plik

��J�zef Szymczak Granica funkcji w punkcie (notatki z wykBadu) Definicja granicy funkcji f (x) Funkcja ma w punkcie x0 granic r�wn g gdy dla ka|dego cigu argument�w (xn ) , gdzie xn �� x0 i xn �� Df dla ka|dego n, je|eli lim xn =� x0, to lim f (xn ) =� g . n�� n�� Zapisujemy ten fakt symbolicznie: lim f (x) =� g . x��x0 Granica w punkcie x0 mo|e by w szczeg�lno[ci granic niewBa[ciw. Mo|na te| rozpatry- wa granic w punkcie niewBa[ciwym ( -� �� lub +� ��). W celu stwierdzenia, |e w punkcie x0 funkcja nie ma granicy, wystarczy wskaza dwa r�|ne cigi argument�w zbie|ne do punktu x0 takie, |e odpowiednie cigi warto[ci funkcji s zbie|ne do r�|nych granic. 2x lim =� 2 PrzykBad 1. Wyka|emy na podst. definicji, |e . 3x-�2 x��1 Wybierajc dowolny cig (xn ) argument�w taki, |e lim xn =� 1, otrzymujemy nastpujc n�� granic cigu warto[ci funkcji: 2xn 2��1 2 lim f (xn ) =� lim =� =� =� 2 . 3xn -�2 3��1-�2 3-�2 n�� n�� Przy obliczaniu granic funkcji w punkcie x0 wa|nymi pojciami s granice jednostronne: lewostronna i prawostronna. f (x) Funkcja ma w punkcie x0 granic lewostronn (wBa[ciw lub niewBa[ciw) r�wn g, co zapisujemy symbolicznie lim-� f (x) =� g , x��x0 (xn ) gdy dla ka|dego cigu argument�w nale|cych do dziedziny funkcji takich, |e xn <� x0 , je|eli lim xn =� x0, to lim f (xn ) =� g . n�� n�� f (x) Analogicznie definiujemy granic prawostronn funkcji w punkcie x0 , kt�r zapisujemy symbolicznie: lim+� f (x) =� g . x��x0 Uwaga. lim f (x) =� g �� lim-� f (x) =� g �� lim+� f (x) =� g x��x0 x��x0 x��x0 f (x) Je[li granice jednostronne funkcji w punkcie x0 s r�|ne, to m�wimy, |e funkcja nie ma granicy w tym punkcie. lim sgn(x) =� -�1, lim sgn(x) =� 1. x��0-� x��0+� Funkcja sgn(x) nie ma zatem granicy w punkcie x0 =� 0. Zauwa|my, |e dla funkcji staBej f (x) =� c mamy lim c =� c w ka|dym punkcie x0 �� R . x��x0 1 1 lim =� -�� lim =� 0 x x x��-�� x��0-� 1 lim+� 1 =� �� lim =� 0 x x x�� x��0 a a -�a a >� 0 Og�lnie mo|emy zauwa|y, |e je|eli , to lim =� -�� i lim =� �� natomiast lim =� �� x x x x��0-� x��0+� x��0-� -�a i lim =� -�� . x x��0+� Twierdzenie (o granicy sumy, iloczynu i ilorazu funkcji) Je|eli lim f (x) =� a oraz lim g(x) =� b , to x��x0 x��x0 f (x) a lim ( f (x) +� g(x)) =� a +� b ; lim ( f (x) �� g(x)) =� a �� b ; lim =� ( g(x) �� 0, g �� 0). g(x) b x��x0 x��x0 x��x0 Uwaga. Granice funkcji przy warunku, gdy x �� lub gdy x �� -�� obliczamy podobnie jak dla cig�w. Zapamita przy tym trzeba te| zachowanie si podstawowych funkcji elementarnych, gdy argument zmierza do nieskoDczono[ci. PrzykBady. 1 x+�3-�x 3 3 1. lim (1 -� =� lim =� lim =� [��] =� 0 . x x+�3) x�� x(x+�3) x�� x�� x2 +�3x (x+�3)(x-�3) x2-�9 2. lim =� lim =� lim(x +� 3) =� 6 . x-�3 x-�3 x��3 x��3 x��3 (x-�2)(x-�3) x2-�5x+�6 3. lim =� lim =� lim (-�1)(x -� 3) =� 1. 2-�x x-�2 x��2-� x��2-� x��2-� x+�1 1-�x - 5 4. lim =� [03 ] =� -�� . 5. lim =� [02 ] =� -�� . 6. lim =� [05 ] =� �� . -� +� 2-�x 3-�x 4-�x2 +� x��2+� x��3-� x��2-� 1 1 5 x x 7. lim =� [05 ] =� -�� . 8. lim e =� [e�� ] =� �� . 9. lim e =� [e-�� ] =� 0 . 4-�x2 -� x��-�2-� x��0+� x��0-� 10. lim ln x =� �� . 11. lim ln x =� -�� . x�� x��0+� W przypadku granic funkcji zachodz nastpujce wzory (to|samo[ci): sin x tanx arcsinx arctanx lim =� lim =� lim =� lim =� 1; x x x x x��0 x��0 x��0 x��0 1 1)x 1)x x lim(1+� =� lim (1+� =� lim(1+� x) =� e . x x x�� x��-�� x��0 PrzykBad. cos(y+�p� ) cosx lim =� lim0 y 2 =� lim0 -�sin y =� -�1. y x-�p� y�� y�� x��p� 2 2 Asymptoty funkcji Prosta x =� x0 , gdzie x0 �� D , jest asymptot pionow f funkcji f, gdy przynajmniej jedna z granic jednostronnych lim-� f (x) lub lim+� f (x) jest niewBa[ciwa. x��x0 x��x0 Asymptota pionowa mo|e by zatem jednostronna lub obustronna. x2 Na przykBad funkcja f (x) =� ma asymptot pionow x-�3 obustronn o r�wnaniu x =� 3 , poniewa| x2 9 x2 lim =� [0-� ] =� -�� oraz lim =� [09+� ] =� �� . x-�3 x-�3 x��3-� x��3+� Prosta y =� y0 , jest asymptot poziom funkcji f, gdy lim f (x) =� y0 lub lim f (x) =� y0 . x��-�� x�� 4x Na przykBad funkcja f (x) =� ma asymptot 2x-�3 4x 4 poziom o r�wnaniu y =� 2 , poniewa| lim =� =� 2 . 2x-�3 2 x�� Asymptota pozioma jest szczeg�lnym przypadkiem asymptoty uko[nej Prosta y =� ax +� b , jest asymptot uko[n funkcji f, gdy lim ( f (x) -� (ax +� b)) =� 0 (lub gdy lim ( f (x) -� (ax +� b)) =� 0) x�� x��-�� Z powy|szej zale|no[ci wynikaj wzory na wyznaczanie wsp�Bczynnik�w asymptoty uko[nej (je[li istniej odpowiednie granice): f (x) b =� lim ( f (x) -� ax) a =� lim x x�� x�� 2x2 PrzykBad. Wyznaczy asymptot uko[n funkcji f (x) =� . Dziedzin tej funkcji jest zbi�r R -{3}. x-�3 x2 x2 Zauwa|my, |e lim =� �� , lim =� -�� , czyli funkcja nie ma asymptoty poziomej. x-�3 x-�3 x�� x��-�� f (x) 2x2 =� 2x lim =� lim lim =� 2 , skd wynika, |e a =� 2. x x(x-�3) x-�3 x�� x�� x�� 2x2 2x2 -� 2x2 +� 6x 6x lim ( f (x) -� ax) =� lim ( -� 2x) =� lim =� lim =� 6 , wic b =� 6 . x-�3 x-�3 x-�3 x�� x�� x�� x�� 2x2 Prosta y =� 2x +� 6 jest zatem asymptot uko[n funkcji f (x) =� . x-�3 CigBo[ funkcji w punkcie Definicja funkcji cigBej f (x) Funkcja jest cigBa w punkcie a , je|eli 1. funkcja ta jest okre[lona w pewnym otoczeniu punktu a , 2. istnieje granica lim f (x) , x��a 3. granica ta jest r�wna warto[ci funkcji w punkcie a , tzn. lim f (x) =� f (a) . x��a Funkcja jest cigBa w ka|dym punkcie pewnego przedziaBu, je|eli jest cigBa w ka|dym punkcie wewntrznym tego przedziaBu oraz prawostronnie cigBa na jego lewym koDcu i lewostronnie cigBa na jego prawym koDcu, pod warunkiem, |e koDce te nale| do danego przedziaBu. Punkt, w kt�rym naruszone s warunki cigBo[ci, nazywamy punktem niecigBo[ci danej funkcji. Obok przedstawione s graficznie przykBady r�|nych punkt�w niecigBo[ci. Punkty x1, x2, x3 to tzw. punkty niecigBo[ci I rodzaju. W punktach niecigBo[ci II rodzaju nie istnieje przynajmniej jedna granica jednostronna Uwaga. Ka|da funkcja elementarna jest cigBa na caBej swojej dziedzinie. Suma i iloczyn funkcji cigBych jest funkcj cigB. Iloraz funkcji cigBych jest funkcj cigB we wszystkich punktach, w kt�rych mianownik nie przyjmuje warto[ci zerowej. ZBo|enie funkcji cigBych jest funkcj cigB. 1-� e1/ x dla x <� 0 �� f (x) =� PrzykBad. Zbada cigBo[ funkcji �� . ��x dla x �� 0 W przypadku tej funkcji nale|y sprawdzi jej cigBo[ w punkcie x =� 0, poniewa| dla wszystkich niezerowych argument�w funkcje skBadowe s cigBe (jako funkcje elementarne). Mamy wic: f (0) =� 0, lim f (x) =� lim 1-� e1/ x =� 1 -� 0 =� 1, x��0-� x��0-� lim f (x) =� lim x =� 0. x��0+� x��0+� Widzimy, |e badana funkcja ma r�|ne granice jednostronne dla x =� 0, a wic nie jest cigBa w tym punkcie (graficznie nastpuje przeskok wykresu przy przej[ciu przez ten punkt). x dla x <� 0 �� f (x) =� Zadanie. Zbada cigBo[ funkcji . �� 1 -� ex dla x �� 0 Twierdzenie (wBasno[ Darboux o warto[ciach po[rednich funkcji cigBej) Funkcja y =� f (x) f (a) �� f (b) , przyjmuje cigBa na przedziale <� a; b >� , dla kt�rej f (a) na tym przedziale wszystkie warto[ci zawarte pomidzy i f (b) . Z twierdzenia Darboux wynika nastpujcy Wniosek. Je|eli funkcja y =� f (x) jest cigBa na przedziale <� a; b >� oraz f (a) �� f (b) <� 0 (czyli funkcja przyjmuje na koDcach tego przedziaBu warto[ci o r�|nych znakach), to istnieje przynajmniej jeden punkt c ��(a; b) taki, |e f (c) =� 0 (miejsce zerowe funkcji). Wniosek ten jest wykorzystywany przy obliczaniu przybli|onych warto[ci rozwizaD r�wnaD postaci f (x) =� 0 . PrzykBad. Sprawdzi, czy istnieje rozwizanie r�wnania x2 -� 2x =� 0 w przedziale <� -�1; 0 >� . Je[li rozwa|ymy lew stron r�wnania jako funkcj f (x) =� x2 -� 2x , to widzimy, |e 1 f (-�1) =�1-� 2-� 1 =� f (0) =� 0 -� 20 =� -�1 , . Dana funkcja jest cigBa, ma na koDcu tego przedziaBu warto[ci 2 o r�|nych znakach, a wic musi istnie w tym przedziale punkt bdcy miejscem zerowym rozwa|anej funkcji, czyli istnieje rozwizanie wyj[ciowego r�wnania. Zadanie. Sprawdzi, czy r�wnanie ln x +� x -� 2 =� 0 ma rozwizanie w przedziale <�1; 2 >� .

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
(3683) ciągi, granice ciągów, granice funkcji, ciągłość funkcji[1]
granice funkcji ciaglosc funkcji (1)
(3683) ciągi, granice ciągów, granice funkcji, ciągłość funkcji
8 Zadania do wykladu Granica funkcji Ciaglosc funkcji 1
Granice funkcji wielu zmiennych
Granice funkcji
granica funkcji zadania 1 plus 2
FUNKCJE ZMIENNEJ RZECZYWISTEJ 3 2 Granica funkcji
Granice funkcji
granice funkcji, lista zadan
Granice funkcji IMiR
Granice funkcji

więcej podobnych podstron