ÿþA d a m B o d n a r : W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a Bó w . S t a t e c z n o [ o s i o w o [c i s k a n y c h p r t ó w p r o s t y c h
1 7 . S T A T E C Z N O Z O S I O W O ZC I S K A N Y C H P R T Ó W P R O S T Y C H
1 7 . 1 . S t a t e c z n o [ p r t a w z a k r e s i e l i n i o w o s p r |y s t y m .
J e d n y m z p o d s t a w o w y c h z a Bo |e D p r z y j t y c h n a p o c z t k u n a s z y c h r o z w a |a D b y Bo t o , |e
a n a l i z o w a n e p r z e z n a s k o n s t r u k c j e z n a j d u j s i w r ó w n o w a d z e t r w a Be j ( i n a c z e j s t a t e c z n e j ) a l e
j a k d o t d , p r ó c z p r o s t y c h o b j a [n i e D, n i e z o s t a By s f o r m u Bo w a n e |a d n e a n a l i t y c z n e w a r u n k i
g w a r a n t u j c e t a k r ó w n o w a g l u b j a k p o w i e m y w j z y k u i n |y n i e r s k i m g w a r a n t u j c e
s t a t e c z n o [ k o n s t r u k c j i . U t r a t a s t a t e c z n o [c i k o n s t r u k c j i j e s t z a g a d n i e n i e m n i e z w y k l e w a |n y m
i s k o m p l i k o w a n y m - i c o w i c e j - s t a n o w i j e d n z p r z y c z y n w y s t p i e n i a s t a n u g r a n i c z n e g o
n o [n o [c i . K o n i e c z n o [ u w z g l d n i e n i a u t r a t y s t a t e c z n o [c i w a n a l i z i e m e c h a n i c z n e j
z a c h o w a n i a s i k o n s t r u k c j i d o b i t n i e o b r a z u j e n a s t p u j c e z a d a n i e 1 , w k t ó r y m n a l e |y
w y z n a c z y d o p u s z c z a l n w y s o k o [ s t a l o w e g o p r t a p r o s t e g o o p o l u p r z e k r o j u p o p r z e c z n e g o
A = 1 c m 2 , o b c i |o n e g o t y l k o c i |a r e m w Ba s n y m ³ = 7 8 . 5 0 k N / m 3 , w y k o n a n e g o z e s t a l i o
w y t r z y m a Bo [c i o b l i c z e n i o w e j p r z y [c i s k a n i u R c = 2 1 5 M P a .
W a r u n e k s t a n u g r a n i c z n e g o n o [n o [c i z w i z a n e g o j e d y n i e z n i e p r z e k r o c z e n i e m
w y t r z y m a Bo [c i o b l i c z e n i o w e j p r z y [c i s k a n i u , d a j e n i |e j w y z n a c z o n , d o p u s z c z a l n w y s o k o [
p r t a
³ l A R c 2 1 5 * 1 0 6
d" R c ’! l d" = = 2 . 7 3 9 * 1 0 3 m .
A ³
7 8 . 5 * 1 0 3
J e s t r z e c z o c z y w i s t , |e n i e m a m o |l i w o [c i r e a l i z a c j i k o n s t r u k c j i o t y c h w y m i a r a c h z
z a c h o w a n i e m j e j p r o s t o l i n i o w e g o k s z t a Bt u ( j a k t o j e s t z a Bo |o n e w w y k o n a n y c h o b l i c z e n i a c h ) i
w j z y k u i n |y n i e r s k i m p o w i e m y , |e k o n s t r u k c j a t a k a m u s i u t r a c i s w o j s t a t e c z n o [.
Z a j m i e m y s i t e r a z p o d a n i e m a n a l i t y c z n y c h w a r u n k ó w z a p e w n i e n i a r ó w n o w a g i s t a t e c z n e j d l a
b a r d z o p r o s t e j k o n s t r u k c j i , j a k j e s t o s i o w o [c i s k a n y p r t p r y z m a t y c z n y , w y k o n a n y z
m a t e r i a Bu o w Ba s n o [c i a c h f i z y c z n y c h o k r e [l o n y c h p r a w e m H o o k e a .
Z a c z n i e m y o d p r o s t e g o i d e o w e g o o b j a [n i e n i a t r z e c h p o s t a c i r ó w n o w a g i w j a k i c h
k o n s t r u k c j a m o |e s i z n a j d o w a .
J e |e l i p o d o w o l n i e m a By m w y c h y l e n i u z p i e r w o t n e g o p o Bo |e n i a r ó w n o w a g i r u c h c i a Ba j e s t
t a k i , |e w y c h y l e n i a j e g o p u n k t ó w n i e s w i k s z e t y c h p o c z t k o w y c h t o t a k r ó w n o w a g
n a z y w a m y s t a t e c z n ( t r w a B) .
W p r z e c i w n y m p r z y p a d k u r ó w n o w a g a
j e s t n i e s t a t e c z n a ( n i e t r w a Ba , c h w i e j n a ) .
M o |n a j e s z c z e w y r ó |n i s z c z e g ó l n e
p o Bo |e n i e r ó w n o w a g i z w a n e
r ó w n o w a g o b o j t n a w k t ó r e j p u n k t y
I I I
I I I
c i a Ba p o z o s t a j w p o Bo |e n i u p o
w y c h y l e n i u . O p i s a n s y t u a c j m o |n a
z o b r a z o w a t r a k t u j c k o n s t r u k c j j a k o
c i |k k u l k w r ó |n y c h w a r u n k a c h
R y s . 1 7 . 1
p o d p a r c i a z n a j d u j c s i w
p o t e n c j a l n y m p o l u s i B ( r y s . 1 7 . 1 ) .
R ó w n o w a d z e s t a t e c z n e j I o d p o w i a d a m i n i m u m e n e r g i i p o t e n c j a l n e j u k Ba d u , a w r ó w n o w a d z e
c h w i e j n e j I I I m a k s i m u m . W s t a n i e r ó w n o w a g i o b o j t n e j I I w a r t o [ e n e r g i i p o t e n c j a l n e j p r z y
d o w o l n i e m a By m w y c h y l e n i u p o z o s t a j e s t a Ba .
1
P r z y k Ba d w z i t y z k s i |k i S . P i e c h n i k . W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a Bó w d l a W y d z i a Bó w B u d o w l a n y c h . P W N 1 9 7 2 .
2 3 1
A d a m B o d n a r : W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a Bó w . S t a t e c z n o [ o s i o w o [c i s k a n y c h p r t ó w p r o s t y c h
1 7 . 2 . S i Ba k r y t y c z n a
Z a g a d n i e n i e u t r a t y s t a t e c z n o [c i [c i s k a n e g o o s i o w o p r t a p r y z m a t y c z n e g o r o z w i |e m y w
s p o s ó b p o d a n y p r z e z L . E u l e r a w 1 7 4 4 r .
R o z w a |m y , p o k a z a n y n a r y s . 1 7 . 2 , [c i s k a n y o s i o w o s i B P p r t p r z e g u b o w o p o d p a r t y n a o b u
k o Dc a c h , w y k o n a n y z m a t e r i a Bu l i n i o w o s p r |y s t e g o o m o d u l e Y o u n g a E i n a d a j m y m u
w
Z
Z
Y
w ( x )
P k r
P k r
X
J y = J m i n
l
R y s . 1 7 . 2
j a k i m [ i m p u l s e m p o p r z e c z n y m d o w o l n i e m a Be p o c z t k o w e u g i c i e w p Ba s z c z y zn i e
n a j m n i e j s z e j s z t y w n o [c i z g i n a n i a . J e |e l i p o u s u n i c i u p r z y c z y n y u g i c i a p o w r ó c i o n d o s w e j
p o c z t k o w e j p r o s t o l i n i o w e j p o s t a c i , o z n a c z a t o , |e z n a j d u j e s i w r ó w n o w a d z e s t a t e c z n e j .
P o w t a r z a j c r o z u m o w a n i e w r a z z e z w i k s z a n i e m w a r t o [c i s i By P d o j d z i e m y d o s y t u a c j i , w
k t ó r e j p r t p o u s u n i c i u p r z y c z y n y p o c z t k o w e g o u g i c i a p o z o s t a n i e k r z y w o l i n i o w y ( n i e
p o w r ó c i d o s w e j p i e r w o t n e j p r o s t o l i n i o w e j f o r m y ) . O z n a c z a t o , |e t y m r a z e m p r t z n a j d u j e
s i w s t a n i e r ó w n o w a g i o b o j t n e j , a s i B, p r z y k t ó r e j t o n a s t p i Bo n a z y w a b d z i e m y s i B
k r y t y c z n P k r . T a k w i c :
s i Ba k r y t y c z n a t o s i Ba p r z y k t ó r e j o s i o w o [c i s k a n y p r t z n a j d u j e s i w s t a n i e r ó w n o w a g i
o b o j t n e j .
W y l i c z m y t s i B k r y t y c z n . R ó w n a n i e m o m e n t ó w w z a k r z y w i o n y m p r c i e p r z y o b c i |e n i u
s i B k r y t y c z n m a p o s t a :
M ( x ) = P k r w ( x ) , ( 1 7 . 1 )
a r ó w n a n i e r ó |n i c z k o w e j e g o u g i t e j o s i p r z y j m u j e f o r m :
2
d w ( x ) M ( x )
= - , ( 1 7 . 2 )
E J m i n
d x 2
z k t ó r e j o t r z y m u j e m y r ó w n a n i e r ó |n i c z k o w e w i |c e u g i c i e z s i B k r y t y c z n :
2
P k r
d w ( x ) + w ( x ) = 0 .
( 1 7 . 3 )
E J m i n
d x 2
P r z y j m u j c o z n a c z e n i e :
P k r
2
k = , ( 1 7 . 4 )
E J m i n
z a p i s z e m y j e w p o s t a c i :
2
d w ( x ) + k 2 0 ,
w ( x ) = ( 1 7 . 5 )
d x 2
k t ó r e g o r o z w i z a n i e m j e s t f u n k c j a :
w ( x ) = A s i n k x + B c o s k x . ( 1 7 . 6 )
S t a Be c a Bk o w a n i a A o r a z B w y z n a c z y m y z k i n e m a t y c z n y c h w a r u n k ó w b r z e g o w y c h :
2 3 2
A d a m B o d n a r : W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a Bó w . S t a t e c z n o [ o s i o w o [c i s k a n y c h p r t ó w p r o s t y c h
w ( 0 ) = 0 o r a z w ( l ) = 0 . ( 1 7 . 7 )
P i e r w s z y w a r u n e k d a j e B = 0 , n a t o m i a s t d r u g i z a l e |n o [ 0 = A s i n k l , z k t ó r e j p r z y z a Bo |e n i u
|e A `" 0 ( r o z w a |a m y p r t z a k r z y w i o n y , w i c r ó w n o c z e [n i e n i e m o |e b y B = 0 i A = 0 ) ,
d o s t a j e m y :
n À
s i n k l = 0 ’! k = , n = 1 , 2 , 3 , . . . .
l
K o r z y s t a j c z ( 1 7 . 4 ) , d l a k o l e j n y c h l i c z b n a t u r a l n y c h o t r z y m u j e m y :
2
À E J À
m i n
n = 1 , P k r , 1 = , w ( x ) = A s i n x ,
2
l
l
l
2
4 À E J m i n 2 À
n = 2 , P k r , 2 = , w ( x ) = A s i n x ,
2
l
l
l / 2
l / 2
2
9 À E J m i n 3 À
n = 3 , P k r , 1 = , w ( x ) = A s i n x ,
2
l
l
l / 3 l / 3 l / 3
. . . . . . . . . . . . . ,
c o d o w o d z i , |e k a |d e j w a r t o [c i s i By k r y t y c z n e j o d p o w i a d a i n n a f o r m a d e f o r m a c j i p r t a , a l b o -
i n a c z e j - i n n a p o s t a w y b o c z o n e g o p r t a , a l e w s z y s t k i e s s i n u s o i d a m i .
J e s t r z e c z o c z y w i s t , |e z a s i B k r y t y c z n u z n a m y t n a j m n i e j s z , o d p o w i a d a j c n = 1 . W
t y m m i e j s c u w a r t o z w r ó c i u w a g , |e i m p u l s p o p r z e c z n y w y w o Bu j c y t o w s t p n e
z a k r z y w i e n i e p o t r z e b n y j e s t t y l k o w r o z w a |a n i a c h t e o r e t y c z n y c h . W r z e c z y w i s t o [c i
o d s t p s t w a o d i d e a l n y c h z a Bo |e D, n p . i d e a l n e j p r o s t o l i n i o w o [c i p r t a , o s i o w o [c i p r z y Bo |e n i a
s i By c z y j e d n o r o d n o [c i m a t e r i a Bu , s a m e z a w s z e s p o w o d u j w y b o c z e n i e p r t a .
W y n i k i a n a l i z y p r t ó w o i n n y c h w a r u n k a c h p o d p a r c i a p o z w a l a j n a p i s a j e d n o l i t y w z ó r n a
s i B k r y t y c z n , n a z y w a n s i B k r y t y c z n E u l e r a , w p o s t a c i :
2
À E J m i n
E
P k r = , ( 1 7 . 8 )
2
l w
g d z i e : l w = ± l , ( 1 7 . 9 )
n a z y w a m y d Bu g o [c i w y b o c z e n i o w .
W a r t o [c i w s p ó Bc z y n n i k a d Bu g o [c i w y b o c z e n i o w e j ± z a l e |n e g o o d w a r u n k ó w p o d p a r c i a
p o d a n o n a r y s . 1 7 . 3 .
± = 1 ± = 2
± = 1 ± = 2 ± = 0 . 7 ± = 0 . 5
l
R y s . 1 7 . 3
2 3 3
A d a m B o d n a r : W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a Bó w . S t a t e c z n o [ o s i o w o [c i s k a n y c h p r t ó w p r o s t y c h
1 7 . 3 . N a p r |e n i a k r y t y c z n e
Z a k r e s w a |n o [c i w z o r u E u l e r a n a s i B k r y t y c z n j e s t o g r a n i c z o n y w Ba s n o [c i a m i f i z y c z n y m i
m a t e r i a Bu [c i s k a n e g o p r t a . P o n i e w a | m a t e r i a B a n a l i z o w a n e g o p r z e z n a s p r t a b y B z z a Bo |e n i a
m a t e r i a Be m l i n i o w o s p r |y s t y m t o n a p r |e n i a n o r m a l n e w p r c i e n i e m o g p r z e k r a c z a R H -
g r a n i c y s t o s o w a l n o [c i p r a w a H o o k e a ( g r a n i c y p r o p o r c j o n a l n o [c i ) .
W c e l u w y z n a c z e n i a z a k r e s u s t o s o w a l n o [c i w z o r u ( 1 7 . 8 ) d o k o n a m y j e g o p r z e k s z t a Bc e n i a .
W p i e r w p o d z i e l i m y o b u s t r o n n i e p r z e z p o l e p r z e k r o j u p o p r z e c z n e g o A
E 2
P k r À E J m i n
= ,
2
A
A l w
a n a s t p n i e , d e f i n i u j c p o j c i e n a p r |e n i a k r y t y c z n e g o :
P k r
à = , ( 1 7 . 1 0 )
k r
A
i s m u k Bo [c i p r t a :
l w
» = , ( 1 7 . 1 1 )
i m i n
g d z i e : i m i n = J m i n / A - j e s t m i n i m a l n y m p r o m i e n i e m b e z w Ba d n o [c i p r z e k r o j u
p o p r z e c z n e g o , m o |e m y o t r z y m a z a l e |n o [:
2
À E
E
à = ( 1 7 . 1 2 )
k r
»2
w k t ó r e j :
E
P k r
E
à = o z n a c z a n a p r |e n i e k r y t y c z n e E u l e r a .
k r
A
E
N a w y k r e s i e z a l e |n o [c i à o d » ( r y s . 1 7 . 4 ) , w y k r e s e m f u n k c j i à ( ») j e s t h i p e r b o l a , k t ó r e j
k r k r
z a k r e s w a |n o [c i j e s t o g r a n i c z o n y o d g ó r y , n a o s i r z d n y c h , w a r t o [c i R H . O d p o w i a d a j c
t e j w a r t o [c i n a p r |e D k r y t y c z n y c h à , s m u k Bo [ n a z w i e m y s m u k Bo [c i g r a n i c z n i
k r
w y z n a c z y m y z w a r u n k u :
2
À E E
R H = ’! »g r = À . ( 1 7 . 1 3 )
R H
»2
g r
Ã
k r
p r o s t a T e t m a j e r a - J a s i Ds k i e g o
R e
h i p e r b o l a E u l e r a
R H
»
»g r
2 3 4
A d a m B o d n a r : W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a Bó w . S t a t e c z n o [ o s i o w o [c i s k a n y c h p r t ó w p r o s t y c h
R y s . 1 7 . 4
Z a t e m w z ó r E u l e r a j e s t w a |n y d l a s m u k Bo [c i » e" »g r i n a p r |e n i a k r y t y c z n e s o p i s a n e
w ó w c z a s p r z e z h i p e r b o l E u l e r a , a p r t p r a c u j e w z a k r e s i e l i n i o s p r |y s t y m .
W p r a k t y c z n y c h z a s t o s o w a n i a c h p o t r z e b u j e m y , j e d n a k c z s t o , a n a l i z o w a u t r a t s t a t e c z n o [c i
r ó w n i e | w z a k r e s i e n i e l i n i o w o s p r |y s t y m i s p r |y s t o p l a s t y c z n y m , d l a k t ó r y c h s m u k Bo [
s p e Bn i a n i e r ó w n o [ 0 d" » < »g r .
W s t a n a c h p o z a l i n i o w o s p r |y s t y c h p o s Bu g i w a s i b d z i e m y z a l e |n o [c i a m i u s t a l o n y m i
e m p i r y c z n i e , z k t ó r y c h n a j b a r d z i e j z n a n y m i s , p r o s t a T e t m a j e r a - J a s i Ds k i e g o o k r e [l o n a
w z o r e m :
T - J
à = a - b » , ( 1 7 . 1 4 )
k r
o r a z p a r a b o l a J o h n s o n a - O s t e n f e l d a z d e f i n i o w a n a r ó w n a n i e m :
J - O
à = A - B »2 . ( 1 7 . 1 5 )
k r
W o b u p o w y |s z y c h z a l e |n o [c i a c h a , b , A o r a z B t o s t a Be m a t e r i a Bo w e .
A p r o k s y m a c j a k r z y w e j t e o r e t y c z n e j p r o s t T e t m a j e r a - J a s i Ds k i e g o ( p a t r z r y s . 1 7 . 4 ) z a k Ba d a , |e
d l a p r t ó w , k t ó r y c h s m u k Bo [ » ’! 0 ( p r t ó w k r p y c h ) s t a n g r a n i c z n y n o [n o [c i o s i g a n y j e s t
p r z e z u p l a s t y c z n i e n i e a n i e p o p r z e z u t r a t s t a t e c z n o [c i i s t d s t a Be a i b w e w z o r z e
w y z n a c z o n e s z w a r u n k ó w :
T - J
à = R e d l a » = 0 ’! a = R e ,
k r
R e - R H R e - R H R H
T - J
à = R H d l a » = »g r ’! R H = a - b »g r ’! b = = ,
k r
»g r À E
g d z i e : R e - w y r a zn a g r a n i c a p l a s t y c z n o [c i . Z a t e m o s t a t e c z n i e n a p r |e n i e k r y t y c z n e w e d Bu g
T e t m a j e r a - J a s i Ds k i e g o m o |n a z a p i s a w p o s t a c i w z o r u :
R e - R H R H
T - J
à = R e - » . ( 1 7 . 1 6 )
k r
À E
1 7 . 4 . W y m i a r o w a n i e o s i o w o [c i s k a n y c h p r t ó w z u w z g l d n i e n i e m u t r a t y s t a t e c z n o [c i
P o p r a w n i e z a p r o j e k t o w a n y o s i o w o [c i s k a n y p r t w i n i e n s p e Bn i a r ó w n o c z e [n i e d w a ,
n i e z a l e |n e o d s i e b i e w a r u n k i s t a n u g r a n i c z n e g o n o [n o [c i t z n . b y B w y t r z y m a By i z n a j d o w a B s i
w r ó w n o w a d z e s t a t e c z n e j . W a r u n k i t e w y m a g a j a b y s i Ba o b c i |a j c a P s p e Bn i a Ba
n i e r ó w n o [c i :
P d" A * R c i P d" P k r ,
g d z i e : A t o p o l e p r z e k r o j u p o p r z e c z n e g o p r t a .
W p r a k t y c e i n |y n i e r s k i e j p r z y p r o j e k t o w a n i u k o n s t r u k c j i s t a l o w y c h k o r z y s t a m y z j e d n e g o
w a r u n k u , w y s t p u j c e g o w P o l s k i c h N o r m a c h B u d o w l a n y c h , s p e Bn i a j c e g o r ó w n o c z e [n i e o b a
t e k r y t e r i a . W a r u n e k t e n m o |n a o t r z y m a w y c h o d z c z n i e r ó w n o [c i z a p e w n i a j c e j
r ó w n o w a g s t a t e c z n :
P d" P k r ’! P d" Ã ( ») A . ( 1 7 . 1 7 )
k r
2 3 5
A d a m B o d n a r : W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a Bó w . S t a t e c z n o [ o s i o w o [c i s k a n y c h p r t ó w p r o s t y c h
U t o |s a m i a j c n a w y k r e s i e z a l e |n o [c i à ( ») ( r y s . 1 7 . 4 ) w y r a zn g r a n i c p l a s t y c z n o [c i R e z
k r
w y t r z y m a Bo [c i o b l i c z e n i o w p r z y [c i s k a n i u R c m o |e m y n a m o c y d e f i n i c j i n a p i s a :
à ( ») = Õ( ») R c
k r
b y p o w s t a w i e n i u d o n i e r ó w n o [c i ( 1 7 . 1 7 ) d o s t a :
P
d" R c ( 1 7 . 1 8 )
Õ( ») A
g d z i e :
à ( »)
k r
Õ( ») = w s p ó Bc z y n n i k w y b o c z e n i o w y . ( 1 7 . 1 9 )
R c
W s p ó Bc z y n n i k w y b o c z e n i o w y p r z y j m u j e w a r t o [c i Õ( ») d"1 , i f i z y c z n i e s p e Bn i a r o l
w s p ó Bc z y n n i k a r e d u k c y j n e g o p o l a p r z e k r o j u p o p r z e c z n e g o A ( c z y l i t y m s a m y m
w s p ó Bc z y n n i k a r e d u k c y j n e g o n o [n o [c i o b l i c z e n i o w e j p r t a ) , j e s t f u n k c j s m u k Bo [c i o r a z
s t a By c h m a t e r i a Bo w y c h i w p r z e d z i a l e » e" »g r w y n o s i :
2
À E
Õ( ») = ,
R c »2
a p r z e d z i a l e 0 d" » < »g r , p r z y z a s t o s o w a n i u w z o r u T e t m a j e r a - J a s i Ds k i e g o , p r z y j m u j e p o s t a :
R c - R H R H
Õ( ») = 1 - » .
À R c E
W s p ó Bc z y n n i k i w y b o c z e n i o w e , p o d a n e w f o r m i e t a b l i c w P o l s k i e j N o r m i e P N - 9 0 / B - 0 3 2 0 0
d o t y c z c e j o b l i c z e D s t a t y c z n y c h i p r o j e k t o w a n i a k o n s t r u k c j i s t a l o w y c h , u w z g l d n i a j j e s z c z e
i n n e , d o d a t k o w e n i e z w y k l e w a |n e d l a z a g a d n i e n i a u t r a t y s t a t e c z n o [c i p a r a m e t r y , t a k i e j a k
p o c z t k o w e z n i e k s z t a Bc e n i a o s i l u b p r z e k r o j u p o r z e c z n e g o p r t ó w ( t z w . i m p e r f e k c j e ) . S t d
w a r t o [c i t y c h w s p ó Bc z y n n i k ó w z a l e |n e s o d t z w . s m u k Bo [c i w z g l d n e j » = » »p , g d z i e »p
j e s t s m u k Bo [c i p o r ó w n a w c z :
À E
»p = , ( 1 7 . 2 0 )
1 . 1 5 R c
o r a z o d t e c h n o l o g i i w y t w a r z a n i a ( s p a w a n y , w a l c o w a n y ) i k s z t a Bt u p r z e k r o j u e l e m e n t u .
K o n c e p c j a w s p ó Bc z y n n i k a w y b o c z e n i o w e g o f u n k c j o n u j e r ó w n i e | p r z y w y m i a r o w a n i u p r t ó w
[c i s k a n y c h w k o n s t r u k c j a c h d r e w n i a n y c h .
1 7 . 5 . P r z y k Ba d y
P r z y k Ba d 1 7 . 5 . 1 . W y z n a c z y s i By k r y t y c z n e d l a [c i s k a n y c h o s i o w o p r t ó w s t a l o w y c h o
d Bu g o [c i l = 1 m , w y m i a r a c h p r z e k r o j u p o p r z e c z n e g o 3 * 6 c m p o d p a r t y c h j a k n a r y s u n k a c h ,
j e [l i R H = 2 0 0 M P a , R e = 2 1 5 M P a , R c = 1 9 5 M P a , E = 2 0 5 G P a .
a
P k r c
P k r b P k r
l
l l
R o z w i z a n i e
2 3 6
A d a m B o d n a r : W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a Bó w . S t a t e c z n o [ o s i o w o [c i s k a n y c h p r t ó w p r o s t y c h
P r z y j m u j e m y , |e w a r u n k i p o d p a r c i a w o b u p Ba s z c z y z n a c h s t a k i e s a m e , w i c w y b o c z e n i e
w y s t p i w p Ba s z c z y zn i e m i n i m a l n e j s z t y w n o [c i z g i n a n i a i m i n i m a l n y m o m e n t o r a z p r o m i e D
b e z w Ba d n o [c i s r ó w n e :
6 * 3 3 J m i n 1 3 . 5
J m i n = = 1 3 . 5 0 c m 4 , A = 3 * 6 = 1 8 . 0 c m 2 , i m i n = = = 0 . 8 6 6 c m .
1 2 A 1 8 . 0
E 2 0 5 * 1 0 9
S m u k Bo [ g r a n i c z n a : »g r = À = À = 1 0 0 . 6
R H
2 0 0 * 1 0 6
P r z y p a d e k a
l w 2 * 1 0 0 . 0
S m u k Bo [ p r t a : » = = = 2 3 0 . 9 4 6 > »g r
i m i n 0 . 8 6 6
2 2
À E J m i n À 2 0 5 * 1 0 9 * 1 3 . 5 * 1 0 - 8
E
O b o w i z u j e w z ó r E u l e r a : P k r = = = 6 8 . 2 8 5 k N .
2
l w 2 2
P r z y p a d e k b
l w
1 0 0 . 0
S m u k Bo [ p r t a » = = = 1 1 5 . 4 7 3 > »g r
i m i n 0 . 8 6 6
2 2
À E J m i n À 2 0 5 * 1 0 9 * 1 3 . 5 * 1 0 - 8
E
O b o w i z u j e w z ó r E u l e r a : P k r = = = 2 7 3 . 1 4 1 k N .
2
l w 1 2
P r z y p a d e k c
l w
0 . 5 * 1 0 0 . 0
S m u k Bo [ p r t a » = = = 5 7 . 7 3 7 < »g r
i m i n 0 . 8 6 6
U t r a t a s t a t e c z n o [c i w y s t p i w z a k r e s i e p o z a l i n i o w o s p r |y s t y m i n i e o b o w i z u j e w z ó r
E u l e r a .
P r z y j m u j c a p r o k s y m a c j p r o s t T e t m a j e r a - J a s i Ds k i e g o o t r z y m a m y :
R e - R H R H 2 1 5 - 2 0 0 2 0 0 * 1 0 6
T - J
à = R e - » = 2 1 5 - 5 7 . 7 3 7 = 2 0 6 . 3 8 9 M P a
k r
À E À
2 0 5 * 1 0 9
T T - J
P k r - J = A * Ã = 1 8 * 1 0 - 4 * 2 0 6 . 3 8 9 * 1 0 6 = 3 7 1 . 5 0 0 k N .
k r
W a r u n e k w y t r z y m a Bo [c i w e w s z y s t k i c h t r z e c h p r z y p a d k a c h d a j e d o p u s z c z a l n s i B
o b c i |a j c
P d" A R c = 1 8 * 1 0 - 4 * 1 9 5 * 1 0 6 = 3 5 1 . 0 k N .
P r z y k Ba d 1 7 . 5 . 2 . W y z n a c z y s i B k r y t y c z n d l a [c i s k a n e g o o s i o w o p r t a s t a l o w e g o o
d Bu g o [c i l = 1 m , w y m i a r a c h p r z e k r o j u p o p r z e c z n e g o b × h = 3 × 6 c m p o d p a r t e g o j a k n a
r y s u n k u , j e [l i R H = 2 0 0 M P a , R e = 2 1 5 M P a , E = 2 0 5 G P a .
Z
Z
Y
P k r
Y
X
h
b
l
2 3 7
A d a m B o d n a r : W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a Bó w . S t a t e c z n o [ o s i o w o [c i s k a n y c h p r t ó w p r o s t y c h
R o z w i z a n i e
W p Ba s z c z y zn i e ( X , Z ) p r t j e s t j e d n y m k o Dc e m z a m o c o w a n y , a d r u g i k o n i e c m a w o l n y ,
n a t o m i a s t w p Ba s z c z y zn i e ( X , Y ) o b a k o Dc e p r t a s z a m o c o w a n e .
J
3 * 6 3 5 4 . 0
y
A = 3 * 6 = 1 8 . 0 c m 2 , J = = 5 4 . 0 0 c m 4 , i y = = = 1 . 7 3 c m ,
y
1 2 A 1 8 . 0
6 * 3 3 J 1 3 . 5
z
J = = 1 3 . 5 0 c m 4 , i z = = = 0 . 8 6 6 c m .
z
1 2 A 1 8 . 0
E 2 0 5 * 1 0 9
S m u k Bo [ g r a n i c z n a : »g r = À = À = 1 0 0 . 6 .
R H
2 0 0 * 1 0 6
W y b o c z e n i e w p Ba s z c z y zn i e ( X , Z )
l w
2 * 1 0 0 . 0
S m u k Bo [ p r t a » = = = 1 1 5 . 6 0 7 > »g r
i y 1 . 7 3
2
2
À E J
À 2 0 5 * 1 0 9 * 5 4 . 0 * 1 0 - 8
y
E
O b o w i z u j e w z ó r E u l e r a P k r = = = 2 7 3 . 1 4 1 k N .
2
l w 2 2
W y b o c z e n i e w p Ba s z c z y zn i e ( X , Y )
l w
0 . 5 * 1 0 0 . 0
S m u k Bo [ p r t a » = = = 5 7 . 7 3 7 < »g r
i z 0 . 8 6 6
U t r a t a s t a t e c z n o [c i w y s t p i w z a k r e s i e p o z a l i n i o w o s p r |y s t y m .
P r z y j m u j c a p r o k s y m a c j p r o s t T e t m a j e r a - J a s i Ds k i e g o o t r z y m a m y :
R e - R H R H 2 1 5 - 2 0 0 2 0 0 * 1 0 6
T - J
à = R e - » = 2 1 5 - 5 7 . 7 3 7 = 2 0 6 . 3 8 9 M P a ,
k r
À E À
2 0 5 * 1 0 9
T T - J
P k r - J = A * Ã = 1 8 * 1 0 - 4 * 2 0 6 . 3 8 9 * 1 0 6 = 3 7 1 . 5 0 0 k N .
k r
S i Ba k r y t y c z n a d l a r o z w a |a n e g o p r t a w y n o s i P k r = 2 7 3 . 1 4 1 k N .
P r z y k Ba d 1 7 . 5 . 3 . 2 W y z n a c z y s i B k r y t y c z n i w s p ó Bc z y n n i k d Bu g o [c i w y b o c z e n i o w e j , p r t a
p r z e g u b o w o p o d p a r t e g o o b c i |o n e g o o s i o w o d w o m a s i Ba m i [c i s k a j c y m i j a k n a r y s u n k u .
Z
Z
P
P
Y
X
l l
J y = J m i n
2 2
2
W p i e r w s z y m w y d a n i u p o d r c z n i k a b y B b Bd w r o z w i z a n i u t e g o p r z y k Ba d u .
2 3 8
A d a m B o d n a r : W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a Bó w . S t a t e c z n o [ o s i o w o [c i s k a n y c h p r t ó w p r o s t y c h
R o z w i z a n i e
P k r
w 1
w 2 ( x 2 ) w 2
w 1 ( x 1 )
B
A
´
H B
P k r X 1 X 2
l l
2 2
V A
V B
R e a k c j e w z d e f o r m o w a n y m p r c i e w s t a n i e r ó w n o w a g i o b o j t n e j w y w o Ba n e p o p r z e c z n y m
i m p u l s e m w y z n a c z o n e z w a r u n k ó w r ó w n o w a g i w y n o s z ( p a t r z r y s . w y |e j ) :
X = 0 ’! H = 2 P k r ,
" B
,
A
"M = 0 ’! V B = P k r ´
l
.
B
"M = 0 ’! V A = P k r ´
l
R ó w n a n i a m o m e n t ó w z g i n a j c y c h , r ó w n a n i a r ó |n i c z k o w e o s i w y b o c z o n e g o p r t a o r a z
o g ó l n a p o s t a i c h r o z w i z a n i a w d w ó c h p r z e d z i a Ba c h c h a r a k t e r y s t y c z n y m m a j f o r m :
l l
0 d" x 1 d" 0 d" x 2 d"
2 2
M 1 ( x 1 ) = P k r w 1 ( x 1 ) + P k r ´ x 1 , M ( x 2 ) = 2 P k r w 2 ( x 2 ) - V B x 2
2
2 2
d w 1 ( x 1 ) M 1 ( x 1 ) P k r w 1 ( x ) + V A x 1 d w 2 ( x 2 ) M ( x 2 ) 2 P k r w 2 ( x 2 ) - V B x 2
2
= - = - , = - = - ,
2 2
E J E J E J E J
d x 1 d x 2
m i n m i n m i n m i n
2 2
d w 1 ( x 1 ) V A d w 2 ( x 2 ) + k 2 ) = V B
2
+ k 1 w 1 ( x 1 ) = - x 1 w 2 ( x 2 x 2
2 2
E J E J
d x 1 d x 2
m i n m i n
w 1 ( x 1 ) = w 1 s ( x 1 ) + A 1 s i n k 1 x 1 + B 1 c o s k 1 x 1 w 2 ( x 2 ) = w 2 s ( x 2 ) + A 2 s i n k x 2 + B 2 c o s k x 2
V A V B
w 1 s ( x 1 ) = - x 1 w 2 s ( x 2 ) = x 2
P k r 2 P k r
P k r 2 2 P k r
2
g d z i e : k 1 = , k 2 = , w 1 s ( x 1 ) i w 2 s ( x 2 ) , c a Bk i s z c z e g ó l n e r ó w n a D n i e j e d n o r o d n y c h
E J m i n E J
m i n
a A 1 , B 1 , A 2 , i B 2 t o s t a Be c a Bk o w a n i a , k t ó r e n a l e |y w y z n a c z y z k i n e m a t y c z n y c h w a r u n k ó w
b r z e g o w y c h .
K i n e m a t y c z n e w a r u n k i b r z e g o w e w t y m z a d a n i u o p i s u j z a l e |n o [c i :
1 / w 1 ( 0 ) = 0 ’! B 1 = 0
2 / w 2 ( 0 ) = 0 ’! B 2 = 0
2 3 9
A d a m B o d n a r : W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a Bó w . S t a t e c z n o [ o s i o w o [c i s k a n y c h p r t ó w p r o s t y c h
i r ó w n a n i a z d e f o r m o w a n e j o s i p r t a w p o s z c z e g ó l n y c h p r z e d z i a Ba c h s n a s t p u j c e :
´ ´
w 1 ( x 1 ) = - x 1 + A 1 s i n k 1 x 1 , w 2 ( x 2 ) = x 2 + A 2 s i n k x 2 .
l 2 l
P o z o s t a Be d w i e s t a Be w y z n a c z a m y z w a r u n k ó w z s z y c i a :
3 / w 1 ( l 2 ) = w 2 ( l 2 ) = ´ ,
'
4 / w 1 ( l 2 ) = - w ' ( l 2 ) .
2
P o w y k o r z y s t a n i u d w ó c h p i e r w s z y c h , t r z e c i w a r u n e k d a j e z a l e |n o [c i :
3 ´ 1 3 ´ 1
A 1 = , A 2 = , ( a )
2 s i n ( k 1 l 2 ) 4 s i n ( k 2 l 2 )
a c z w a r t y r ó w n a n i e :
îø
´ ´
- + k 1 A 1 c o s ( k 1 l 2 ) = - ïø + k 2 A 2 c o s ( k 2 l 2 ) ùø ,
úø
l
ðø2 l ûø
k t ó r e p o w y k o r z y s t a n i u ( a ) i r e l a c j i k 2 = 2 k 1 o r a z p o d s t a w i e n i u µ = k 1 l 2 p r z y j m u j e p o s t a
3 2 1 3 1
( b )
2 t g ( µ ) 2 µ
t g ( 2 µ ) + - = 0
N u m e r y c z n e r o z w i z a n i e r ó w n a n i a ( b ) d a j e w y n i k :
µ = 1 . 2 7 8 3 .
A p o n i e w a |:
2 2
k 1 l
2
µ = , t o
4
2 2
4 µ 4 µ E J 6 . 5 3 6 2 E J
2 m i n m i n
k 1 = ’! P k r = = .
2 2 2
l l l
T e n o s t a t n i w y n i k m o |e m y z a p i s a w f o r m i e :
2
À E J
m i n
P k r = ,
( 1 . 2 2 9 l ) 2
z a t e m w s p ó Bc z y n n i k d Bu g o [c i w y b o c z e n i o w e j ± = 1 . 2 2 9 .
P r z y k Ba d 1 7 . 5 . 4 . W y z n a c z y s i B k r y t y c z n i w s p ó Bc z y n n i k d Bu g o [c i w y b o c z e n i o w e j
[c i s k a n e g o o s i o w o p r t a p r y z m a t y c z n e g o o b c i |o n e g o j a k n a r y s u n k u .
Z
Z
P
Y
X
J y = J m i n
l
R o z w i z a n i e
M o m e n t z g i n a j c y w w y b o c z o n y m p r c i e w y n o s i :
w ( x )
M B
P k r
w ( x )
B
P k r
A X
l
V B
V A
2 4 0
A d a m B o d n a r : W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a Bó w . S t a t e c z n o [ o s i o w o [c i s k a n y c h p r t ó w p r o s t y c h
M ( x ) = P k r w ( x ) - V A x .
R e a k c j a p i o n o w a V A j e s t k o n s e k w e n c j u t w i e r d z e n i a n a p o d p o r z e B w w y n i k u c z e g o
w y s t p u j e t a m m o m e n t z g i n a j c y ( m o m e n t u t w i e r d z e n i a ) .
Z a t e m :
P k r w ( x ) - V A x
2 2
w ( x ) = - .
E J m i n
K o l e j n e r ó |n i c z k o w a n i a t e g o r ó w n a n i a d a j :
2 2 2
P k r w ( x ) - V A P k r w ( x )
2 2 2
w ( x ) = - , w I V ( x ) = - .
E J m i n E J m i n
T o r ó w n a n i e r ó |n i c z k o w e c z w a r t e g o r z d u z a p i s z e m y w f o r m i e :
2
2 2
w I V ( x ) + k w ( x ) = 0 , ( a )
P k r
2
g d z i e : k = .
E J m i n
C a Bk o g ó l n r ó w n a n i a ( a ) m o |n a z a p i s a w p o s t a c i :
w ( x ) = C 1 + C 2 x + C 3 s i n k x + C 4 c o s k x .
S t a Be c a Bk o w a n i a w y z n a c z a m y z w a r u n k ó w b r z e g o w y c h :
1 / w ( 0 ) = 0 ’! C 1 + C 4 = 0 ’! C 1 = - C 4 ,
2 2
2 / w ( 0 ) = 0 ’! C 4 = 0 ,
3 / w ( l ) = 0 ’! C 2 l + C 3 s i n k l = 0 ,
2
4 / w ( l ) = 0 ’! C 2 + C 3 k c o s k l = 0 .
P e w n e g o o b j a [n i e n i a w y m a g a d r u g i k i n e m a t y c z n y w a r u n e k b r z e g o w y . J e g o s e n s f i z y c z n y ,
o z n a c z a j c y z e r o w a n i e s i m o m e n t u z g i n a j c e g o w p u n k c i e A ( p o d p o r a p r z e g u b o w o
p r z e s u w n a ) s t a j e s i o c z y w i s t y , j e [l i z a u w a |y m y , |e :
2 2
M ( x ) = - w ( x ) E J m i n
Z d w ó c h o s t a t n i c h w a r u n k ó w o t r z y m u j e m y r ó w n a n i e :
k l = t g k l ,
k t ó r e g o n a j m n i e j s z y d o d a t n i , r ó |n y o d z e r a p i e r w i a s t e k m a w a r t o [ k l = 4 . 4 9 3 4 .
T a k w i c :
4 . 4 9 3 4 2 E J m i n E J m i n
P k r = = 2 0 . 1 9 0 6 ,
2 2
l l
l u b i n a c z e j :
2 2
À E J m i n À E J m i n
P k r = H" .
( 0 . 6 9 9 2 * l ) 2 ( 0 . 7 l ) 2
W s p ó Bc z y n n i k d Bu g o [c i w y b o c z e n i o w e j d l a t a k i e g o p r t a w y n o s i ± = 0 . 7 .
2 4 1
A d a m B o d n a r : W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a Bó w . S t a t e c z n o [ o s i o w o [c i s k a n y c h p r t ó w p r o s t y c h
P r z y k Ba d 1 7 . 5 . 5 . W y z n a c z y s i B k r y t y c z n i w s p ó Bc z y n n i k d Bu g o [c i w y b o c z e n i o w e j
[c i s k a n e g o o s i o w o p r t a p r y z m a t y c z n e g o o b c i |o n e g o j a k n a r y s u n k u .
Z
Z
Y
P
X
J y = J m i n
l
R o z w i z a n i e
M o m e n t z g i n a j c y w w y b o c z o n y m p r c i e w y n o s i :
M B
w ( x )
P k r
P k r M A
w ( x )
A B
X
l
M ( x ) = P k r w ( x ) - M .
A
S t d r ó w n a n i e r ó |n i c z k o w e o s i w y b o c z o n e g o p r t a m a p o s t a :
M - P k r w ( x )
A
2 2
w ( x ) =
E J m i n
T a k j a k w p o p r z e d n i m p r z y k Ba d z i e , k o l e j n e r ó |n i c z k o w a n i a t e g o r ó w n a n i a d a j :
2 2 2
P k r w ( x ) P k r w ( x )
2 2 2
w ( x ) = - , w I V ( x ) = - ,
E J m i n E J m i n
2
2 2
w I V ( x ) + k w ( x ) = 0 , ( a )
P k r
2
g d z i e : k = .
E J m i n
C a Bk o g ó l n r ó w n a n i a ( a ) m o |n a z a p i s a w p o s t a c i :
w ( x ) = C 1 + C 2 x + C 3 s i n k x + C 4 c o s k x .
S t a Be c a Bk o w a n i a w y z n a c z y m y z w a r u n k ó w b r z e g o w y c h , a l e z a n i m j e s f o r m u Bu j e m y z w r ó m y
u w a g n a z a l e |n o [ m i d z y t r z e c i p o c h o d n u g i c i a i s i B p o p r z e c z n . W i e m y j u |, |e :
2 2
M ( x ) = - w ( x ) E J m i n ,
w i c p o o b u s t r o n n y m r ó |n i c z k o w a n i u o t r z y m a m y :
2 2 2 2
M ( x ) = - w ( x ) E J m i n ,
2 2 2 2
a l e M ( x ) = Q ( x ) , z a t e m Q ( x ) = - w ( x ) E J m i n .
I n d e k s m i n p r z y m o m e n c i e b e z w Ba d n o [c i w o g ó l n y m p r z y p a d k u z a l e |n o [c i r ó |n i c z k o w y c h
m i d z y m o m e n t e m z g i n a j c y m , s i B p o p r z e c z n i o d p o w i e d n i m i p o c h o d n y m i f u n k c j i u g i c i a
w i n i e n b y z a s t p i o n y i n d e k s e m w s k a z u j c y m o [ z g i n a n i a .
K i n e m a t y c z n e w a r u n k i b r z e g o w e w t y m p r c i e m a j p o s t a :
2 4 2
A d a m B o d n a r : W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a Bó w . S t a t e c z n o [ o s i o w o [c i s k a n y c h p r t ó w p r o s t y c h
1 / w ( 0 ) = 0 ’! C 1 + C 4 = 0 ,
2
2 / w ( 0 ) = 0 ’! C 2 + k C 3 = 0 ’! C 2 = - k C 3 ,
2
3 / w ( l ) = 0 ’! C 2 + k C 3 c o s k l - k C 4 s i n k l = 0 ,
3 3
2 2 2
4 / w ( l ) = 0 ’! - k C 3 c o s k l + k C 4 s i n k l = 0 .
C z w a r t y k i n e m a t y c z n y w a r u n e k b r z e g o w y m ó w i o z e r o w a n i u s i s i By p o p r z e c z n e j n a
p o d p o r z e B .
P o d s t a w i e n i e d o w a r u n k u t r z e c i e g o , C 2 = - k C 3 z w a r u n k u d r u g i e g o i C 4 = C 3 c o s k l s i n k l z
w a r u n k u c z w a r t e g o d a j e z a l e |n o [:
C 3 s i n k l = 0 .
S t a Ba c a Bk o w a n i a C 3 n i e m o |e b y r ó w n a z e r u b o w ó w c z a s z e r u j s i p o z o s t a Be s t a Be
c a Bk o w a n i a i w ( x ) = 0 , c o p r z e c z y z a Bo |o n e j k r z y w o l i n i o w e j f o r m i e w y b o c z o n e g o p r t a ,
w i c :
n À
s i n k l = 0 ’! k = , n = 1 , 2 , 3 , . . . .
l
N a j m n i e j s z y p i e r w i a s t e k t e g o r ó w n a n i a d a j e s i B k r y t y c z n o w a r t o [c i :
2
À E J m i n
P k r = , z k t ó r e j w y n i k a i | w s p ó Bc z y n n i k d Bu g o [c i w y b o c z e n i o w e j d l a t a k i e g o p r t a
2
l
± = 1 .
P r z y k Ba d 1 7 . 5 . 6 . O j a k w a r t o [ "T m u s i w z r o s n t e m p e r a t u r a o t o c z e n i a o b u s t r o n n i e
z a m o c o w a n e g o p r t a s t a l o w e g o , o d Bu g o [c i l = 1 2 m i p r z e k r o j u z Bo |o n e g o z d w ó c h
k t o w n i k ó w r ó w n o r a m i e n n y c h 1 5 0 * 1 5 0 * 1 2 , a b y u t r a c i B o n s w o j s t a t e c z n o [. S t a Be
m a t e r i a Bo w e p r t a w y n o s z : m o d u B Y o u n g a E = 2 0 5 G P a , g r a n i c a p r o p o r c j o n a l n o [c i R H = 2 0 0
M P a , w s p ó Bc z y n n i k r o z s z e r z a l n o [c i c i e p l n e j l i n i o w e j µT = 1 2 * 1 0 - 6 / o C .
Z 0
Z 0
Y 0
X
l = 1 2 m
S i Ba k r y t y c z n a d l a p r t a o b u s t r o n n i e z a m o c o w a n e g o p r a c u j c e g o w z a k r e s i e l i n i o w o
s p r |y s t y m m a w a r t o [:
2
À E J m i n
E
P k r = , g d z i e : l w = 0 . 5 l
2
l w
P o d w p By w e m p o d n i e s i e n i a t e m p e r a t u r y o "T p r t p o d p a r t y w s p o s ó b n i e s k r p o w a n y m o |e
s i w y d Bu |y o " l = µT "T l . P o n i e w a | p r t j e s t z a m o c o w a n y t o w y d Bu |e n i e r e d u k o w a n e j e s t
d o z e r a p r z e z [c i s k a j c s i B o s i o w P s p e Bn i a j c z a l e |n o [:
" l E A µT "T l E A
P = ’! P = .
l l
2 4 3
A d a m B o d n a r : W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a Bó w . S t a t e c z n o [ o s i o w o [c i s k a n y c h p r t ó w p r o s t y c h
Z p o r ó w n a n i a o b u t y c h s i B o t r z y m a m y k r y t y c z n w a r t o [ z m i a n y t e m p e r a t u r y o t o c z e n i a , p r z y
k t ó r e j p r t u t r a c i s w s t a t e c z n o [:
2 2
µT "T l E A À E J m i n À
= ’! "T = ,
2
l
l w µT »2
l w
g d z i e : » = .
i m i n
P o t r z e b u j e m y w y l i c z y m i n i m a l n y p r o m i e D b e z w Ba d n o [c i p r z e k r o j u .
Z t a b l i c p r o f i l i w a l c o w a n y c h o d c z y t u j e m y d a n e d l a j e d n e g o k t o w n i k a
·
¾
Z t a b l i c p r o f i l i w a l c o w a n y c h o d c z y t u j e m y
1 0 . 8 5
d a n e d l a j e d n e g o k t o w n i k a
w y m i a r y w c m
4 5 °
P o l e p r z e k r o j u : A = 3 4 . 9 c m 2 ,
4 . 1 5
g Bó w n e c e n t r a l n e m o m e n t y b e z w Ba d n o [c i :
J ¾ = 1 1 8 6 c m 4 , J · = 3 0 5 c m 4 .
1 0 . 8 5
4 . 1 5
Z
G Bó w n e c e n t r a l n e o s i e b e z w Ba d n o [c i p r z e k r o j u t e g o p r t a t o
Y
j e g o o s i e s y m e t r i i . M o m e n t y b e z w Ba d n o [c i w z g l d e m t y c h o s i
m a j w a r t o [:
J = 2 * J ¾ = 2 * 1 1 8 6 = 2 3 7 2 c m 4 ,
y
2
J = 2 [ J · + A ( 4 . 1 5 * 2 ) ] =
z
2
= 2 [ 3 0 5 + 3 4 . 9 ( 4 . 1 5 * 2 ) ] = 3 0 1 4 . 2 6 1 c m 4 .
M i n i m a l n y p r o m i e D b e z w Ba d n o [c i :
2 3 7 2
i m i n = i y = = 5 . 8 2 9 c m .
6 9 . 8
S m u k Bo [:
l w 0 . 5 * 1 2 0 0
» = = 1 0 2 . 9 3 4 .
i m i n 5 . 8 2 9
P o n i e w a | d o o b l i c z e D p r z y j t o s i B k r y t y c z n E u l e r a , n a l e |y s p r a w d z i c z y s m u k Bo [ p r t a
j e s t w i k s z a o d s m u k Bo [c i g r a n i c z n e j .
E 2 0 5 * 1 0 3
»g r = À = À = 1 0 0 . 5 8 , z a t e m » > »g r .
R H 2 0 0
Z m i a n a t e m p e r a t u r y o t o c z e n i a p o w o d u j c a u t r a t s t a t e c z n o [c i r o z w a |a n e g o p r t a w y n o s i :
2 2
À À
"T = = = 7 7 . 6 2 ° C .
µT »2 1 2 * 1 0 - 6 * 1 0 2 . 9 3 4 2
2 4 4
A d a m B o d n a r : W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a Bó w . S t a t e c z n o [ o s i o w o [c i s k a n y c h p r t ó w p r o s t y c h
J e [l i z m i e n i o n e z o s t a n w a r u n k i p o d p a r c i a p r t a z z a m o c o w a n y c h n a p r z e g u b o w e , t o
w ó w c z a s j e g o s m u k Bo [ b d z i e r ó w n a :
l w 1 * 1 2 0 0
» = = = 2 0 5 . 8 6 7 ,
i m i n 5 . 8 2 9
a k r y t y c z n a z m i a n a t e m p e r a t u r y b d z i e w y n o s i :
2 2
À À
"T = = = 1 9 . 4 1 ° C .
µT »2 1 2 * 1 0 - 6 * 2 0 5 . 8 6 7 2
1 7 . 6 . Z a s t o s o w a n i e m e t o d y e n e r g e t y c z n e j p r z y w y z n a c z a n i u s i By k r y t y c z n e j
R o z w i z a n i e z a g a d n i e n i a u t r a t y s t a t e c z n o [c i d r o g c a Bk o w a n i a r ó w n a n i a r ó |n i c z k o w e g o
k r z y w o l i n i o w e j p o s t a c i p r t a w b a r d z i e j z Bo |o n y c h p r z y p a d k a c h o b c i |e n i a c z y j e g o
g e o m e t r i i , c z s t o p r o w a d z i d o s k o m p l i k o w a n y c h r ó w n a D r ó |n i c z k o w y c h o z m i e n n y c h
w s p ó Bc z y n n i k a c h , k t ó r y c h r o z w i z a n i e w y m a g a z Bo |o n y c h m e t o d m a t e m a t y c z n y c h i b y w a
p r z y c z y n b r a k u z a m k n i t y c h r o z w i z a D a n a l i t y c z n y c h .
W t a k i c h p r z y p a d k a c h c h t n i e k o r z y s t a m y z m e t o d e n e r g e t y c z n y c h , u m o |l i w i a j c y c h s z y b k i e
o t r z y m a n i e p r z y b l i |o n e g o r o z w i z a n i a . D a l e j o m ó w i m y m e t o d T i m o s h e n k i - R i t z a
w y z n a c z a n i a s i By k r y t y c z n e j w y k o r z y s t u j c t w i e r d z e n i e o m i n i m u m c a Bk o w i t e j e n e r g i i
p o t e n c j a l n e j u k Ba d u . T w i e r d z e n i e t o m ó w i , |e : w p o Bo |e n i u r ó w n o w a g i s t a Be j c a Bk o w i t a
e n e r g i a p o t e n c j a l n a u k Ba d u z d e f i n i o w a n a w z o r e m :
= L w - L z , ( 1 7 . 2 1 )
g d z i e : L z - p r a c a s i B z e w n t r z n y c h , L w - p r a c a s i B w e w n t r z n y c h , o s i g a m i n i m u m .
W e w s p o m n i a n e j m e t o d z i e z a k Ba d a m y r ó w n a n i e o d k s z t a Bc o n e j o s i p r t a o d p o w i a d a j c e
k i n e m a t y c z n y m i s t a t y c z n y m w a r u n k o m b r z e g o w y m :
n
w ( x ) = f m ( x ) , ( 1 7 . 2 2 )
"C m
m = 1
i d a l e j n a p o d s t a w i e z a Bo |o n e g o r ó w n a n i a o d k s z t a Bc o n e j o s i p r t a o b l i c z a m y p r a c s i B
z e w n t r z n y c h o r a z p r a c s i B w e w n t r z n y c h , a n a s t p n i e r o z p i s u j e m y u k Ba d r ó w n a D
"
= 0 . ( 1 7 . 2 3 )
" C m
O t r z y m a n y w t e n s p o s ó b u k Ba d r ó w n a D ( 1 7 . 2 3 ) j e s t u k Ba d e m r ó w n a D l i n i o w y c h j e d n o r o d n y c h
z e w z g l d u n a w s p ó Bc z y n n i k i C m . Z p r z y r ó w n a n i a d o z e r a w y z n a c z n i k a t e g o u k Ba d u
w y z n a c z a m y p r z y b l i |o n w a r t o [ s i By k r y t y c z n e j .
U z y s k a n a t m e t o d s i Ba k r y t y c z n a m a w a r t o [ z a w s z e w i k s z a o d d o k Ba d n e j , i t y m b l i |s z
d o k Ba d n e j i m b l i |s z r z e c z y w i s t e j j e s t z a Bo |o n a p o s t a u g i t e j o s i p r t a w s t a n i e
k r z y w o l i n i o w e j r ó w n o w a g i .
J e |e l i w m i e j s c e s k o Dc z o n e g o s z e r e g u f u n k c j i ( 1 7 . 2 2 ) p r z y j m i e m y , |e z d e f o r m o w a n o [
o p i s u j e j e d n a f u n k c j a :
w ( x ) = C f ( x ) ,
t o w m i e j s c e u k Ba d u r ó w n a D ( 1 7 . 2 3 ) o t r z y m u j e m y j e d n o r ó w n a n i e z k t ó r e g o w y z n a c z a m y s i B
k r y t y c z n p r o s t y m w z o r e m z a w i e r a j c y m p i e r w s z i d r u g p o c h o d n f u n k c j i f ( x ) . W c e l u
j e g o w y p r o w a d z e n i a r o z w a |m y p r t p o k a z a n y n i |e j n a r y s .
2 4 5
A d a m B o d n a r : W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a Bó w . S t a t e c z n o [ o s i o w o [c i s k a n y c h p r t ó w p r o s t y c h
d u
±
w ( x )
X
d x
u
Z
Y
P P
X
J y = J m i n
l
P r a c a s i B w e w n t r z n y c h , k t ó r a r ó w n a s i e n e r g i i s p r |y s t e j u k Ba d u , p r z y p o m i n i c i u w p By w u
s i B p o d Bu |n y c h w y n o s i :
2
l
M ( x )
y
L w = U = d x .
+"
2 E J
y
0
U w z g l d n i a j c , z w i z e k r ó |n i c z k o w y m i d z y m o m e n t e m z g i n a j c y m i d r u g p o c h o d n l i n i i
u g i c i a M = - E J w ' ' ( x ) , o t r z y m u j e m y :
y y
l 2 l l
M ( x ) E J E J
y y y
2 2 ' ' 2
L w = U = d x = [ w ' ' ( x ) ] d x = C [ f ( x ) ] d x .
+" +" +"
2 E J 2 2
y
0 0 0
A b y o b l i c z y p r a c s i B z e w n t r z n y c h p o t r z e b u j e m y w y z n a c z y p o z i o m e p r z e m i e s z c z e n i a u .
W y l i c z y m y j e j a k o r ó |n i c m i d z y d Bu g o [c i p i e r w o t n l a r z u t e m z d e f o r m o w a n e j o s i p r t a
n a o [ X .
Z r y s u n k u p o k a z a n e g o w y |e j , Ba t w o o b l i c z y m y z a l e |n o [ m i d z y d o w o l n i e m a By m o d c i n k i e m
p r t a d x i d o w o l n i e m a By m p r z e m i e s z c z e n i e j e g o k o Dc a d u :
d u = d x ( 1 - c o s ±) .
P o n i e w a | k t ± j e s t m a By t o : ± H" s i n ± H" t g ± = w ' ( x ) i k o l e j n o p r z e k s z t a Bc e n i a d a j :
2 2
± ± ëø öø ëø öø
1 1 1
2 2
( 1 - c o s ±) = 2 s i n 2 H" 2 t g H" 2 ± ÷ø ìø ÷ø
H" 2 t g ± = [ w ' ( x ) ]
ìø
2 2 2 2 2
íø øø íø øø
S t d c a Bk o w i t e p r z e m i e s z c z e n i e u w y n o s i :
l l l
2
1 C
2 ' 2
u = c o s ±) d x = [ w ' ( x ) ] d x = [ f ( x ) ] d x , i
+"( 1 - +" +"
2 2
0 0 0
i p r a c a s i B z e w n t r z n y c h j e s t r ó w n a :
l
2
C
' 2
L = P u = P [ f ( x ) ] d x .
z
+"
2
0
C a Bk o w i t a e n e r g i a p o t e n c j a l n a a n a l i z o w a n e g o p r t a j e s t r ó w n a :
l l
2
E J
C
y
2 ' ' 2 ' 2
= L w - L = U = C [ f ( x ) ] d x - P [ f ( x ) ] d x ,
z
+" +"
2 2
0 0
i p r z y r ó w n a n i e d o z e r a j e j p o c h o d n e j w z g l d e m s t a Be g o w s p ó Bc z y n n i k a C d a j e r ó w n a n i e
2 4 6
A d a m B o d n a r : W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a Bó w . S t a t e c z n o [ o s i o w o [c i s k a n y c h p r t ó w p r o s t y c h
l l
d
' ' 2 ' 2
= C E J [ f ( x ) ] d x - P C [ f ( x ) ] d x = 0 ,
y
+" +"
d C
0 0
z k t ó r e g o o t r z y m u j e m y p o s z u k i w a n y w z ó r n a s i B k r y t y c z n :
l
2
' '
E J [ f ( x ) ] d x
m i n
+"
0
P k r = . ( 1 7 . 2 4 )
l
+"[ f ' ( x ) ] 2 d x
0
1 7 . 6 . 1 . P r z y k Ba d y
P r z y k Ba d 1 7 . 6 . 1 . 1 . W y z n a c z y s i B k r y t y c z n i w s p ó Bc z y n n i k d Bu g o [c i w y b o c z e n i o w e j , p r t a
p r z e g u b o w o p o d p a r t e g o o b c i |o n e g o o s i o w o d w o m a s i Ba m i [c i s k a j c y m i j a k n a r y s u n k u .
Z
Z
P
P
Y
X
l l
J y = J m i n
2 2
Z a k Ba d a m y r ó w n a n i e o d k s z t a Bc o n e j o s i p r t a w p o s t a c i :
Àx
w ( x ) = C s i n , ( a )
l
k t ó r e s p e Bn i a k i n e m a t y c z n e w a r u n k i b r z e g o w e - z e r o w a n i e s i u g i c i a n a p o d p o r a c h o r a z
s t a t y c z n e w a r u n k i b r z e g o w e - z e r o w a n i e s i t a m m o m e n t ó w z g i n a j c y c h .
u 2
w P
u
P
X
l l
2 2
P r a c a s i B w e w n t r z n y c h w y n o s i :
l 2 l l
4 4
M ( x ) E J E J E J
À Àx À
y y y y
2 2 2 2
L w = U = d x = [ w ' ' ( x ) ] d x = C C
+" +" +"s i n d x =
4 3
2 E J 2 2 l 4
l l
y
0 0 0
P r z e m i e s z c z e n i e p u n k t u p r z y Bo |e n i a s i By n a l e w e j p o d p o r z e j e s t r ó w n e :
l l
2 2
1 À À x À
2 2 2 2
u = [ w ' ( x ) ] d x = C
+" +"c o s d x = C ,
2
2 l 4 l
2 l
0 0
s t d c a Bk o w i t a p r a c a s i B z e w n t r z n y c h w y n o s i :
2 4 7
A d a m B o d n a r : W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a Bó w . S t a t e c z n o [ o s i o w o [c i s k a n y c h p r t ó w p r o s t y c h
2
u 3 À
2
L z = P u + P = P C .
2 8 l
C a Bk o w i t a e n e r g i a p o t e n c j a l n a a n a l i z o w a n e g o p r t a j e s t r ó w n a :
4 2
À 3 À
2 2
= L w - L z = E J C 1 - P C 1 , i p r z y r ó w n a n i e d o z e r a j e j p o c h o d n e j w z g l d e m
y
8 l
4 l 3
w s p ó Bc z y n n i k a C d a j e r ó w n a n i e :
4 2
E J
d À 3 À
y
= C - P C = 0 ,
d C 2 4 l
l 3
z k t ó r e g o w y z n a c z a m y p o s z u k i w a n e w a r t o [c i s i By k r y t y c z n e j i w s p ó Bc z y n n i k a d Bu g o [c i
w y b o c z e n i o w e j
2 2
À E J À E J
2
m i n m i n
P k r = = .
2
3
l ( 1 . 2 2 5 l ) 2
S i Ba k r y t y c z n a d l a t e g o p r t a o t r z y m a n a m e t o d c a Bk o w a n i a r ó w n a n i a r ó |n i c z k o w e g o ( p a t r z
p r z y k Ba d 1 7 . 5 . 3 ) w y n i o s Ba
2
6 . 5 3 6 2 E J À E J
m i n m i n
P k r = = ,
2
l ( 1 . 2 2 9 l ) 2
s t d b Bd r o z w i z a n i a m e t o d e n e r g e t y c z n w y n o s i 0 . 6 7 % .
P o l i c z m y p o n o w n i e t o z a d a n i e p r z y z a Bo |o n y m i n n y m r ó w n a n i u o d k s z t a Bc o n e j o s i p r t a .
P r z y j m i j m y t e r a z r ó w n a n i e w f o r m i e :
C
w ( x ) = x ( l - x ) , ( b )
2
l
k t ó r e s p e Bn i a k i n e m a t y c z n e w a r u n k i b r z e g o w e a l e n i e d a j e z e r o w a n i a s i m o m e n t ó w
z g i n a j c y c h n a p o d p o r a c h b o :
C 2 C
w ' ( x ) = ( l - 2 x ) , w ' ' ( x ) = - , i d r u g a p o c h o d n a j e s t r ó |n a o d z e r a . Z a t e m r ó w n a n i e ( b )
2 2
l l
j e s t g o r s z e o d r ó w n a n i a ( a ) i z o b a c z y m y j a k i t o b d z i e m i a Bo w p By w n a w a r t o [ s i By
k r y t y c z n e j .
K o l e j n o o b l i c z a m y :
2 C
m o m e n t z g i n a j c y : M = - E J w ' ' ( x ) = E J ,
y y y
2
l
l 2 l
M ( x ) 2 E J 2 E J
y y y
2 2
p r a c s i B w e w n t r z n y c h : L w = U = d x = C = C ,
+" +"d x
4
2 E J
l l 3
y
0 0
l l
2 2
1 C C
2 2
p r z e m i e s z c z e n i e l e w e j p o d p o r y : u = [ w ' ( x ) ] d x = ,
+" +"( l - 2 x ) d x =
4
2 6 l
2 l
0 0
2 4 8
A d a m B o d n a r : W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a Bó w . S t a t e c z n o [ o s i o w o [c i s k a n y c h p r t ó w p r o s t y c h
2
u 3 C
p r a c s i B z e w n t r z n y c h : L z = P u + P = P u = P ,
2 2 4 l
2
2 E J
C
y
2
c a Bk o w i t e n e r g i p o t e n c j a l n p r t a : = L w - L z = C - P ,
4 l
l 3
a b y z z e r o w a n i a s i j e j p o c h o d n e j :
8 E J
d P
y
= C - C - = 0 , w y z n a c z y s i B k r y t y c z n :
d C l
l 3
2
8 E J À E J
m i n m i n
P k r = = .
2
l ( 1 . 1 1 1 l ) 2
T y m r a z e m b Bd r o z w i z a n i a m e t o d e n e r g e t y c z n w y n o s i 1 8 . 3 0 % .
P r z y k Ba d 1 7 . 6 . 1 . 2 . W y z n a c z y s i B k r y t y c z n , p r t a p r z e g u b o w o p o d p a r t e g o , o s k o k o w o
z m i e n n y m m o m e n c i e b e z w Ba d n o [c i o b c i |o n e g o o s i o w o d w o m a s i Ba m i [c i s k a j c y m i j a k n a
r y s u n k u .
Z
Z
P
P
J y Y
2 J y
X
l l
J y = J m i n
2 2
Z a k Ba d a m y r ó w n a n i e o d k s z t a Bc o n e j o s i p r t a w p o s t a c i :
Àx
w ( x ) = C s i n .
l
R ó w n a n i e m o m e n t ó w z g i n a j c y c h p r z y j m u j e f o r m :
2
À Àx
M = - E J w ' ' ( x ) = C E J s i n ,
y y y
2
l
l
p r a c s i B w e w n t r z n y c h j e s t r ó w n a :
l 2 l
4 4 4 4
E J 2 E J E J 2 E J
À Àx À Àx À l À l
y y y y
2 2 2 2 2 2
L w = C
+"s i n d x + C +"s i n d x = C + C =
4 4 4 4
2 l 2 l 2 4 2 4
l l l l
0 l 2
.
4
À E J
3
y
2
= C
8
l 3
P r z e m i e s z c z e n i a z e w n t r z n y c h s i B [c i s k a j c y c h j a k i p r a c a t y c h s i B s t a k i e s a m e j a k w
p r z y k Ba d z i e 1 7 . 6 . 1 . 1 .
2
u 3 À
2
L z = P u + P = P C .
2 8 l
S t d c a Bk o w i t a e n e r g i a p o t e n c j a l n a a n a l i z o w a n e g o p r t a w y n o s i :
2 4 9
A d a m B o d n a r : W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a Bó w . S t a t e c z n o [ o s i o w o [c i s k a n y c h p r t ó w p r o s t y c h
4
2
À E J
3 3 À
y
2 2
= L w - L z = C - P C .
3
8 8 l
l
Z p r z y r ó w n a n i e d o z e r a j e j p o c h o d n e j w z g l d e m s t a Be g o w s p ó Bc z y n n i k a C o t r z y m u j e m y :
2
À E J
m i n
P k r = .
2
l
X
P r z y k Ba d 1 7 . 6 . 1 . 3 .
W y z n a c z y k r y t y c z n w a r t o [ o b c i |e n i a p r t a
Z
w s p o r n i k o w e g o , j a k n a r y s u n k u o b o k , o
l
J y = J m i n
p r z e k r o j u A o b c i |o n e g o t y l k o c i |a r e m
w Ba s n y m ³ .
Y
Z
M a m y t u t a j d o c z y n i e n i a z z a g a d n i e n i e m u t r a t y s t a t e c z n o [c i p r t a [c i s k a n e g o o s i o w o
o b c i |e n i e m c i g By m q = ³ A r ó w n o m i e r n i e r o z Bo |o n y m w z d Bu | j e g o o s i .
M o m e n t z g i n a j c y w d o w o l n y m p r z e k r o j u p r t a
X
p r z y z d e f o r m o w a n e j j e g o o s i ( p a t r z r y s . o b o k )
·( ¾ )
w y n o s i :
w ( x ) q
l
M ( x ) =
y
+"q [ ·( ¾) - w ( x ) ] d ¾ , g d z i e : q = ³ A .
¾
l
x
x
l
R ó w n a n i e r ó |n i c z k o w e u g i t e j o s i p r t a m a p o s t a :
l
2
w
d w ( x )
E J = ) - w ( x ) ] d ¾ .
y
+"q [ ·( ¾
d x 2
x
P o w y |s z e r ó w n a n i e r ó |n i c z k o w e o z m i e n n y c h w s p ó Bc z y n n i k a c h m o |n a r o z w i z a s t o s u j c
n i e s k o Dc z o n e s z e r e g i o t r z y m u j c ( p a t r z n p . S . P . T i m o s h e n k o , R . G e r e : T e o r i a s t a t e c z n o [c i
s p r |y s t e j . A r k a d y , W a r s z a w a 1 9 6 3 ) w w y n i k u :
2
7 . 8 3 7 E J m i n À E J m i n
( q l ) = = . ( c )
k r
2
l 2 ( 1 . 1 2 2 l )
T e r a z p r z y k Ba d t e n r o z w i |e m y s t o s u j c m e t o d e n e r g e t y c z n .
P r z y j m i j m y l i n i u g i c i a w p o s t a c i :
ëø öø
Àx
ìø ÷ø
w ( x ) = C - c o s , k t ó r a s p e Bn i a k i n e m a t y c z n e w a r u n k i b r z e g o w e ( z e r o w a n i e s i u g i c i a i
ìø1 ÷ø
2 l
íø øø
k t a u g i c i a w u t w i e r d z e n i u ) .
P r z y p r z y j t e j f o r m i e l i n i i u g i c i a m o m e n t z g i n a j c y o k r e [l a z a l e |n o [:
2 5 0
A d a m B o d n a r : W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a Bó w . S t a t e c z n o [ o s i o w o [c i s k a n y c h p r t ó w p r o s t y c h
l l l
ëø À ¾ öø ëø 2 l À ¾ öø
l
M ( x ) =
y x
ìø ÷ø ìø ÷ø
+"q [ ·( ¾) - w ( x ) ] d ¾ = q C +"ìø1 - c o s ÷ø d ¾ - q +"w ( x ) d ¾ = q C ìø¾ - s i n ÷ø -
2 l À 2 l
íø øø íø øø
x x x
îø ùø
2 l ëø À x öø À x öø
l
- q w ( x ) ¾ = q C ( l - x ) - ìø - s i n - q C ( l - x ) ëø1 - c o s =
1 ÷øúø ìø ÷ø
ïø
x
ìø ÷ø ìø ÷ø
À 2 l 2 l
íø øø íø øø
ðø ûø
îø ùø
À x 2 l ëø À x öø
= q C ( l - x ) c o s - ìø - s i n ÷øúø
1
ïø
ìø ÷ø
2 l À 2 l
íø øø
ðø ûø
s t d p r a c a s i B w e w n t r z n y c h ( r ó w n a e n e r g i i s p r |y s t e j ) w y n o s i :
l 2
M ( x )
q 2 l 3 1 9 3 2
y ëø öø
2
L w = U = d x = C ìø + - ÷ø .
+"
2 3
2 E J 2 E J 6
íø À À øø
y y
0
P r a c a w y k o n a n a p r z e z c i g l e r o z Bo |o n e o b c i |e n i e o s i o w e w y n o s i ( p a t r z w y r a |e n i e n a
p i o n o w e p r z e m i e s z c z e n i e p u n k t ó w o s i p r t a w y w o Ba n e z a Bo |o n j e j d e f o r m a c j p o d a n e w
p r z y k Ba d z i e 1 7 . 6 . 1 . 1 . ) :
l l
2 2
q À À x q À 1 1
ëø öø
2 2 2
L z = - x ) 1 [ w ' ( x ) ] d x = C - x ) s i n 2 d x = C - ÷ø .
ìø
+"q ( l +"( l
2 2
2 2 l 8 4
8 l íø øø
À
0 0
O t r z y m a n i e p o w y |s z e w y n i k u w y m a g a w y k o n a n i a d o [ |m u d n y c h c a Bk o w a D.
C a Bk o w i t a e n e r g i a p o t e n c j a l n a z d e f o r m o w a n e g o p r t a j e s t r ó w n a :
2
q 2 l 3 1 9 3 2 q À 1 1
ëø öø ëø öø
2 2
= L w - L z = C + - ÷ø - C - ÷ø
.
ìø ìø
2 3 2
2 E J 6 8 4
íø À À øø íø À øø
y
P r z y r ó w n u j c d o z e r a j e j p o c h o d n w z g l d e m C o t r z y m u j e m y :
2
" q 2 l 3 1 9 3 2 q À 1 1
ëø öø ëø öø
= C + - ÷ø - C - ÷ø
= 0 .
ìø ìø
2 3 2
" C E J 6 4 4
íø À À øø íø À øø
y
S t d k r y t y c z n a w a r t o [ c i |a r u p r t a w y n o s i :
2
7 . 8 6 9 E J m i n À E J m i n
( q l ) = = . ( d )
k r
2 2
l ( 1 . 1 2 0 l )
P o r ó w n a n i e z a l e |n o [c i ( c ) i ( d ) p o k a z u j e , |e b Bd m i d z y r o z w i z a n i e m o t r z y m a n y m d r o g
c a Bk o w a n i a r ó w n a n i a r ó |n i c z k o w e g o a m e t o d e n e r g e t y c z n j e s t z n i k o m y i w y n o s i o k o Bo
0 . 4 1 % .
P o l i c z m y k r y t y c z n a w y s o k o [ w s p o r n i k o w e g o p r t a p r z y j m u j c , |e w y k o n a n y z o s t a B z e s t a l i
o m o d u l e Y o u n g a E = 2 0 5 G P a i c i |a r z e w Ba s n y m ³ = 7 8 . 5 0 k N / m 3 , a j e g o p r z e k r ó j
p o p r z e c z n y j e s t k w a d r a t o w y o b o k u 1 c m . A b y j w y z n a c z y p r z e k s z t a Bc a m y z a l e |n o [ ( c )
o t r z y m u j c :
2
7 . 8 3 7 E J 7 . 8 3 7 E J 7 . 8 3 7 E J 7 . 8 3 7 E i m i n
m i n 3 m i n 3 m i n 3
( q l ) k r = ’! l k r = ’! l k r = ’! l k r = .
2
q ³ A ³
l
W s t a w i e n i e w a r t o [c i s t a By c h m a t e r i a Bo w y c h i w y m i a r ó w p r z e k r o j u d a j e :
2 5 1
A d a m B o d n a r : W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a Bó w . S t a t e c z n o [ o s i o w o [c i s k a n y c h p r t ó w p r o s t y c h
7 . 8 3 7 * 2 0 5 * 1 0 9 * 1 0 - 4
3
l k r = ’! l k r = 5 . 5 4 6 m .
7 8 . 5 0 * 1 0 3 * 1 2
P r z y t o c z o n y n a p o c z t k u t e g o r o z d z i a Bu w a r u n e k n o [n o [c i w p o s t a c i n i e p r z e k r o c z e n i a
w y t r z y m a Bo [c i o b l i c z e n i o w e j p r z y [c i s k a n i u d a B d o p u s z c z a l n w y s o k o [ t a k i e g o p r t a r ó w n
2 . 7 3 9 * 1 0 3 m . P o k a z u j e t o , j a k w t y m p r z y p a d k u d e c y d u j c e z n a c z e n i e n a n o [n o [ k o n s t r u k c j i
m a z j a w i s k o u t r a t y s t a t e c z n o [c i .
2 5 2
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