82299

Przykład 6.5 Funkcja f(x,y) = { ^xl+u‘ ^^x'^!^ ^    nie j_est ciągła w punkcie

{ O (ar, I/) = (0,0)

(0.0) (przykład 6.2), a jej pochodne cząstkowe istnieją:

M- lim°^ = 0

x—O X

|/_(0ł0) = UmMzZM dp    v—o    y

6.5 Pochodne cząstkowe wyższych rzędów

Definicja 6.15 (Pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji dwóch zmiennych)

Niech funkcja f : A —* H, A C V? ma pochodne cząstkowe w pewnym otoczeniu punktu (x(). po) • Pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji f w punkcie (xą,yo) określamy wzorami:

S¹*"”' - (Ł (£)) <*•*> -    (Ł (s)) ^l“^,"^>

0<--> * (ś (£)) <»■•> • (I (59)

Uwaga 6.10 Pochodne drugiego rzędu i i£jir_x nazywamy pochodnymi mieszanymi. Analogicznie określamy pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji n zmiennych.

Definicja 6.16 Niech funkcja f : A —* V,. A C Hⁿ ma pochodne cząstkowe w pewnym otoczeniu punktu Po € int/1. Pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji f w

punkcie Pq — (x\, j?2,.... określamy

^(łw*GŁ (£))<*>

Twierdzenie 6.3 (Schwarza o pochodnych mieszany cli)

Jeżeli pochodne cząstkowe . &y£_x są ciągle w punkcie (aro, po), ^{to S}Q równe, tj.

&f , x &S , V ₀ ~ (aro, po) = » _n (aro, po) c/x op    dp dr

Uwaga 6.11 Prawdziwe są także analogiczne równości dla pochodnych mieszanych drogiego rzędu funkcji n zmiennych, gdzie n > 2.

Przykład 6.6 Znaleźć pochodne drugiego rzędu i sprawdzić równość dla odpowiednich pochodnych mieszanych.

a) /(ar, y) = et b) f(x, p, z) = In (x²y + zp³)

39

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
31648 img514 (2) 2.2. a)    Funkcja nie jest ciągła w punkcie jc() = — I, więc nie je
S6300977 97ll^gM n f ,nkcja C/ nie jest ciągła W punkcie *o = 0. Rozumują podobna -_CX ^ U 1
img507 (3) 2 dla x ■ ! -I dla x / I 10. funkcja / określona wzorem/(x) □    a) jest c
img507 (3) 2 dla x ■ ! -I dla x / I 10. funkcja / określona wzorem/(x) □    a) jest c
img507 (3) 2 dla x ■ ! -I dla x / I 10. funkcja / określona wzorem/(x) □    a) jest c
img067 67 nie Jest ciągłe w punkcie x « 1 oraz nie Istnieje teki punkt cc(O.l), w który*gt°> .,-(
IMGt43 (2) 148 III. Wstępne wiadomości z rachunku różniczkowego i całkowego Funkcja e jest ciągła w
Skrypt Twierdzenie 2. 9 Jeżeli lim~_,.-, f{x) = 0, to lim,-*,    = 1. Funkcja / jest
odp2 Wskazówki i odpowiedzi do zadań 1982.2. a)    Funkcja nic jest ciągła w punkcie
ciagłość Funkcja jest ciągła w punkcie x0 e Df, jeżeli lim /(x) = /(x0) x— Funkcja F : D —> OS je

więcej podobnych podstron