2659241286
Wykład 4
23.10.2007
Niech r będzie liczbą naturalną większą od 1, d liczbą naturalną, G dowolnym niepustym podzbiorem R1', zaś p, q punktami Rr.
Twierdzenie 4.1 Niech G będzie zbiorem otwartym w £T, p punktem G, zaś f: G —» Rd dowolnym odwzorowaniem.
Funkcja f jest różniczkowalna w punkcie p wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją przekształcenie liniowe L e L(Rr,Rd), dodatnia liczba e i odwzorowanie r: 13(0, e) —» Rd takie, że dla dowolnego wektora h z B(0, e) zachodzi równość }(p + h) = /(p) + Lh + ||h||r(h) i r(0) = 0 oraz funkcja r jest ciągła w O.1
Twierdzenie 4.2 (o pochodnej funkcji odwrotnej) Niech G będzie zbiorem otwartym w £r, p punktem G, zaś f:G—* Rr dowolnym odwzorowaniem.
Jeżeli odwzorowanie f jest różnowartościowe na G i różniczkowalne w punkcie p, f(G) jest zbiorem otwartym w £r, pochodna odwzorowania f w punkcie p jest izomorfizmem oraz odwzorowanie odwrotne f~l: f(G) —> Rr jest ciągle w punkcie /(p), to wtedy /“1 jest różniczkowalne w punkcie /(p) i zachodzi równość
(/“ 1)'(/(P)) = (/'(P))-1-
Twierdzenie 4.3 (Lagrange’a o wartości średniej) Niech G będzie zbiorem otwartym w £’, p i, q punktami z G takimi, że [p,q] C G, zaś f: G —* R dowolną funkcją.
Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna na zbiorze G, to istnieje liczba rzeczywista Q z odcinak otwartego ]0,1[ taka, że
/(p) - /(q) = /'(q + 0(p - q))(p - q).
Twierdzenie 4.4 Niech G będzie obszarem w £r, zaś f:G—> R dowolną funkcją.
Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna na zbiorze G i jej pochodna jest stale róuma zeru, to f jest funkcją stalą.
Twierdzenie 4.5
(i) Niech G będzie otwartym podzbiorem w £r. Jeżeli odwzorowanie /: G —* Rd jest odwzorowaniem stałym, to jest różnicz
kowalna na zbiorze G oraz /'(p) = 0 dla dowolnego p z G.
(ii) Jeżeli A: Rr —* Rd jest odwzorowaniem liniowy, to A jest różniczkowalna na Rr oraz DA = A.
(iii) Niech G będzie otwartym podzbiorem w £' , p punktem G, zaś odwzorowanie f:G —* Rd ma składowe (współrzędne) (f\,..., fd). Odwzorowanie jest różniczkowalna w punkcie p wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego i € l,d funkcje fi są różniczkowalne w punkcie p. Ponadto wtedy zachodzi równość
/'(P) = (/i'(p). ••■,/»)■
Uwaga 4.1 Zauważmy, że tak jak dla granicy i ciągłości problem różniczkowalności odwzorowań o wartościach Rd redukuje się do różniczkowalności funkcji o wartościach rzeczywistych.
'Kula B(0,e) jest kulą w £' .
15
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Wykład 530.10.2007 Niech r będzie liczbą naturalną większą od 1, d liczbą naturalną, G dowolnym niep
Wykład 102.10.2007 Niech d będzie dowolną liczbą naturalną.Rd={(*1, ■ • •, xd); xi e R A i e 1, d}.
Wykład 209.10.2007 Niech d będzie dowolną liczbą naturalną. Twierdzenie 2.1 Rd nie jest ciągowo zwar
Wykład 318.10.2007 (za 16.10.2007)Ciągłość i jednostajna ciągłość funkcji. Niech d będzie liczbą
„Małe” twierdzenie Fermata: Niech p będzie liczbą pierwszą, wtedy: Va e p
CCF20090202 005 Demografia - wykład 19.10.2007. -zawód subiektywny - wyuczony -zawód obiektywny - do
CCF20090202 016 Demografia, wykład -14.12.2007.Współczynnik urodzeń: P /liczba urodzeń do średniej l
334 2 334 8. Równania różniczkowe Twifrdzenje 8.3.1. Niech N będzie liczbą parzystą i niech x Jest w
2. Potęgi i pierwiastki Niech n będzie liczbą całkowitą dodatnią. Dla dowolnej liczby a definiujemy
więcej podobnych podstron