2659241288

Wykład 5

30.10.2007

Niech r będzie liczbą naturalną większą od 1, d liczbą naturalną, G dowolnym niepustym podzbiorem R¹', zaś p będzie punktem z R^r.

Pochodna kierunkowa

Uwaga 5.1 Pochodne cząstkowe można uogólnić otrzymując tzw. pochodne kierunkowe.

Definicja 5.1 Niech v będzie wektorem niezerourym z R^r, G zbiorem otwartym w £^r, p punktem tego zbioru, a f: G —* R dowolną funkcją.

Pochodną kierunkową funkcji f w punkcie p w kierunku wektora v nazywamy granicę

o ile ta granica istnieje. Oznaczamy ją symbolem f^(p).

Pochodna cząstkowa rzędu pierwszego względem zmiennej x,- w punkcie p funkcji f jest pochodną kierunkową funkcji f w punkcie p w kierunku wektora e,-, o ile taka pochodna cząstkowa istnieje.

Uwaga 5.2 Zauważmy, że można też mówić o pochodnej kierunkowej w kierunku wektora v w punkcie p dla odwzorowania f:G—> R^d. Otrzymujemy wtedy wektor z R^rf, którego składowymi są pochodne kierunkowe składowych odwzorowania f w kierunku wektora v w punkcie p.

Uwaga 5.3 Również warunek konieczny dla różniczkowalności można wyrazić za pomocą pochodnych kierunkowych.

Twierdzenie 5.1 Niech G będzie zbiorem otwartym w £^T, p punktem zG, f: G —• M dowolną funkcją.

Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie p, to dla dowolnego dowolnego niezerowego wektora v € R^r pochodna kierunkowa funkcji f w punkcie p w kierunku wektora v istnieje oraz zachodzi równość

/v(P) = /'(P)v-

Definicja 5.2 Niech G będzie zbiorem otwartym w £', a punkt p punktem tego zbioru, f:G—> R dowolną funkcją.

Jeśli f jest funkcją różniczkowalną w p, to gradientem funkcji f w punkcie p nazywamy taki wektor z R^r oznaczany grad /(p), że dla każdego wektora h 6 R^r zachodzi równość

/'(p)h = (grad/(p)|h).

Uwaga 5.4 Gradient funkcji f w punkcie p oznacza się również V/(p).

17

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Wykład 423.10.2007 Niech r będzie liczbą naturalną większą od 1, d liczbą naturalną, G dowolnym niep
Wykład 102.10.2007 Niech d będzie dowolną liczbą naturalną.Rd={(*1, ■ • •, xd); xi e R A i e 1, d}.
Wykład 209.10.2007 Niech d będzie dowolną liczbą naturalną. Twierdzenie 2.1 Rd nie jest ciągowo zwar
Wykład 318.10.2007 (za 16.10.2007)Ciągłość i jednostajna ciągłość funkcji. Niech d będzie liczbą
„Małe” twierdzenie Fermata: Niech p będzie liczbą pierwszą, wtedy: Va e    p
CCF20090202005 Demografia - wykład 19.10.2007. -zawód subiektywny - wyuczony -zawód obiektywny - do
CCF20090202016 Demografia, wykład -14.12.2007.Współczynnik urodzeń: P /liczba urodzeń do średniej l
334 2 334 8. Równania różniczkowe Twifrdzenje 8.3.1. Niech N będzie liczbą parzystą i niech x Jest w
2. Potęgi i pierwiastki Niech n będzie liczbą całkowitą dodatnią. Dla dowolnej liczby a definiujemy

więcej podobnych podstron