6830718831
Twierdzenie 7.4 (Istnienie i jednoznaczność rozwiązań)
Jeżeli funkcje no, ói,..., an-i,q są ciągle na przedziale (a, b) oraz
xo £ (a. b). in £ 7v. to zagadnienie początkowe (Ln) (WLn) ma dokładnie jedno rozwiązanie. Rozwiązanie to określone jest na przedziale (a, b).
Przykład 7.11 Uzasadnić, że jedynym rozwiązaniem zagadnienia Cauchy 'ego: y(n) -1=0, y{k){0) = ck, k = 0,1,... ,n - 1
jest wielomian y{x) = ffr +
Ort — 1 X
+
Cn-ąg'
(n—2)1
4 . ..+ClX + Co.
7.5 Równania różniczkowe liniowe jednorodne Definicja 7.8
Równaniem różniczkowym liniowym jednorodnym, nazywamy równanie (Ln) jeśli funkcja q(x) = 0. Równanie to oznaczymy (LJn).
y{n'> + a„-i(r)y/"_J) 4- an_2(x) y(r'~2) + ... 4- a0(x) y = 0 (U„)
Twierdzenie 7.5
Rozwiązania równania (LJn) tworzą przestrzeń liniową.
Dowód:
Niech, funkcje <f>\, tfo spełniają równanie (LJ„). Wystarczy pokazać, że dla dowolnych stałych q, fi G V- funkcja o ói(x) + /? (j)2{x) również spełnia równanie (LJ„):
(&4ifa)+-042&))W + an-i(x)(a<ki(x)+fi<ki(x))^n~1)+--- + a0(!x){a<j>i(x)+l3fote:)) =
Q‘(<Pl(x))(n) -f Ón_i(x) ói(.r))(r,-1) 4 ... + Oq(x) d>i(x))+
+(3 (Ó2(x))(n> 4- a„-i (x) Ó2(x)(r,-1) 4-... 4- ao(x) tfz(aj)) = 0
Wykazaliśmy, że kombinacja liniowa dowolnych dwóch rozwiązań równania (LJ„) jest również rozwiązaniem tego równania.
Uwaga 7.3 Zbiór funkcji, określonych na wspólnej dziedzinie jest przestrzenią liniową. Funkcje będące rozwiązaniami równania (L.Jn) tworzą podprzestrzeń.
Przypomnijmy definicję liniowej niezależności, i zależności elementów przestrzeni, liniowej (wektorów):
Definicja 7.9 (Liniowa zależność i niezależność funkcji)
Funkcje g\, y2.....gn S(l liniowo niezależne, jeżeli z tożsamości.
rti gi(x) + 02 Q2(x) 4 ... + an9n(x) = 0 na przedziale (a. b)
wynikają równości:
Ol = 02 = • • • = Ofn = 0
Jeżeli istnieją liczby rzeczywiste oą, ag, ...,a„, o2 4 o2 4 .... a2 > 0 takie, że ati fji(x) 4 0*2.92(x) 4 .• •.o,ign{%) = 0 to funkcje gi,g2,...,gn nazywamy liniowo zależnymi.
51
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Matematyka 2 9 278 IV Równania róiniczkon? rwyx;ajne Niżej podajemy twierdzenie o istnieniu i jed
skanowanie5 (3) Lista szósta 2-1. Korzystając * twierdzenia o istnieniu J jednoznecznosa dla równań
Skrypt) II. Obliczanie pochodnych. Twierdzenie 3.1 (o różniczkowaniu działań arytmetycznych) Jeżeli
sciaga8 Twierdzenie* 5.1.17 (Cauchy ego) Jeżeli funkcje / i g spełniają warunki: 1. &nbs
EGZAMIN Z ALGEBRY (3 KOI .2002) 1. Zbadaj istnienie i jednoznaczność rozwiązań ukł
6-2 Skompilował Janusz Mierczyński6.2 Twierdzenia o istnieniu, jednoznaczności iprzedłużaniu
Jeżeli funkcje f i 9 spełniają warunki L są ciągłe na 2 maja pochodne w (ci,b) t 3. g (x)
Jeżeli funkcje f i 9 spełniają warunki L są ciągłe na 2 maja pochodne w (a,b), 3. g(*) * 0 dla
64 (30) Twierdzenie 1. (Picarda o istnieniu i jednoznacznościrozwiązania zagadnienia Cauchy’ego) Jeż
sciaga10 Twierdzenie 6.3.7 (II warunek wystarczający istnienia punktu przcyi(Cia) Jeżeli funkcja / s
sciaga9 Twierdzenie 6.1.7 (Fermata , warunek konieczny istnienia ekstremum) Jeżeli funkcja / ma 1.
img080 80 Zatem pytania o istnienie i jednoznaczność funkcji interpolującej i sprowadza się do tego,
Rozdział 1. Teoria popytu Twierdzenie 1.7. Jeżeli funkcja u jest klasy C2 i macierz &nbs
MATEMATYKA127 244 V. Całka oznaczona TWIERDZENIE l.l (warunek konieczny calkowalności). Jeżeli f jes
więcej podobnych podstron