82283

• / warunek

Niech f € C²((a. 6)). f"(x o) = O oraz f" zmienia znak przy przejściu przez punkt *o.

• II warunek

Niech /<=C³((a,6)), /"(aro) = 0 oraz /"'(xo) / O.

Przykład 4.31 Wyznaczyć przedziały ścisłej wklęsłości i ścisłej wypukłości oraz punkty przegięcia funkcji :

a) /(ar) = a:³, fc) f(x) = sinhar, c)f(x) — xe~^x, d) f(x) = e^-*²

Definicja 4.16 (Asymptota pionowa lewostronna wykresu funkcji)

Prosta x = a nazywa się asymptotą pionową lewostronną wykresu funkcji

V = f(^x) f jeie/i

lim /(x) = oc albo lim /(x) = — oo

x—h>~ x—a~

Definicja 4.17 (Asymptota pionowa prawostronna wykresu funkcji)

Prosta x = a nazywa się asymptotą pionową prawostronną wykresu funkcji

V = f(x), jeżeli

lim /(ar) = oc albo lim /(ar) = —oo

z—»a⁺ x—a⁺

Jeżeli prosta x = a jest jednocześnie asymptotą pionową lewostronną i prawostronną, to mówimy, że jest asymptotą pionową obustronną.

Uwaga 4.11 (O lokalizacji asymptot pionowych funkcji)

Funkcja elementarna może mieć asymptoty pionowe jedynie w skończonych krańcach swej dziedziny.

Przykład 4.32

Zbadać. czy podane proste są asymptotami pionowymi wskazanych funkcji:

• 2 2 A

a) f(x) — ^X . x = 0 6) g(x) = e* , x = 0 c) h{x) — -———-— , x = 2 x x — 2

Definicja 4.18 (Asymptota ukośna wykresu funkcji)

Prosta y — ax + b jest asymptotą ukośną wykresu funkcji y = /(x) w -f oo wtedy i tylko wtedy, gdy

lim (/(x) — ax — b) — 0

z—»+oo

Podobnie definiuje się asymptotą ukośną w —oo. Jeżeli a = 0, to asymptotą y = b nazywamy poziomą.

Twierdzenie 4.18

Prosta y = ax + b jest asymptotą ukośną w +oo wtedy i tylko wtedy, gdy

a= lim 1^1 i b= lim (/(x)-ox) z—+<x> x z—+oo

Przykład 4.33 Znaleźć asymptoty wykresu funkcji:

/(I) = ifi, /(*) = f¹, /(X) = J&f, f(x) = x²e-*, f(x) = ze¹. .