95693
Tw. 5 (Weie rstr assa): Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale domkniętym <a; b> to 1" fjest ograniczona na przedziale <a; b>.
2° ittnicją takie liczby Ci i c». że: f(ci)=/r(f(x€<a; b>) f(x) oraz f(c J =Shp(xe<*: b>) f(x).
Tw. 6 (l)arbonx): JeZdi funkcja f je* ciągła na przedziale domkniętym <a ; b> f(a>* Rb) oraz liczba g jest zawarta naędzy Ra) i Rb) to istnieje taki piaikl ce (a . I>). Ze
flO-g
POC HODNA FUNKCJI
Drf: Iloraz różnicowy funkcji f w punkcie Xo i dla przyrostu Ax zmiennej niezależnej je*t to stosunek [Rx0 * Ax) • f(Xo)J'A X.
Drf: Granicą właściwą ilorazu różnic owego gdy Ax - >0 nazywamy pochodną hm kej i i oznaczani)' symbolem f' (x<j.f‘(Xo) ■■ lm(Ax-»0) [f(x„ + Ax) • f(x„)t‘ A x Drf: Granicą lewostronną fimkcji f wpunkcie x, nazywani)' f *(Xo) = lin(Ax-*0') [f(xv*Ax)-Rxo)]/A x Drf: Granicą prawostronną fimkcji f w prmkcie Xo nazywani)' f(x«') = liin(Ax-»0') [f(x0 ♦A x) • Rx0)J/ A x.
Tw. (O pochodnej hinkejt odwrotnej): Jeśli fiaikcja x=g(y) jest ściśle monotonie zna i posiada fimkcję pocliodną g'(y) * 0 to funkcja y = f(x) odwrotna do niej posiada funkcję pocliodną. przy czym f *(x)= I/ g'(y) . gdzie y- Rx) dla każdego xe Df
Tw. (O pochodnej funkcji złożonej): Jeżeli funkcja h ma pochodną w punkcie x. a funkcja f ma pocliodną w punkcie ir~ h(x) to funkcja złożona f(h(x» ma w punkcie x pochodną [tyi(x)]*= f|h(x)J*h(x)
Def: Pochodną logarytmiczną funkcji f nazywani)' pochorfcią jej logarytnn naturalnego [In Rx)J’= f '(x)f(x).
Tw. (O pochodnej hinkcjł określonej parametrycznie): JeZdi fiaikcjay=g(x) jest określona parametrycznie: x=f(t). y=h(t).<Ua te (a.b) przy czym istnieją podiodnc dy/dt i dx'dt*0 to istnieją takie pochodne dy/dx = (dy/dl) / (dx dt>
Def: Ró^nlrzk' funkcji fw ptmkcic x0 i dla przyrostu Ax ziniauicj mczalc^iej x nazywamy ilocz)’n f ‘(x*)*(Ax). Ro6niczkć oznaczmy symbolem dRx„) lid) krótko df hd> dy
Definicja przyrostu funkcji:
f (x0+Ax) - f (x#) *= f '(x*)*Ax
Def: Pochodu' n tego rzędu hinkcji fw ptmkcic x okrcorbniy nastópuj'co
f<rt(x)“[f,-"Kx): n-l.Łprzy czym [f^]'(x)-f(x)
Def: Jc^di fimkcja f ma pochodu' rzćdu (n - 1) na otoczeniu pimktu xn oraz pochodn' rzędu n w tym samym ptmkcic X*. to <ff(Xo) = (djd “ 'Rx)|), -n.= 2.3... przy czym w każdym różniczkowaniu tai sam przyrost dx. Sfdpotmjajc proste rozimuwanic indukcyjne mamy tTRxo) ' f<R) (Xo)dx *. Symbol dx "oznacza tu (<bc)“.
Tw. (Rofle’a): Jeżeli fimkcja f jest ci'g'a na przedziale <a;b> i rójiiczkowalna na przedziale (a.b) oraz f(a)f(b). to etnicjc taki punkt ce(a;b). ^,ef '(c)“0.
Tw. (O przyrostach. Lagrange'a): Jeżeli funkcja f jest ci'g’a na przedziale domkniętym o kcrtcach Xo i x oraz ma picrwsz' pocliodn' wcwn'trz lego przcdzia’u. to istnieje taki punkt, ic^cy nnćdzy Xo i x. f (x) - f (Xo)=f ‘(c) (x -Xo). Wnioski:
1) jc6di dla każdego xe<a;b> f '(x)=0 to dla każdego xe<a;b> Rx) • Rx0)=0(x * Xo)=> Rx)=Rx0> Jc<,di f(x,)=Ow każdym punkcie przodzia’u (a.b). to fimkcja fjest na tym przedziale sta'&
2) je^di dla każdego xe (a.b) f'(x)>0lo:
a) X<Xe Rx) - RXo)“f -(X)(X - Xo)<0.
f(x) - Rxo)<0=>Rx)<f(x<1)
b) x0<x Rx) • HxaHXx0)(x • x«)>0 Rx)>f(x0) JeZdi f '(x)>0 w każdym punkcie przedziału (a;b). to fimkcja fjest na tym przedziale rosnąca
3) JeZdi f ‘(x)<0 w każdym ptmkcic przedziału (a.b), to fimkcja fjest na tym przedziale malejąca
Tw. (Taylora): JeZdi fimkcja f ma ciągle pochodne do rzędu n-1 włącznie na przedziale domkniętym o korkach x, i X oraz ma pocliodną rzędu n wewnątrz tego przedziału, to istnieje taki punkt c. lezący między x« i x. Ze Rx) • Rx«) = k-iE“’1 (<f K(x0))|łc*J*(x -x0)K'i(f<",(c))Ai!j*(x- Xe)“ przy założeniu, ze dla n= 1 pierwszy składnik po prawej strome wzoru jest równy zeru
WZÓR MACLAURINA: We wzorze Taylora kładąc xo_0 otrzymamy K-oT*',[(f<K,(0)) dc?]*xK+R.. gdzie R^ff** CAi!j*x*. Punki c jest położony między Oi x
EKSTREMUM FUNKUJl
Niech Df zawiera pewne otoczenie Q pimktu x©.
Def: Mówimy. Ze fimkcja f ma w ptmkcic x» maksimum [minimum] lokalne. jcZdi istnieje taka liczba dodatnia r. źc dla kaZdcgo xcS(XoJ) spełniona jest odpowiednia nierówność: f(x) f(x<) |Rx) ’Rx«)|. JeZdi zanaast powyższych nierówności słabych spełnione są odpowiedruo nierówności mocne Rx)<f(x0) albo f(x)>f(Xo) to maksmmm (mininmm) lokabie nazywamy właściwym.
Tw. (Fermata): JcZcIi fiaikcja f ma w punkcie x? ekstremum i ma w tym pimkcic pierwszą pochodną to f'(Xo)H).
Wai unck konieczny istnienia ekstremum: Funkcja f może mieć ckstrcniim tylko w tych punktach, w których pochodna mc istnieje bądź jest równa 0.
Pierwszy waiunek wystarczający ekstremum: JcZdi fiaikcja fjest ciągła wpunkcicx<>. a ponadto posiada pochodną P na pewnym sąsicdZTwic S(x«r) przy czym f(x)<0 dla S(x0':r) i P(x)>0 dla S(xe‘ j) to fiaikcja f ma w piaikcie x minimum wlaśdwe. jezdi natomiad spełniony jest wariaick f '(x)>0 dla S(Xo' ;r) i f '(x)<0 dla S(x»* j) to fiaikcja fma w piaikcie x: maksimum właściwe.
Drugi warunek wystarczający ekstremum: JcZdi funkcja fma na pewnym otoczeniu Q(XoJ) pochodną do rzędu n włącznie, pochodna f w jest ciągła w punkcie Xe.n jest liczbą parzystą, a ponadto f(k>(x»)’0 dla k»1.2,...(n -1) oraz f * (Xo>* Oto fiaikcja f ma w piaikcie Xo maksimum, ad)' P (Xo)<0. natomiast minimum właściwe. gd)-r’ (x„)>0.
WYPUKŁOŚĆ 1 WKLĘSŁOŚĆ WYKRESU FUNKCJI. PUNKTY PRZEGIĘCIA
Def: Mówimy. Ze krzywa y-f(x) jest wypukła (wklęsła) w punkcie x0 wted)-1 tyko wtedy, gd)- istnieje taka liczba rt>0. źc część wykresu odpowiadająca x> S(x0: ri) znajduje się nad (pod) styczną do tej krzywej w piaikcie (xc. Rx>))
Tw. JcZdi fiaikcja f ma pierwszą pocliodną na otoczeniu Q(x«,.r) oraz istnieje f"(Xo)*0 to krzywa y= Rx) jest wypukła w punkcie Xo gdy f ''(xo)>0. natomiast jest wklęsła w punkcie X* gdy f "(x0)<0
Def: Mówimy. Ze krzywa y-Rx) jest wypukła (wklęsb) na przedziale oTwartym wtedy i tyko wtedy, gdy jest wypukła (wklęsła) w każdym punkcie tego przedziału Wniosek: JcZdi f "(x)>0 na przedziale (a;b) to krzywa y= Rx) jest wypukła na (a;b). jeśli natomiast f "(x)<0 na przedziale (a;b) to krzywa y= f(x) jest wklęsła na (a.b).
Def: Piaikt P,<Xsf(x(.)) naz)’wani)' punktem przegięcia krzywej y- fix) wtedy i tylko wted)-. gd)’
1) istnieje styczna do krzywej y= f(x) w punkcie P.v
2) krzywa y= f(x) jest wypikła na pewnym lewostr oiaiym sąsicdzTwic ptak tu Xo i jest wklęsła na pewnym prawostronn)'in sąsiedZTwie lego ptaiktu albo na odwTOt Tw. JcZdi funkcja f jest dwukrotnie rożniezkowalna w pewnym otoczaiai Q(x®;r) i spdnia dwa warunki:
1) druga pochoibia w punkcie Xojcst równa zeru : f "(x<>)=0.
2) druga pochodna zmienia znak w piaikcie Xn
to piaikt Po (Xo:fl)Co)) jest punktem pizcgięcia wykresu funkcji f.
REGUŁY UL L iłóSTlIALA
Tw. JcZdi funkcje f i g róZmczkowalnc na sąsicdzTwic piaiktu x» spełniają dwa następujące wanaiki: 1) obie dąZą do zera prz)' X-SXo tzn lon(x sx«) f(x)-0 i lan(x-sxo) g(x) 0 2) ntnicjc granica g (właściwa kib niewłaściwa) ilorazu pierwszych pochodnych przy x->Xoczyli lim(x->XaXr(x)/g*(x))-g to istnieje granica ilorazu tych funkcji i równa się g czyli: lan(x-*Xo)f(x)/g(x)=g.
Tw. JcZdi funkcje f i a rozmczkowalnc na sąsicdzTwic punktu x? spełniają dwa następujące waiunki: 1) luii(x-»Xo)f(x)=iff> ,lim(x-»Xo)f(x)=± <o 2) istnieje granica (w-bściwa lub niewłaściwa) lmi(x -rx«)f'(x)/ g ’(x) =gto istnieje granica bm(x >Xo)f(x) / g(x)’p:
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
19 Funkcje zespolone. Twierdzenie 4.2. Jeżeli funkcja f jest ciągła na krzywej gładkiej C, to I f(z)
Ebook2 134 Rozdział 5. Rachunek całkowy Twierdzenie 5.2. Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale
PC043354 MuedttałJ. Funkvjr jeJtuff Twikmdzknik 3.21. (Twiwdowb Wkikrstuassa) Jeżeli funkcja f Jest
PC043354 MuedttałJ. Funkvjr jeJtuff Twikmdzknik 3.21. (Twiwdowb Wkikrstuassa) Jeżeli funkcja f Jest
PC043354 MuedttałJ. Funkvjr jeJtuff Twikmdzknik 3.21. (Twiwdowb Wkikrstuassa) Jeżeli funkcja f Jest
4(1) Twierdzenie o zamianie całki krzywoliniowej nieskierowanej w R:i Jeżeli funkcja f(x, y, z) jest
DSC07098 (5) 126 Twierdzenia o funkcjach z pochodnymi b) Funkcja g(x) =
Lagrange a Twierdzenie Lagrange’a Jeżeli funkcja/jest ciągła w przedziale [a, b] oraz różniczkowalna
28 (44) -IUwaga 5. Jeżeli funkcja f: D-»$R jest ciągła w obszarze D c9t2 normalnym względem osi OY:&
Rolle a Twierdzenie Rolle’a Jeżeli funkcja/jest ciągła w przedziale [a, b] oraz różniczkowalna w prz
CCF20091117 022 74 GRANICE FUNKCJI. POCHODNE Gdy funkcja jest ciągła w pewnym przedziale, to jej wyk
przyjmujemy c=X
MATEMATYKA138 266 V. Całka oznaczona 15. Jeśli funkcja f jest określona na przedziale < a,x) i ca
Dostęp do elementu: jeżeli element jest umieszczony na końcu listy, to aby do niego dotrzeć, trzeba
więcej podobnych podstron