1243774079

Analiza matematyczna 2

Egzamin poprawkowy,! czerwiec 2005

Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się egzamin, nazwę egzaminu (podstawowy, poprawkowy) swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok, imiona i nazwiska wykładowcy oraz osoby prowadzącej ćwiczenia, datę, a także narysować poniższą tabelkę. Ponadto proszę ponumerować, podpisać i spiąć zszywaczem wszystkie kartki pracy.

K2	1	2	3	4	5	6	Suma
K2

Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie n-tego zadania należy napisać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 120 min., za rozwiązanie każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach zadań należy dokładnie opisywać przebieg rozumowania tzn.: formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia !

ZADANIA

1. Obliczyć współrzędne środka masy jednorodnej bryły ograniczonej powierzchniami z — 1, z =|/r² + y².

2. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi

* x = 5 -y², x — [y - l)².

3. Zbadać czy funkcja

f{x,y) = -i² - 2x + 3y² - 6y

posiada ekstrema lokalne. Sformułować warunek wystarczający do tego, aby w punkcie stacjonarnym (x₀₎ yo) funkcja /(x, y) posiadała minimum lokalne właściwe.

4. Obliczyć pochodną kierunkową funkcji f(x,y) = in{xe^xy) w punkcie

y/3 1

(x_0l y_u) (1, -2) w kierunku wersora v = [——, —]- Wyznaczyć taki węrsor

v_i aby dla podanej funkcji pochodna kierunkowa ^(1, -2) miała wartość największą.

5. Wyznaczyć szereg MacLaurina funkcji

x³ -ł- 8

Określić przedział zbieżności tego szeregu oraz podać wartość /⁽³¹⁾(0).

6. Obliczyć całkę niewłaściwą

J x²e~^x3 dx. o