A u ' ( L ) = 0
E A = c o n s t . Ò! E A u " + p = 0
R o z w i z a n i e [c i s Be ( p ( x ) = x ) :
3
ùø
p 0 L 3 îø x x
ëø öø
u ( x ) =
ïø3 - ìø ÷ø
úø
6 E A L L
íø øø
ïø úø
ðø ûø
x 1 : u 1 = 0
h 2
x 2 : - u 1 + 2 u 2 - u 3 = p 2
E A
h 2
x 3 : - u 2 + 2 u 3 - u 4 = p 3
E A
h 2
x 6
x 3 x 5
x 1 x 2 x 4
x 4 : - u 3 + 2 u 4 - u 5 = p 4
E A
h 2
x 5 : - u 4 + 2 u 5 - u 6 = p 5
E A
x 6 : - u 5 + u 6 = 0
0
îø ùø
0
îø ùø
îø ùø
5 5
5 5
ïø úø
ïø úø
1
ïø úø
1 0 0 0 0 0 u 1 ïø 1 úø u 1
îø ùøîø ùø îø ùø ïø7 5 0 úø
ïø-
1 2 5 úø
ïø úø ïøu úø ïø1 0 4 úø
ïø úø
2
2
ïø- 1 2 1 0 0 0 úøïøu 2 úø ïø úø ïø úø
úøïø
-
ïø úø
ïø 0 - 1 2 1 0 0 úøïøu 3 úø
1 2 5 úø Ò! ïøu 3 úø ïø7 5 0 úø
ïø
= =
ïø ïø úø ïø1 5 6 úø
0 0 - 1 2 1 0 úøïøu 4 úø
ïø- 3 úø
ïø úøïø úø ïøu 4 úø ïø úø
7 5 0
ïø úøïø úø ïø úø ïø úø
0 0 0 - 1 2 1 u 5 ïø 1 2 5 úø u 5 1 8 0
ïø úø
4
ïø úøïø úø ïø úø ïø7 5 0 úø
ïø-
0 0 0 0 - 1 1 ûøðøu 6 ûø 1 2 5 úø
ðø ðøu 6 ûø
ïø1 8 0 úø
ïø úø
ïø úø
0
ðø ûø
7 5 0
ðø ûø
x 1 : u 1 = 0
h 2
I l o r a z r ó |n i c o w y w s t e c z 2 g o r z d u
x 2 : - u 1 + 2 u 2 - u 3 = p 2
E A
- u 4 + 4 u 5 - 3 u 6
u ' =
h 2
6
x 3 : - u 2 + 2 u 3 - u 4 = p 3
h
E A
h 2
x 4 : - u 3 + 2 u 4 - u 5 = p 4
E A
h 2
x 6
x 3 x 5
x 1 x 2 x 4
x 5 : - u 4 + 2 u 5 - u 6 = p 5
E A
x 6 : - u 4 + 4 u 5 - 3 u 6 = 0
0
îø ùø
0
îø ùø
îø ùø
7 2
7 2
ïø úø
ïø úø
1
ïø úø
1 0 0 0 0 0 u 1 ïø 1 úø u 1
îø ùøîø ùø îø ùø ïø7 5 0 úø
ïø-
1 2 5 úø
ïø úøïøu úø ïøu úø ïø1 3 8 úø
ïø úø
2 2
2
ïø- 1 2 1 0 0 0 úøïø úø ïø úø ïø úø
-
ïø úø
ïø 0 - 1 2 1 0 0 úøïøu 3 úø
1 2 5 úø Ò! ïøu 3 úø ïø7 5 0 úø
ïø
= =
ïø úøïø úø ïø úø ïø1 9 8 úø
0 0 - 1 2 1 0 ïø- 3 úø
ïø úøïøu 4 úø ïøu 4 úø ïø úø
7 5 0
ïø úøïø úø ïø úø ïø úø
0 0 0 - 1 2 1 u 5 ïø 1 2 5 úø u 5 2 2 8
ïø úø
4
ïø úøïø úø ïø úø ïø7 5 0 úø
ïø-
0 0 0 - 1 4 - 3 ûøðøu 6 ûø 1 2 5 úø
ðø ðøu 6 ûø
ïø2 4 0 úø
ïø úø
ïø úø
0
ðø ûø
7 5 0
ðø ûø
x 1 : u 1 = 0
h 2
W z e B f i k c y j n y
x 2 : - u 1 + 2 u 2 - u 3 = p 2
E A
h 2
x 3 : - u 2 + 2 u 3 - u 4 = p 3
x 6 x 7
x 3 x 5
x 1 x 2 x 4
E A
h 2
x 4 : - u 3 + 2 u 4 - u 5 = p 4
E A
h 2
x 5 : - u 4 + 2 u 5 - u 6 = p 5
E A
h 2
x 6 : - u 5 + 2 u 6 - u 7 = p 6
E A
x 6 : - u 7 + u 5 = 0
x 6 : - u 7 + u 5 = 0
0 0
îø ùø îø ùø
1 7 5
úø ïø úø
1 0 0 0 0 0 0 ùøîøu 1 ùø ïø
îø îøu 1 ùø
ïø- ïø7 5 0 úø
1 2 5 úø
ïø ïøu úø
úø ïø1 4 4 úø
- 1 2 1 0 0 0 0 úøïøu 2 úø ïø 2
2
ïø úøïø úø ïø- ïø úø
ïø7 5 0 úø
0 - 1 2 1 0 0 0 u 3 ïø2 0 1 úø
ïø úøïø úø ïø 1 2 5 úø ïø úø
u 3
úø
3
ïø ïøu úø
ïø úø ïø úø
-
0 0 - 1 2 1 0 0 úøïøu 4 úø = =
4
ïø úøïø úø ïø 1 2 5 úø Ò! ïø úø
ïø7 5 0 úø
ïø 0 0 0 - 1 2 1 0 ïø úø
úøïøu 5 úø ïø u 5 ïø2 4 0 úø
4
úø
ïø ïøu úø
ïø7 5 0 úø
0 0 0 0 - 1 2 1 úøïøu úø ïø- 1 2 5 úø
6
ïø úøïø 6 úø ïø 5 úø ïø úø
ïø2 5 5 úø
ïø úøðøu 7 ûø ïø- ïø úø
0 0 0 0 - 1 0 1 ûø
ðø ðøu 7 ûø ïø7 5 0 úø
1 2 5 úø
ïø úø ïø úø
0 -
ðø ûø ðø ûø
Z e s t a w i e n i e w y n i k ó w : p r z e m i e s z c z e n i a
x ` 0 0 0 0
7 4 5 5 7 2 7 5
x 2
7 5 0 7 5 0 7 5 0 7 5 0
1 4 2 1 0 4 1 3 8 1 4 4
x 3
7 5 0 7 5 0 7 5 0 7 5 0
1 9 8 1 5 6 1 9 8 2 0 1
x 4
7 5 0 7 5 0 7 5 0 7 5 0
7 5 0 7 5 0 7 5 0 7 5 0
2 3 6 1 8 0 2 2 8 2 4 0
x 5
7 5 0 7 5 0 7 5 0 7 5 0
2 5 0 1 8 0 2 4 0 2 5 5
x 6
7 5 0 7 5 0 7 5 0 7 5 0
[c i s Be s t a n d . 2 g o r z e d u c e n t r a l n a
Z e s t a w i e n i e w y n i k ó w : n a p r |e n i a
3 7 5 3 6 0 3 7 5
x `
7 5 0 7 5 0 7 5 0
3 6 0 3 4 5 3 6 0
x 2
7 5 0 7 5 0 7 5 0
3 1 5 3 0 0 3 1 5
x 3
7 5 0 7 5 0 7 5 0
2 4 0 2 2 5 2 4 0
x 4
x 4
7 5 0 7 5 0 7 5 0
1 3 5 1 2 0 1 3 5
x 5
7 5 0 7 5 0 7 5 0
1 5
x 6 0 - 0
7 5 0
[c i s Be s t a n d . 2 g o r z e d u c e n t r a l n a
Z g i n a n i e b e l e k ëø öø
d 2 d 2
ìø E I w ÷ø = q ( x )
d x 2 ìø d x 2 ÷ø
íø øø
P
d w
q ( x )
M Õ = -
d x
d 2 w
M = - E I
g
d x 2
ëø öø
d d 2 w
E I T = ìø E I ÷ø
ìø
d x d x 2 ÷ø
íø øø
W a r u n k i b r z e g o w e
W a r u n k i b r z e g o w e
w = 0 , M = 0
p o d p a r c i e
g
p r z e g u b o w e
u t w i e r d z e n i e
w = 0 , Õ = 0
s w o b o d n y
M = 0 , T = 0
g
k o n i e c
P o c h o d n e w y |s z y c h r z d ó w
c e n t r a l n e
1
- 1 1
0
2 h
1
1 - 2 1
h 2
1
- 1 2 0 - 2 1
- 1 2 0 - 2 1
2 h 2
2 h 2
1
1 - 4 6 - 4 1
h 4
x 6 x 7
x 3 x 5 x 8
x 1 x 2 x 4
P o c h o d n e w y |s z y c h r z d ó w
j e d n o s t r o n n e
1
ñø
( w i - 2 w i + 1 + w i + 2 )
ôø
h 2
ôø
ôø
ôø 1
w i , , =
( 2 w i - 2 w i + 1 + 4 w i + 2 - w i + 3 )
òø
h 2
ôø
ôø
1
ôø
( 3 5 w i 1 0 w i + 1 1 1 4 w i + 2 5 6 w i + 3 1 1 w i + 4 )
( 3 5 w i - 1 0 w i + 1 + 1 1 4 w i + 2 - 5 6 w i + 3 + 1 1 w i + 4 )
ôøh 2
ôøh 2
óø
óø
w ( L / 4 ) 1 5 3 6 E I / q l ^ 4 w ( L / 2 ) 1 5 3 6 E I / q l ^ 4
s y m e t r y c z n e 1 5 . 0 2 1
q ( x ) = q
N S 1 1 . 5 3
N S 2 6 . 0 9
N S 3 1 4 . 2 5 2 0
E I
[c i s Be 1 4 . 0 6 2 5 1 8
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Wykład 03 Metoda Różnic Skończonych 204 mo metoda roznic skonczonychidS02Metoda różnic skończonychMetoda Różnic Skończonychwyklad 03Lipidy cz I Wykład z 7 03 2007Wykład 3 5 03 2013Wyklad Narkolepsja diagnostyka roznicowaDrogi i ulice wyklad 03Wykład 03 The?st SDH ProjectTI Wykład 03wykład 13 Równania Różniczkowe2 wyklad 03 04 2008wyklad 03 (2)więcej podobnych podstron