ÿþP o b r a n o z w w w . a r k u s z e m a t u r a l n e . p l / Z o b a c z t e | w w w . c c r p g . p l ( C r i m s o n C r e a t i o n R P G )
d y s l e k s j a
M i e j s c e
n a n a k l e j k
z k o d e m s z k o By
M M A - R 1 A 1 P - 0 5 2
E G Z A M I N M A T U R A L N Y
Z M A T E M A T Y K I
A r k u s z I I
P O Z I O M R O Z S Z E R Z O N Y A R K U S Z I I
C z a s p r a c y 1 5 0 m i n u t
M A J
R O K 2 0 0 5
I n s t r u k c j a d l a z d a j c e g o
1 . S p r a w d z, c z y a r k u s z e g z a m i n a c y j n y z a w i e r a 1 5 s t r o n .
E w e n t u a l n y b r a k z g Bo [ p r z e w o d n i c z c e m u z e s p o Bu
n a d z o r u j c e g o e g z a m i n .
2 . R o z w i z a n i a z a d a D i o d p o w i e d z i z a m i e [ w m i e j s c u n a t o
p r z e z n a c z o n y m .
3 . W r o z w i z a n i a c h z a d a D p r z e d s t a w t o k r o z u m o w a n i a
p r o w a d z c y d o o s t a t e c z n e g o w y n i k u .
4 . P i s z c z y t e l n i e . U |y w a j d Bu g o p i s u / p i ó r a t y l k o z c z a r n y m
t u s z e m / a t r a m e n t e m .
5 . N i e u |y w a j k o r e k t o r a . B Bd n e z a p i s y p r z e k r e [l .
6 . P a m i t a j , |e z a p i s y w b r u d n o p i s i e n i e p o d l e g a j o c e n i e .
7 . O b o k k a |d e g o z a d a n i a p o d a n a j e s t m a k s y m a l n a l i c z b a p u n k t ó w ,
k t ó r m o |e s z u z y s k a z a j e g o p o p r a w n e r o z w i z a n i e .
8 . M o |e s z k o r z y s t a z z e s t a w u w z o r ó w m a t e m a t y c z n y c h , c y r k l a
i l i n i j k i o r a z k a l k u l a t o r a .
9 . W y p e Bn i j t c z [ k a r t y o d p o w i e d z i , k t ó r k o d u j e z d a j c y .
N i e w p i s u j |a d n y c h z n a k ó w w c z [c i p r z e z n a c z o n e j
Z a r o z w i z a n i e
d l a e g z a m i n a t o r a .
w s z y s t k i c h z a d a D
1 0 . N a k a r c i e o d p o w i e d z i w p i s z s w o j d a t u r o d z e n i a i P E S E L .
m o |n a o t r z y m a
Z a m a l u j p o l a o d p o w i a d a j c e c y f r o m n u m e r u P E S E L . B Bd n e
Bc z n i e
z a z n a c z e n i e o t o c z k ó Bk i e m i z a z n a c z w Ba [c i w e .
5 0 p u n k t ó w
{y c z y m y p o w o d z e n i a !
t y l k o
W y p e Bn i a z d a j c y p r z e d
O K E K r a k ó w ,
O K E W r o c Ba w
r o z p o c z c i e m p r a c y
K O D
P E S E L Z D A J C E G O
Z D A J C E G O
2 E g z a m i n m a t u r a l n y z m a t e m a t y k i
A r k u s z I I
Z a d a n i e 1 1 . ( 3 p k t )
W y z n a c z d z i e d z i n f u n k c j i f ( x ) = l o g x - 3 ( x 3 + 4 x 2 - x - 4 ) i z a p i s z j w p o s t a c i s u m y
2
p r z e d z i a Bó w l i c z b o w y c h .
E g z a m i n m a t u r a l n y z m a t e m a t y k i 3
A r k u s z I I
Z a d a n i e 1 2 . ( 4 p k t )
D a n a j e s t f u n k c j a : f x = c o s x - 3 s i n x , x " R .
( )
a ) N a s z k i c u j w y k r e s f u n k c j i f .
b ) R o z w i | r ó w n a n i e : f ( x ) = 1 .
4 E g z a m i n m a t u r a l n y z m a t e m a t y k i
A r k u s z I I
Z a d a n i e 1 3 . ( 4 p k t )
R z u c a m y n r a z y d w i e m a s y m e t r y c z n y m i s z e [c i e n n y m i k o s t k a m i d o g r y . O b l i c z , d l a j a k i c h n
p r a w d o p o d o b i e Ds t w o o t r z y m a n i a c o n a j m n i e j r a z t e j s a m e j l i c z b y o c z e k n a o b u k o s t k a c h j e s t
6 7 1
m n i e j s z e o d .
1 2 9 6
E g z a m i n m a t u r a l n y z m a t e m a t y k i 5
A r k u s z I I
Z a d a n i e 1 4 . ( 5 p k t )
1 + 4 + 7 + . . . + ( 3 n - 2 )
O b l i c z : l i m .
n ’! "
5 + 7 + 9 + . . . + ( 2 n + 3 )
6 E g z a m i n m a t u r a l n y z m a t e m a t y k i
A r k u s z I I
Z a d a n i e 1 5 . ( 4 p k t )
W d o w o l n y m t r ó j k c i e A B C p u n k t y M i N s o d p o w i e d n i o [r o d k a m i b o k ó w A C i B C ( R y s . 1 ) .
R y s . 1
Z a p o z n a j s i u w a |n i e z n a s t p u j c y m r o z u m o w a n i e m :
K o r z y s t a j c z w Ba s n o [c i w e k t o r ó w i d z i a Ba D n a w e k t o r a c h , z a p i s u j e m y r ó w n o [c i :
u u u u u u u r u u u u u u r
r r
M N = M A + A B + B N ( 1 )
o r a z
u u u u u u u u u u u r
r r
M N = M C + C N ( 2 )
P o d o d a n i u r ó w n o [c i ( 1 ) i ( 2 ) s t r o n a m i o t r z y m u j e m y :
u u u u u u u r u u u u u u u u u u r u u u r
r r r
2 Å" M N M A + M C + A B + B N C N
u u u u u u u r u u u r u u u r +
r =
P o n i e w a | u u u u = - M A o r a z C N = - B N , w i c :
M C
r u u u r u u u r u u u u u u r u u u r
r
2 Å" M N = M A - A B + B N - B N
u u u u r u u u M A r +
r r
2 Å" M N = 0 + A B + 0
u u u u u u u r
r
1
M N = Å" A B .
2
W y k o r z y s t u j c w Ba s n o [c i i l o c z y n u w e k t o r a p r z e z l i c z b , o s t a t n i r ó w n o [ m o |n a
z i n t e r p r e t o w a n a s t p u j c o :
o d c i n e k Bc z c y [r o d k i d w ó c h b o k ó w d o w o l n e g o t r ó j k t a j e s t r ó w n o l e g By d o t r z e c i e g o
b o k u t e g o t r ó j k t a , z a [ j e g o d Bu g o [ j e s t r ó w n a p o Bo w i e d Bu g o [c i t e g o b o k u .
u u u u
r
P r z e p r o w a d z a j c a n a l o g i c z n e r o z u m o w a n i e , u s t a l z w i z e k p o m i d z y w e k t o r e m M N o r a z
u u u u u u r
r
w e k t o r a m i A B i D C , w i e d z c , |e c z w o r o k t A B C D j e s t d o w o l n y m t r a p e z e m , z a [ p u n k t y
M i N s o d p o w i e d n i o [r o d k a m i r a m i o n A D i B C t e g o t r a p e z u ( R y s . 2 ) .
R y s . 2
P o d a j i n t e r p r e t a c j o t r z y m a n e g o w y n i k u .
E g z a m i n m a t u r a l n y z m a t e m a t y k i 7
A r k u s z I I
8 E g z a m i n m a t u r a l n y z m a t e m a t y k i
A r k u s z I I
Z a d a n i e 1 6 . ( 5 p k t )
S z e [c i a n o k r a w d z i d Bu g o [c i a p r z e c i t o p Ba s z c z y z n p r z e c h o d z c p r z e z p r z e k t n
À
p o d s t a w y i n a c h y l o n d o p Ba s z c z y z n y p o d s t a w y p o d k t e m . S p o r z d z o d p o w i e d n i r y s u n e k .
3
O b l i c z p o l e o t r z y m a n e g o p r z e k r o j u .
E g z a m i n m a t u r a l n y z m a t e m a t y k i 9
A r k u s z I I
Z a d a n i e 1 7 . ( 7 p k t )
3 3
W y k a |, b e z u |y c i a k a l k u l a t o r a i t a b l i c , |e 5 2 + 7 - 5 2 - 7 j e s t l i c z b c a Bk o w i t .
1 0 E g z a m i n m a t u r a l n y z m a t e m a t y k i
A r k u s z I I
Z a d a n i e 1 8 . ( 8 p k t )
P a r y l i c z b x , y s p e Bn i a j c e u k Ba d r ó w n a D:
( )
ñø- 4 x 2 + y 2 + 2 y + 1 = 0
òø
- x 2 + y + 4 = 0
óø
s w s p ó Br z d n y m i w i e r z c h o Bk ó w c z w o r o k t a w y p u k Be g o A B C D .
a ) W y z n a c z w s p ó Br z d n e p u n k t ó w : A , B , C , D .
b ) W y k a |, |e c z w o r o k t A B C D j e s t t r a p e z e m r ó w n o r a m i e n n y m .
c ) W y z n a c z r ó w n a n i e o k r g u o p i s a n e g o n a c z w o r o k c i e A B C D .
E g z a m i n m a t u r a l n y z m a t e m a t y k i 1 1
A r k u s z I I
1 2 E g z a m i n m a t u r a l n y z m a t e m a t y k i
A r k u s z I I
Z a d a n i e 1 9 . ( 1 0 p k t )
1
D a n e j e s t r ó w n a n i e : x 2 + ( m - 5 ) x + m 2 + m + = 0 .
4
Z b a d a j , d l a j a k i c h w a r t o [c i p a r a m e t r u m s t o s u n e k s u m y p i e r w i a s t k ó w r z e c z y w i s t y c h
r ó w n a n i a d o i c h i l o c z y n u p r z y j m u j e w a r t o [ n a j m n i e j s z . W y z n a c z t w a r t o [.
E g z a m i n m a t u r a l n y z m a t e m a t y k i 1 3
A r k u s z I I
1 4 E g z a m i n m a t u r a l n y z m a t e m a t y k i
A r k u s z I I
B R U D N O P I S
E g z a m i n m a t u r a l n y z m a t e m a t y k i 1 5
A r k u s z I I
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