3148972988
1.2. Kołczany
Ciekawy jest związek między kołczanem algebry A i algebry przeciwnej Aop. Przypomnijmy, że jeśli A jest algebrą, to algebra przeciwna Aop do A jest to algebra określona na tej samej przestrzeni liniowej co A z działaniem * danym wzorem a*b := ba dla a,6 G A. Jeśli A ~ KQ/I, Q = (Qo,Qi), to wtedy Aop ~ KQop/Iop, gdzie Qop := (QoP,QiP), przy czym Q\Jp = Q0, zaś dla każdej strzałki a : x —» y w Q mamy strzałkę aop : y —> x w Qop. Ponadto element Yhi należy do Jop wtedy i tylko wtedy, gdy
\ai,ii'' ’ ai,i należy do I. Kołczan Qop nazywamy kołczanem przeciwnym do Q.
Powyższe twierdzenie pozwala nam utożsamić moduły z reprezentacjami kołczanów. Niech (Q, /), gdzie Q = (Qo,Qi), będzie kołczanem ograniczonym. Reprezentacją kołczanu (Q, I) nazywać będziemy układ (14, Va)x£Q0
a€Qi
skończenie wymiarowych przestrzeni /^-liniowych Vx, x G Qo> oraz przekształceń i^-liniowych Va : 14(a) —* 14(a), ck G Qi, takich, że zachodzi równość “'Van — 0 dla każdego elementu Yli ^iai,h '''a*, i ideału
/ takiego, że e(ai,/i) = e(ajiij) i s(aj,i) = s(ajti) dla wszystkich indeksów i i j. Jeśli V = (Vx, Va) i W — (Wx,Wa) są dwiema reprezentacjami kołczanu (Q, /), to morfizm f : V —* W reprezentacji zadany jest przez układ (fx)xeQ0 przekształceń Jć-liniowych takich, że fx : Vx —> Wx, x G Qq, oraz dla każdej strzałki a G Q\ mamy równość /e(a)14 = Wafs(Q). Kategorię wszystkich reprezentacji kołczanu (Q, I) oznaczać będziemy przez rep(Q, I). Jeśli A := KQ/I i M jest A-modułem, to możemy z nim związać reprezentację (Mx, Ma) określoną wzorami
Mx := (x\x)M, Mav := av,
dla x G Qo, a G Qi, v G Ms(a). Podobnie, każdej reprezentacji (14, 14) € rep(Q, /) można przyporządkować A-moduł V zdefiniowany na przestrzeni liniowej ®x€qo 14, w którym mnożenie przez elementy postaci (rr|:r), x G Qo, polega na wyliczaniu rc-tej współrzędnej w powyższym rozkładzie na sumę prostą, mnożenie przez strzałki jest indukowane przez odwzorowania 14, qGQi, zaś mnożenie przez dowolny element algebry A jest naturalnym rozszerzeniem tego mnożenia. Powyższe wzory, wraz z analogicznymi wzorami dla morfizmów, zadają równoważność kategorii mod A i rep(Q, /).
Opiszemy teraz kilka podstawowych klas A-modułów, gdzie A = KQ/I, Q = (Qo,Qi)- Niech x G Qq. Definiujemy moduły Px := A(x\x) i Ix := D((ar|:r)i4). Wtedy moduły Py, y G Qo, tworzą pełny układ parami nie-izomorficznych nierozkładalnych projektywnych Amodułów, zaś moduły Iy, y G Qo, pełnią tę samą rolę wśród nierozkładalnych A modułów injektyw-nych. Ponadto, jeśli Sx := Px/ rad Px = soc Ix, to moduły Sy, y G Qo, tworzą
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
IMG09 3. Kolonizacja Propionibacterium acne t - jest związek między działaniem ;; ąntybakter
2. Dokonaj analizy poniższych schematów kończyn kręgowców. Wyjaśnij, jaki jest związek między budową
■ ĆfJi: ’.iźfy-- • •• pj? 11. Jaki jest związek miedzy zakresem pola etycznego uwzględnianego
9. Jaki jest związek między podażą pojedynczych producentów działających
Jego (Phillipsa) zdaniem jest związek między inflacją a bezrobociem. Sam Phillips analizował zależno
Kolendowicz2 stąd AT = —qAx. Jeśli Ax zdąża do zera, to dT (11-17) ■ Jest to zwią
Krzywa długookresowej podaży przedsiębiorstwa jest to linia obrazująca związek między ilością
Wybrane programy CoCoA (ang. COmputations in COmmutative Algebra) - jest to wolny system algebry kom
Mining and Em ironment Ważne jest, aby istniał ścisły związek między powiatowymi i gminnymi oraz
a zatem warunek konieczny statycznej nyznaczalności jest spełniony. Z teorii układów algebraicznych
Obraz12 potrzeb^(Związek między jedną a drugą w nauczaniu szkolnym jest więc oczy. wisty: teoria da
Związek między postawami a zachowaniem nie jest prosty - mogą nie być zgodne B LaPiere (1934): wizyt
Test Sprawdzający 9. Jaki jest zapis kwadratu sumy algebraicznej dla: x2-2x+l
Test Sprawdzający 9. Jaki jest zapis kwadratu sumy algebraicznej dla: x2-2x+l (x-l)2 XJ-12
Pierścienie grupowe - wykład 2. Przypomnijmy, że -algebra A jest półprosta, gdy jej lewe ^4-moduły
więcej podobnych podstron