3784497991
Ekstremalny element, czyli o tym, co naj... 19
jeżeli zaś zbiór D jest pusty, kładziemy
A = C, B = {«i, v2,..., vmj i teza zadania jest spełniona w obu tych przypadkach.
Przypuśćmy więc, że oba zbiory C, D są niepuste. Niech u będzie dowolnym zawodnikiem ze zbioru C, a u dowolnym zawodnikiem ze zbioru D. Załóżmy, że v wygrał z u. Zawodnik u wygrał, a zawodnik v przegrał spotkania z wszystkimi vi,V2, . . ■ ,vm, otrzymujemy więc cykl v —> u —> v\ —> V2 —> ■ ■. —> vm —> v,
który jest długości ra + 2, co stanowi sprzeczność z maksymalnością m, zatem zawodnik v przegrał z u. Skoro zawodnicy u, v byli wybrani dowolnie, dowodzi to, że każdy zawodnik ze zbioru C wygrał z każdym zawodnikiem ze zbioru D, a zatem podział A = C, B = DU{vi, V2, spełnia warunki zadania.
Zadanie 7. Problem Sylvestera: Na płaszczyźnie dany jest skończony zbiór punk
tów o tej własności, że dowolna prosta przechodząca przez dwa punkty tego zbioru przechodzi jeszcze przez trzeci. Udowodnić, że wszystkie punkty z tego zbioru leżą na jednej prostej.
Rozwiązanie
Przypuśćmy, że punkty nie leżą na jednej prostej. Spośród wszystkich par {prosta przez dwa punkty zbioru, punkt zbioru poza tą prostą} wybieramy tę, która realizuje najmniejszą możliwą odległość punktu od prostej. Oznaczmy odpowiednio tę prostą i punkt przez l i P (patrz rysunek 3).
Niech F będzie rzutem punktu P na prostą Z; wówczas PF jest odległością P od l. Zgodnie z założeniem na prostej l istnieją trzy punkty naszego zbioru, zatem co najmniej dwa leżą po jednej stronie punktu F — nazwijmy je A, B, przy czym A, B, F leżą na prostej w tej kolejności (może zajść B = F).
Oznaczmy przez D rzut punktu B na prostą AP. Skoro AB ^ AF, to pole trójkąta ABP jest nie większe od pola trójkąta AFP, innymi słowy zachodzi nierówność ^4P • BD ^ AF ■ PF. Ponadto AP > AF na mocy twierdzenia Pitagorasa, więc BD < PF. To daje sprzeczność z określeniem punktu P.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Ekstremalny element, czyli o tym, co naj.. . Adam Osękowski i Łukasz Rajkowski Celem niniejszego art
Ekstremalny element, czyli o tym, co naj... 17 skujemy, iż zarówno B, jak i B2 mają co najmniej n zn
File0021 Według W. Pietrasa rządzenie składają się z cztery elementy: 1) decydowan
Papierowe rytmy w edukacji dzieci, czyli o tym w co lubi bawić się mózgmgr Dorota Dziamska REFERATPr
CCF20090831 029 34 Przedmowa
img010 (91) Motywacja ! Tym, co przede wszystkim decyduje o powodzeniu studiów, jest motywacja, czyl
img010 (91) Motywacja ! Tym, co przede wszystkim decyduje o powodzeniu studiów, jest motywacja, czyl
img010 (91) Motywacja ! Tym, co przede wszystkim decyduje o powodzeniu studiów, jest motywacja, czyl
img010 (91) Motywacja ! Tym, co przede wszystkim decyduje o powodzeniu studiów, jest motywacja, czyl
1.2 Kryptoanaliza czyli po co komu tutaj liczby losowe Kryptoanaliza jest dziedziną wprost przeciwną
56958 PC060310 198 Tomasz i Akwinu proste o tym, co złożone. Chociaż każda przyczyna, o ile jest prz
6. Emocje, czyli to, co nadaje znaczenie naszym przeżyciom Emocja jest subiektywnym stanem psychiczn
CZŁOWIEK ISTOTĄ SPOŁECZNĄ Tym co różni ludzi on innych stworzeń jest rozum. Dzięki niemu potrafią
więcej podobnych podstron