82308
Przykład 4.29 Wykazać, że funkcja f(x) = x2 jest ściśle wypukła w zbiorze liczb rzeczywistych.
Dowód:
Niech £1,2:2 będą dwoma różnymi punktami należącymi do R. a X dowolną liczbą z przedziału (0,1). Wówczas /(Axj + (1 — A)x2) = [Axi + (1 — A)x2]2 =
[A(xi - x2) + x2]2 = A2(xi - x2)2 + 2A(xj - x2)x2 + x2 <
A(xi - x2)2 + 2A(xi - x2)x2 + x\ = Axf + (1 - A)x| = A/(xi) + (1 - A)/(x2).
W dowodzie wykorzystano nierówność A2 < A, prawdziwą dla A 6 (0,1) i założenie, że Xl ± £2 •
9
Definicja 4.14 (Epigrafn funkcji)
Epigrafem funkcji / : (a. 6) »-* R , nazywamy zbiór
epif = {(*.y) g R2 ■ /{*) < y)
Twierdzenie 4.15
Funkcja f : (a.b) R jest wypukła w (a.b) wtedy i tylko wtedy, gdy epi f jest zbiorem wypukłym.
Przykład 4.30 Pokazać, że epigraf funkcji f(x) = |x| jest zbiorem wypukłym.
Dowód:
Niech (x.yi),(x2.y2) G epi f (tzn: \xi\ < j/, « |x2| < y2 )■
Dla x = axi + (1 - o)x2 » a € (0,1) mamy |oxi + (1 - a)x2| < |a||xi| + |1 — a||x2| = a|xi| + (1 - a)|x2| < oyi + (1 - a)y2.
Oznacza to, że (qxi + (1 - a) £2, «yi + (1 — o) ife) G epi f .
9
Definicja 4.15 (Punktu przegięcia wykresu funkcji)
Punkt xq € (a.b) nazywamy punktem przegięcia wykresu funkcji / 6 Dl((a,6)), jeżeli istnieje liczba (6 > 0) taka, że dla x € (xo — 6. xo) funkcja jest ściśle wypukła ( ściśle wklęsła), a dla x G (xo. xq + 6) ściśle wkłęsla ( ściśle wypukła ).
Twierdzenie 4.16 (Warunek wystarczający ścisłej wypukłości ( ściślej wklęsłości ))
Jeżeli f € D2((a,6)) i f"(x) > 0 (f"(x) < 0), dla każdego x € (a.b), to funkcja f jest ściśle wypukła ( ściśle wklęsła ).
Twierdzenie 4.17 ( Warunek konieczny istnienia punktu przegięcia)
Niech punkt (xo.f(xo)) będzie punktem przegięcia wykresu funkcji fec*((a.b)). Wtedy f”(x0) = 0.
Dowód:
Niech f'(x0) 7^0 .Z ciągłości drugiej pochodnej funkcji f w punkcie xo i Twierdzenia3.8 wynika, że istnieje takie 6 > 0, że dla x € (xo — S,xo 4- <5), f '(x) > 0 lub f” (x) < 0 . Przeczy to założeniu, że punkt Xq jest punktem przegięcia wykresu funkcji.
9
Uwaga 4.10 ( Warunki dostateczne istnienia punktu przegięcia)
30
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
3. Ocenić prawdziwość zdań złożonych: (a) „nieprawda, że funkcja /(&) = x2 jes
DSC91 (2) Dystrybuanta zmiennej losowej i jej własności_ Funkcję Fa określoną na całym zbiorze licz
I. Jednomian to funkcja postaci: y=axn określona na zbiorze liczb rzeczywistych. Liczbę a (a*0)
Matem Finansowa8 178 Zastosowania teorii procentu w finansachPrzykład 5.1.13 Wykazać, że funkcja k(
80678 Matem Finansowa8 178 Zastosowania teorii procentu w finansachPrzykład 5.1.13 Wykazać, że funk
372 XIX. Całki oznaczone Można wykazać, że funkcja ciągła w przedziale domkniętym jest całkowalna a
pozostają z sobą w pełnej funkcjonalnej współzależności, czego przykładem może być, źe cz. VII jest
img076 76 6.4. Wykazać. że funkcja 76 f:R 3 (x ,y) (x24y2)ain -4- gdy x24y2 > O, x 4y gdy x «» y
skanowanie0003(1) ZADANIA Z ANALIZY I - Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych 1.
Należy jeszcze wykazać, że drugi z nich jest problemem w postaci bazowej. Bez zmniejszenia ogólności
Przykład:f(z)=x + iy2 W dz*( + i-2iy Funkcja nie jest holomorficzna !
REGULACJA ODDYCHANIA MITOCHONDRIALNEGO 27 Czy jednak wykazanie, że translokaza nie jest w tych warun
Untitled 10 wykazało, że świadomość fonemów jest konieczna dla osiągnięcia sukcesu w nauce czytania
W jaki sposób można wykazać, że ten poziom jest poziomem podstawowym? Wykazano to dla pewnych takson
030 031 2 30 Programowanie liniowe Ze względu na to, że funkcja celu jest liniowa, wartości pochodny
więcej podobnych podstron