Mnożenie macierzy, macierz, odwrotna, rząd macierzy

Jeżeli A = [ay] jest mxn macierzą, a B = [by] jest nxp macierzą to iloczyn AB = C =[cy] jest mxp macierzą,

11

zdefiniowaną następująco: c_tJ = ^\a_ikb^

k= i

Załóżmy, że macierz A jest macierzą kwadratową o wyznaczniku różnym od zera.

Macierzą odwrotną do macierzy A (ozn. A"¹) stopnia n nazywamy taką macierz kwadratową stopnia n, że AA'¹ = A'¹ A = I_n (In - macierz jednostkowa stopnia n). Macierze dla których istnieje macierz odwrotna nazywamy odwracalnymi.

Macierz odwrotną do macierzy A = [ay] można obliczyć następującą metodą:

1.    Liczymy detA. Aby istniała macierz odwrotna wyznacznik ten musi być różny od zera.

2.    Obliczamy tzw. macierz kofalctorową, zdefiniowaną następująco:    cofA = C = [ (-1 )'^+j det Ag ]

3.    Macierz odwrotna jest dana wzorem A'¹ = ( detA j'¹ C^T

Metoda ta jest dobra dla macierzy co najwyżej trzeciego stopnia. Dla macierzy wyższych stopni jest zbyt rachunkowa. Możemy wtedy znaleźć macierz odwrotną do macierzy A stopnia n w następujący sposób. Dopisujemy do macierzy A macierz jednostkową tego samego stopnia. Tworzymy więc macierz o n wierszach i 2n kolumnach. Następme na wierszach tej powiększonej macierzy dokonujemy operacji następującego typu:

. I.    do dowolnego wiersza można dodać inny wiersz pomnożony przez liczbę

. II.    dowolny wiersz można pomnożyć przez liczbę różną od zera

. III. można przestawiać wiersze

Celem powyższych operacji jest otrzymanie po lewej stronie tej powiększonej macierzy - macierzy jednostkowej. Macierz po prawej stronie będzie wtedy macierzą odwrotną.

Minorem macierzy A = [ ay ] 1 < i < m, 1< j < n nazywamy każdy wyznacznik macierzy kwadratowej powstałej z macierzy A przez skreślenie z niej pewnej ilości wierszy i kolumn.

Rzędem macierzy A (ozn. rz(A)) nazywamy taką hczbę r, że wszystkie minory macierzy A stopnia większego mż r (jeżeli istnieją) są równe zeru i istmeje co najmniej jeden minor stopnia r różny od zera.

Rząd macierzy nie ulegnie zmianie jeśli na wierszach (lub kolumnach) wykonamy operacje I - III

a)

1)    Znaleźć iloczyny macierzy:

[1 -2 1]

a)

2)    Znaleźć macierze odwrotne do danych

3) Znaleźć macierz X spełniającą równanie:

4) Znaleźć rzędy następujących macierzy: