O b l i c z e n i a z u |y c i e m
p r o g r a m u M A T L A B
S k r y p t p o w s t a B w r a m a c h p r a c C e n t r u m K o r e p e t y c j i
K o Ba N a u k o w e g o S t u d e n t w P o l i t e c h n i k i G a m b r i n u s .
w w w . g a m b r i n u s . p w r . w r o c . p l
A u t o r z y :
K a r o l B i a Bo w s r o z d z i a By 1 , 2 , 4 , 7
A n n a B o r o w s k a r o z d z i a B 3
P a w e B G r a r o z d z i a B 5
N a t a l i a G e m z a - r o z d z i a B 6
S p i s t r e [c i :
1 . P o d s t a w y , p r o s t e o b l i c z e n i a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1 . 1 I n t e r f e j s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1 . 2 P r o s t e o b l i c z e n i a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1 . 3 W b u d o w a n e f u n k c j e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1 . 4 Z m i e n n e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1 . 5 P r z y d a t n e p o l e c e n i a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1 . 6 P r z e n o s z e n i e d a n y c h z a r k u s z a k a l k u l a c y j n e g o d o M a t l a b a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 . M a c i e r z e i w e k t o r y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 . 1 S p o s o b y d e f i n i o w a n i a m a c i e r z y i w e k t o r w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 . 2 D o s t p d o e l e m e n t w m a c i e r z y / w e k t o r w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 . 3 O p e r a c j e n a w y b r a n y m w i e r s z u / k o l u m n i e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 . 4 P o d s t a w o w e o p e r a c j e r a c h u n k u m a c i e r z y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0
2 . 5 R o z w i z y w a n i e u k Ba d w r w n a D l i n i o w y c h m e t o d m a c i e r z y o d w r o t n e j . . 1 1
3 . W i e l o m i a n y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2
3 . 1 O b l i c z a n i e w a r t o [c i w i e l o m i a n u ( p o l y v a l ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2
3 . 2 O b l i c z a n i e p i e r w i a s t k w w i e l o m i a n u ( r o o t s ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2
3 . 3 M n o |e n i e i d z i e l e n i e w i e l o m i a n w ( c o n v i d e c o n v ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3
3 . 4 P o c h o d n a w i e l o m i a n u ( p o l y d e r ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3
3 . 5 A p r o k s y m a c j a w i e l o m i a n o w a ( p o l y f i t ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4
4 . F u n k c j e i s k r y p t y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5
4 . 1 S k r y p t y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5
4 . 2 F u n k c j e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7
4 . 3 Z m i e n n e g l o b a l n e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1
4 . 4 F u n k c j a j a k o a r g u m e n t i n n e j f u n k c j i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2
4 . 5 Z n a j d o w a n i e m i e j s c z e r o w y c h d o w o l n e j f u n k c j i ( f z e r o ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3
5 . P t l e i i n s t r u k c j e w a r u n k o w e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5
5 . 1 P t l a f o r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5
5 . 2 P t l a w h i l e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6
5 . 3 I n s t r u k c j a w a r u n k o w a i f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8
6 . G r a f i k a w M a t l a b i e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1
6 . 1 F u n k c j a p l o t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1
6 . 2 E d y c j a w y k r e s u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1
6 . 3 H o l d o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5
6 . 4 S u b p l o t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 6
6 . 5 I n t e r p o l a c j a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7
6 . 6 F u n k c j a f p l o t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 8
7 . C a Bk o w a n i e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0
7 . 1 F u n k c j a t r a p z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0
7 . 2 F u n k c j a o d e 4 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2
7 . 3 F u n k c j a o d e 4 5 c a Bk o w a n i e u k Ba d w r w n a D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 5
7 . 4 Z d a r z e n i a ( E v e n t s ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 6
1 . P o d s t a w y , p r o s t e o b l i c z e n i a
M a t l a b t o z a a w a n s o w a n e [r o d o w i s k o d o o b l i c z e D m a t e m a t y c z n y c h . U d o s t p n i a o g r o m n i l o [
s p e c j a l i s t y c z n y c h f u n k c j i o r a z j z y k s k r y p t o w y p o z w a l a j c y n a w e t t w o r z y p r o g r a m y z G U I
( g r a f i c z n y m i n t e r f e j s e m u |y t k o w n i k a ) . W k u r s i e t y m p o s t a r a m y s i p r z y b l i |y n i e w i e l k c z [
n a j p o t r z e b n i e j s z y c h i n |y n i e r o w i c h e m i k o w i f u n k c j i p r o g r a m u .
1 . 1 I n t e r f e j s
Z a c z n i j m y o d p r z y j r z e n i a s i i n t e r f e j s o w i .
O k n o p o u r u c h o m i e n i u p r o g r a m u M a t l a b .
E l e m e n t y , k t r e b d n a s i n t e r e s o w a w y r |n i o n o c z e r w o n y m k o l o r e m .
1 p r z y c i s k u r u c h a m i a j c y e d y t o r M - p l i k w
2 p r z y c i s k u r u c h a m i a j c y S i m u l i n k
3 C o m m a n d W i n d o w
4 o k n o W o r k s p a c e
O d w c h p i e r w s z y c h p o z y c j a c h w i c e j p o w i e m y w d a l s z y c h c z [c i a c h k u r s u . N a r a z i e k o r z y s t a
b d z i e m y j e d y n i e z :
% C o m m a n d W i n d o w o k n o , w k t r y m m o |e m y b e z p o [r e d n i o w p i s y w a p o l e c e n i a i w
k t r y m z o b a c z y m y w y n i k i i c h w y k o n a n i a
% W o r k s p a c e w t y m o k n i e z n a j d u j s i z m i e n n e u t w o r z o n e w c z a s i e a k t u a l n e j s e s j i
1
1 . 2 P r o s t e o b l i c z e n i a
P i e r w s z a o p e r a c j a j a k w y k o n a m y t o z w y k Be d o d a w a n i e . W p i s z m y w o k n i e C o m m a n d W i n d o w :
> > 3 + 2
i w c i [n i j m y e n t e r . P o w i n n i [m y z o b a c z y n a s t p u j c y w y n i k :
> > 3 + 2
a n s =
5
> >
Z w r u w a g , |e w o k n i e W o r k s p a c e p o j a w i Ba s i z m i e n n a o n a z w i e a n s i w a r t o [c i 5 . D o z m i e n n e j
t e j b d z i e m y m o g l i s i p zn i e j o d w o By w a . A n a l o g i c z n i e m o |e m y o b l i c z a w a r t o [c i w s z y s t k i c h
i n n y c h w y r a |e D a l g e b r a i c z n y c h . S p r b u j t e r a z s a m o d z i e l n i e w y k o n a n a s t p u j c e o p e r a c j e i
s p r a w d z i c h w y n i k i :
3 - 2 3 * 2 3 / 2 3 ^ 2
O s t a t n i a z t y c h o p e r a c j i t o p o d n o s z e n i e d o p o t g i . S p r b u j m y t e r a z o b l i c z y w a r t o [ n i e c o b a r d z i e j
s k o m p l i k o w a n e g o w y r a |e n i a :
2 . 3 "e 3 . 4 6 "1 0 - 3
1 . 2 3 - 3 4 . 2
> > ( 2 . 3 * e x p ( 3 . 4 ) + 6 e - 3 ) / ( 1 . 2 3 - 3 * s q r t ( 4 . 2 ) )
a n s =
- 1 4 . 0 1 4 0
Z a u w a |, |e w M a t l a b i e m o z e s z s t o s o w a n a w i a s y . K o l e j n o [ w y k o n y w a n i a d z i a Ba D j e s t
s t a n d a r d o w a , t j . p o t g o w a n i e , n a s t p n i e m n o |e n i e / d z i e l e n i e i t d . , z u w g l d n i e n i e m n a w i a s w . W
p r z y k Ba d z i e t y m z w r u w a g n a t o j a k z a p i s a n o w y r a |e n i e 6 * 1 0 - 3 - 6 e - 3 . J e s t t o t a k z w a n y z a p i s
w y k Ba d n i c z y . W a r t o p a m i t a |e l i c z b y m o |n a w m a t l a b i e z a p i s y w a w Ba [n i e w t e n s p o s b .
1 . 3 W b u d o w a n e f u n k c j e
K o l e j n a i s t o t n a r z e c z p o k a z a n a w t y m p r z y k Ba d z i e t o f u n k c j e .
e x p ( 3 . 4 ) o r a z s q r t ( 4 . 2 )
Aa t w o d o m y [l i s i c o o n e o z n a c z a j e x p t o f u n k c j a e k s p o n e n t c z y l i e d o x a s q r t t o p i e r w i a s t e k
k w a d r a t o w y z l i c z b y . M a t l a b u d o s t p n i a j e s z c z e w i e l e f u n k c j i . K i l k a n a [c i e c z s t o u |y w a n y c h
z e b r a n o w t a b e l i p o n i |e j .
F u n k c j a C o o b l i c z a :
e x p ( x ) e ^ x
s q r t ( x ) P i e r w i a s t e k k w a d r a t o w y
l o g ( x ) L o g a r y t m n a t u r a l n y
2
l o g 1 0 ( x ) L o g a r y t m d z i e s i t n y
a b s ( x ) W a r t o [ b e z w z g l d n a
s i n ( x ) , c o s ( x ) , t a n ( x ) W a r t o [c i f u n k c j i t r y g o n o m e t r y c z n y c h ( x w r a d i a n a c h )
a s i n ( x ) , a c o s ( x , a t a n ( x ) F u n k c j e c y k l o m e t r y c z n e , w y n i k w r a d i a n a c h
d e g 2 r a d ( x ) , r a d 2 d e g ( x ) P r z e l i c z a n i e o d p o w i e d n i o s t o p n i n a r a d i a n y ( d e g 2 r a d ) i r a d i a n w n a
s t o p n i e ( r a d 2 d e g )
s i n h ( x ) , c o s h ( x ) , t a n h ( x ) F u n k c j e h i p e r b o l i c z n e
m o d ( x , y ) R e s z t a z d z i e l e n i a x p r z e z y
r o u n d ( x ) Z a o k r g l a n i e d o l i c z b y c a Bk o w i t e j
f l o o r ( x ) Z a o k r g l a n i e d o n a j b l i |s z e j l i c z b y c a Bk o w i t e j w g r
c e i l ( x ) Z a o k r g l a n i e d o n a j b l i |s z e j l i c z b y c a Bk o w i t e j w d B
s u m ( X ) O b l i c z a s u m w s z y s t k i c h e l e m e n t w m a c i e r z y / w e k t o r a
m i n ( X ) , m a x ( X ) W a r t o [ n a j m n i e j s z e g o / n a j w i k s z e g o e l e m e n t u m a c i e r z y / w e k t o r a
S p r b u j w y k o n a k i l k a d z i a Ba D u |y w a j c k a |d e j z t y c h f u n k c j i . W j e d n y m z k o l e j n y c h r o z d z i a B w
n a u c z y s z s i t a k |e p i s a w Ba s n e f u n k c j e .
1 . 4 Z m i e n n e
P o d c z a s o b l i c z e D w M a t l a b i e m o |e m y r w n i e | w y k o r z y s t y w a z m i e n n e . O t o p r z y k Ba d i c h u |y c i a :
> > a = 3
a =
3
> > b = 2
b =
2
> > a + b
a n s =
5
> > c = l o g ( a )
c =
1 . 0 9 8 6
> > d = b ^ c
d =
2 . 1 4 1 5
Z m i e n n e p o z w a l a j z a p a m i t y w a w a r t o [c i p o d p o s t a c i r |n y c h s y m b o l i . N i e m u s z t o b y
p o j e d y n c z e l i t e r y , m o g t o b y p r a k t y c z n i e d o w o l n e c i g i z n a k w w a |n e |e b y z n a k i w n a z w i e
n i e b y By r o z d z i e l o n e s p a c j . P o w y k o n a n i u p o w y |s z e g o c i g u p o l e c e D p r z y j r z y j s i z a w a r t o [c i o k n a
W o r k s p a c e . P o w i n n y s i w n i m p o j a w i n a z w y i w a r t o [c i n a s z y c h z m i e n n y c h .
Z e z m i e n n y c h b d z i e m y k o r z y s t a d o s a m e g o k o Dc a k u r s u z a t e m j e s z c z e z d |y s z s i z n i m i
o s w o i . N a r a z i e p r z y d a d z C i s i o n e j e d y n i e p o d c z a s w y k o n y w a n i a d Bu |s z y c h c i g w o b l i c z e D,
g d y z d a n e j w a r t o [c i m u s i s z s k o r z y s t a w i e l o k r o t n i e . Z m i e n n e p r z y d a d z C i s i r w n i e | p o d c z a s
o b l i c z a n i a s k o m p l i k o w a n y c h w y r a |e D. C z a s e m Ba t w i e j r o z b i t a k i e w y r a |e n i e n a k i l k a c z [c i i
k a |d z n i c h o b l i c z y o d d z i e l n i e w k r o t k i c h w z o r a c h Ba t w i e j u n i k n b Bd u . O t o p r o s t y p r z y k Ba d
w y k o r z y s t a n i a z m i e n n y c h w t y m w Ba [n i e c e l u :
3
S p r b u j m y o b l i c z y w a r t o [ w y r a |e n i a :
3 . 2 "l n 2 . 2
2
3
2 "s i n
3
2
2 "s i n
2
3 e 2 . 1 2
2 " " "e
2 - l n 2 . 8
2
> > a = ( 3 + e x p ( 2 . 1 ) ) / ( 2 - l o g ( 2 . 8 ) )
a =
1 1 . 5 0 7 0
> > b = ( 2 * s i n ( 3 / 2 * p i ) ) / s q r t ( 2 )
b =
- 1 . 4 1 4 2
> > c = e x p ( 3 . 2 * l o g ( 2 . 2 ) / b )
c =
0 . 1 6 8 0
> > w y n i k = 2 * a * b ^ 2 * c
w y n i k =
7 . 7 3 0 5
> >
P o w y |s z e w y r a |e n i e b e z u |y c i a z m i e n n y c h d o p r z e c h o w y w a n i a w y n i k w o b l i c z e D p o [r e d n i c h
w y g l d a t a k :
> > w y n i k = 2 * ( 3 + e x p ( 2 . 1 ) ) / ( 2 - l o g ( 2 . 8 ) ) * ( ( 2 * s i n ( 3 / 2 * p i ) ) / s q r t ( 2 ) ) ^ 2 *
( e x p ( 3 . 2 * l o g ( 2 . 2 ) / ( ( 2 * s i n ( 3 / 2 * p i ) ) / s q r t ( 2 ) ) ) )
w y n i k =
7 . 7 3 0 5
> >
P r z y t a k i m z a p i s i e z n a c z n i e Ba t w i e j o b Bd k t r y m o |e b y t r u d n y d o z n a l e z i e n i a , n p . :
> > w y n i k = 2 * ( 3 + e x p ( 2 . 1 ) / ( 2 - l o g ( 2 . 8 ) ) ) * ( ( 2 * s i n ( 3 / 2 * p i ) ) / s q r t ( 2 ) ) ^ 2 *
( e x p ( 3 . 2 * l o g ( 2 . 2 ) / ( ( 2 * s i n ( 3 / 2 * p i ) ) / s q r t ( 2 ) ) ) )
w y n i k =
7 . 6 6 9 0
1 . 5 P r z y d a t n e p o l e c e n i a
N a k o n i e c j e s z c z e k i l k a p r z y d a t n y c h p o l e c e D/ c e c h M a t l a b - a o k t r y c h w a r t o w i e d z i e .
H i s t o r i a p o l e c e D: w c i s k a j c k l a w i s z s t r z a Bk i w g r w o k n i e C o m m a n d W i n d o w c o f a m y s i d o
w y k o n y w a n y c h w c z e [n i e j o p e r a c j i i m o |e m y j e p o w t r z y l u b l e k k o z m o d y f i k o w a i w y k o n a t
z m o d y f i k o w a n w e r s j .
c l c k o m e n d a , p r z y p o m o c y k t r e j c z y [c i m y z a w a r t o [ o k n a C o m m a n d W i n d o w
w h o w y p i s a n i e w o k n i e C o m m a n d W i n d o w w s z y s t k i c h u t w o r z o n y c h z m i e n n y c h
; - w y n i k i p o l e c e D g d y l i n i z a k o Dc z y m y [r e d n i k i e m n i e b d w y [w i e t l a n e , n p . :
> > a = 3 + 2 ;
> > a = 3 + 2
a =
5
4
b d z i e t o p r z y d a t n e p zn i e j p r z y p i s a n i u w Ba s n y c h f u n k c j i .
f o r m a t l o n g / s h o r t f o r m a t w y [w i e t l a n i a l i c z b r z e c z y w i s t y c h , n p . :
> > a = s q r t ( 2 ) ;
> > a
a =
1 . 4 1 4 2
> > f o r m a t l o n g
> > a
a =
1 . 4 1 4 2 1 3 5 6 2 3 7 3 0 9 5
> > f o r m a t s h o r t
> > a
a =
1 . 4 1 4 2
c l e a r u s u w a w s z y s t k i e z m i e n n e u t w o r z o n e w d a n e j s e s j i
c l e a r n a z w a _ z m i e n n e j u s u w a w y b r a n z m i e n n
1 . 6 P r z e n o s z e n i e d a n y c h z a r k u s z a k a l k u l a c y j n e g o d o M a t l a b - a
A b y p r z e n i e [ d a n e z w i k s z o [c i p o p u l a r n y c h a r k u s z y k a l k u l a c y j n y c h d o p r o g r a m u M a t l a b ,
w y s t a r c z y t e d a n e z a z n a c z y i p o k l i k n i c i u p r a w e g o k l a w i s z a m y s z k i w y b r a o p c j k o p i u j ,
n a s t p n i e w m a t l a b i e n a l e |y u t w o r z y t a b l i c , d o k t r e j s k o p i u j e m y d a n e :
> > t a b 1 = [ ]
t a b 1 =
[ ]
N a z w a t a b l i c y p o j a w i s i w o k i e n k u W o r k s p a c e - t a m n a l e |y k l i k n n a n i d w u k r o t n i e . O b o k
p o w i n n a p o j a w i s i w t e d y t a b e l a w k t r e j m o |e m y w p r o s t y s p o s b e d y t o w a z a w a r t o [ t a b l i c y .
N a l e |y w t e d y k l i k n p r a w y m p r z y c i s k i e m n a k o m r k t a b e l i i z r o z w i j a n e g o m e u w y b r a p a s t e
a b y w k l e i d a n e s k o p i o w a n e w c z e [n i e j z a r k u s z a .
K o p i o w a n i e d a n y c h z a r k u s z a k a l k u l a c y j n e g o d o M a t l a b - a
5
2 . M a c i e r z e i w e k t o r y
W a r t o w i e d z i e , |e n a z w a p r o g r a m u M a t l a b p o c h o d z i o d M a t r i x l a b o r a t o r y . Z g o d n i e z t y m c o
n a z w a s u g e r u j e , M a t l a b u m o |l i w i a b a r d z o p r o s t e w y k o n a n i e w i e l u o p e r a c j i n a m a c i e r z a c h i
w e k t o r a c h . W z a s a d z i e m a c i e r z e i w e k t o r y s t a n o w i t y p d a n y c h , k t r y m n a j c z [c i e j b d z i e s z s i
p o s Bu g i w a B.
2 . 1 S p o s o b y d e f i n i o w a n i a m a c i e r z y i w e k t o r w
D e f i n i o w a n i e m a c i e r z y w M a t l a b i e j e s t b a r d z o p r o s t e :
> > A = [ 1 2 3 4 ; 5 6 7 8 ; 9 1 0 1 1 1 2 ]
A =
1 2 3 4
5 6 7 8
9 1 0 1 1 1 2
> >
S p a c j a o d d z i e l a k o l e j n e w y r a z y w w i e r s z u , n a t o m i a s t p r z e j [c i e d o n o w e j l i n i i l u b [r e d n i k o z n a c z a j
r o z p o c z c i e k o l e j n e g o w i e r s z a . J e s z c z e j e d e n p r z y k Ba d :
> > B = [ 1 2
3 4
5 6
7 8 ]
B =
1 2
3 4
5 6
7 8
> >
I s t n i e j j e s z c z e t r z y b a r d z o p r z y d a t n e s p o s o b y t w o r z e n i a w e k t o r w ( m a c i e r z y p o s i a d a j c y c h t y l k o
j e d e n w i e r s z l u b t y l k o j e d n k o l u m n ) w p r o g r a m i e M a t l a b . T y m i s p o s o b a m i o t r z y m a m y w e k t o r y
z a w i e r a j c e w a r t o [c i z o k r e [l o n e g o p r z e d z i a Bu w o d s t p a c h r w n y c h , l u b w p o s t a c i c i g u
a r y t m e t y c z n e g o .
S p o s b p i e r w s z y p r e z e n t u j e p o n i |s z y p r z y k Ba d :
> > C = [ 0 : 1 0 : 5 0 ]
C =
0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0
> > D = [ 0 : 5 : 2 3 ]
D =
0 5 1 0 1 5 2 0
> >
O g l n i e m o |e m y t o z a p i s a j a k o
[ p o c z t e k : o d s t p : w a r t o [ m a k s y m a l n a ]
Z a u w a |, |e d o w e k t o r a t r a f i a j t y l k o w y r a z y m n i e j s z e l u b r w n e w a r t o [c i m a k s y m a l n e j .
6
D w a k o l e j n e s p o s o b y t w o r z e n i a w e k t o r a t o f u n k c j e l i n s p a c e i l o g s p a c e .
> > l i n s p a c e ( 1 , 5 0 , 5 )
a n s =
1 . 0 0 0 0 1 3 . 2 5 0 0 2 5 . 5 0 0 0 3 7 . 7 5 0 0 5 0 . 0 0 0 0
> >
p i e r w s z y i d r u g i a r g u m e n t f u n k c j i l i n s p a c e t o w a r t o [c i p i e r w s z e g o i o s t a t n i e g o e l e m e n t u w e k t o r a ,
o s t a t n i l i c z b a e l e m e n t w w e k t o r a . E l e m e n t y w e k t o r a t w o r z o n e g o f u n k c j l i n s p a c e s o d s i e b i e
r w n o o d d a l o n e . F u n k c j a l o g s p a c e g e n e r u j e w e k t o r w k t r y m k o l e j n e e l e m e n t y t o w a r t o [c i 1 0 ^ x .
N a j l e p i e j z i l u s t r o w a d z i a Ba n i e t e j f u n k c j i p r z y k Ba d e m :
> > l o g s p a c e ( - 2 , 2 , 5 )
a n s =
0 . 0 1 0 0 0 . 1 0 0 0 1 . 0 0 0 0 1 0 . 0 0 0 0 1 0 0 . 0 0 0 0
> >
O t r z y m a l i [m y w e k t o r z a w i e r a j c y 5 w a r t o [c i , o d 1 0 ^ - 2 d o 1 0 ^ 2 . W a r t o [c i t o k o l e j n o 1 0 ^ - 2 , 1 0 ^ - 1 ,
1 0 ^ 0 i t d .
P r z y d a t n e p o l e c e n i a d o t w o r z e n i a m a c i e r z y t o o n e s ( m ) , e y e ( m ) , z e r o s ( m ) o r a z t e s a m e f u n k c j e
w y w o By w a n e z d w o m a a r g u m e n t a m i , t j . : o n e s ( m , n ) i t d . . . . F u n k c j e t e t w o r z m a c i e r z e k w a d r a t o w e o
w y m i a r z e m g d y w y w o l a m y j e z j e d n y m a r g u m e n t e m l u b m a c i e r z e p o s i a d a j a c e m w i e r s z y i n
k o l u m n j e [l i w y w o Ba m y j e z d w o m a a r g u m e n t a m i . S p r b u j u |y k a |d e j z t y c h f u n k c j i w o b u
f o r m a c h a b y z o b a c z y j a k i e m a c i e r z e p o w s t a j w w y n i k u i c h d z i a Ba n i a .
2 . 2 P o d s t a w o w e o p e r a c j e r a c h u n k u m a c i e r z y
N a j p r o s t s z e o p e r a c j e r a c h u n k u m a c i e r z y t o d o d a w a n i e i o d e j m o w a n i e m a c i e r z y . M a c i e r z e m u s z
m i e t e n s a m w y m i a r . D o d a w a n i e i o d e j m o w a n i e m a c i e r z y w y g l d a d o k Ba d n i e t a k s a m o j a k
d o d a w a n i e i o d e j m o w a n i e o d s i e b i e d w u z m i e n n y c h . O t o p r z y k Ba d d o d a w a n i a m a c i e r z y :
> > A = [ 1 2 3 ; 4 5 6 ]
A =
1 2 3
4 5 6
> > B = [ 1 2 3 ; 7 8 9 ]
B =
1 2 3
7 8 9
> > C = A + B
C =
2 4 6
1 1 1 3 1 5
> >
A n a l o g i c z n i e w y g l d a o d e j m o w a n i e m a c i e r z y ( s p r b u j o d j o d s i e b i e m a c i e r z e A i B ) . M n o |e n i e
m a c i e r z y p r z e z l i c z b j e s t r w n i e p r o s t e :
> > A = [ 1 2 3 ; 4 5 6 ]
A =
1 2 3
4 5 6
7
> > A * 2
a n s =
2 4 6
8 1 0 1 2
> >
M n o |e n i e m a c i e r z y i p o d n o s z e n i e j e j d o p o t g i j e s t j u | n i e c o b a r d z i e j s k o m p l i k o w a n e . M a m y t u d o
w y b o r u d w i e o p c j e . A l b o m n o |y m y m a c i e r z e z g o d n i e z z a s a d a m i r a c h u n k u m a c i e r z y a l b o
m n o |y m y / d z i e l i m y p r z e z s i e b i e o d p o w i a d a j c e s o b i e e l e m e n t y m a c i e r z y . W p o n i |s z e j t a b e l i
p o d a n o o d p o w i e d n i e p r z y k Ba d y . N a j p i e r w z d e f i n i u j e m y d w i e m a c i e r z e :
> > A = [ 1 2 3 ; 4 5 6 ; 7 8 9 ]
A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
> > B = [ 1 1 1 2 1 3 ; 1 4 1 5 1 6 ; 1 7 1 8 1 9 ]
B =
1 1 1 2 1 3
1 4 1 5 1 6
1 7 1 8 1 9
> >
W y n i k i w y k o n a n i a k o m e n d z l e w e j k o l u m n y z n a j d u j s i w p r a w e j k o l u m n i e t a b e l i .
> > A * B
9 0 9 6 1 0 2
2 1 6 2 3 1 2 4 6
3 4 2 3 6 6 3 9 0
> > A . * B
1 1 2 4 3 9
5 6 7 5 9 6
1 1 9 1 4 4 1 7 1
> > A . / B
0 . 0 9 0 9 0 . 1 6 6 7 0 . 2 3 0 8
0 . 2 8 5 7 0 . 3 3 3 3 0 . 3 7 5 0
0 . 4 1 1 8 0 . 4 4 4 4 0 . 4 7 3 7
Z a t e m z a p i s b e z k r o p k i p o p r z e d z a j c e j s y m b o l m n o |e n i a / d z i e l e n i a o z n a c z a z w y k Be
m n o |e n i e / d z i e l e n i e m a c i e r z y , n a t o m i a s t w p r z y p a d k u u |y c i a o p e r a t o r a . * l u b . /
w y m n a |a n e / d z i e l o n e p r z e z s i e b i e s o d p o w i a d a j c e s o b i e e l e m e n t y m a c i e r z y . A n a l o g i c z n i e
w y g l d a p o t g o w a n i e . W w y p a d k u u |y c i a o p e r a t o r a ^ , M a t l a b w y k o n u j e z w y k l e m n o |e n i e
m a c i e r z y , n a t o m i a s t . ^ o z n a c z a p o d n i e s i e n i e k a |d e g o e l e m e n t u m a c i e r z y d o d a n e j p o t g i . A b y
l e p i e j z r o z u m i e r |n i c , p r z y j |y j s i p o n i |s z e m u p r z y k Ba d o w i :
> > A = [ 2 2 2 ; 2 2 2 ; 2 2 2 ]
A =
2 2 2
2 2 2
2 2 2
> > B = A ^ 3
B =
7 2 7 2 7 2
7 2 7 2 7 2
7 2 7 2 7 2
> > C = A . ^ 3
C =
8 8 8
8 8 8
8 8 8
8
M a t l a b u m o |l i w i a t a k |e p r o s t e w y k o n a n i e o p e r a c j i t a k i c h j a k t r a n s p o z y c j a m a c i e r z y , w y l i c z e n i e
w y z n a c z n i k a , w a r t o [c i w Ba s n y c h o r a z w y z n a c z e n i e m a c i e r z y o d w r o t n e j . A b y o t r z y m a m a c i e r z
t r a n s p o n o w a n , n a l e |y u |y o p e r a t o r a ' :
> > A = [ 1 1 1 ; 2 2 2 ; 3 3 3 ]
A =
1 1 1
2 2 2
3 3 3
> > B = A '
B =
1 2 3
1 2 3
1 2 3
> >
P o z o s t a Be o p e r a c j e :
% i n v ( X ) w y z n a c z e n i e m a c i e r z y o d w r o t n e j d o m a c i e r z y X
% d e t ( X ) o b l i c z e n i e w y z n a c z n i k a m a c i e r z y X
% e i g ( X ) w y z n a c z e n i e w a r t o [c i w Ba s n c h m a c i e r z y X
2 . 3 D o s t p d o e l e m e n t w m a c i e r z y / w e k t o r w
N a p o c z t e k u t w r z m y p r z y k Ba d o w m a c i e r z w i e l k o [c i 7 x 7 :
> > A = m a g i c ( 7 )
A =
3 0 3 9 4 8 1 1 0 1 9 2 8
3 8 4 7 7 9 1 8 2 7 2 9
4 6 6 8 1 7 2 6 3 5 3 7
5 1 4 1 6 2 5 3 4 3 6 4 5
1 3 1 5 2 4 3 3 4 2 4 4 4
2 1 2 3 3 2 4 1 4 3 3 1 2
2 2 3 1 4 0 4 9 2 1 1 2 0
> >
W p r z y k Ba d z i e p o s z l i [m y t r o c h n a s k r t y k o m e n d a m a g i c t w o r z y m a c i e r z k w a d r a t o w o
z a d a n y m w y m i a r z e , w k t r e j s u m y w s z y s t k i c h w i e r s z y i k o l u m n s r w n e i w k t r e j n i e p o w t a r z a
s i |a d e n e l e m e n t .
O d c z y t a n i e p o j e d y n c z e g o e l e m e n t u :
> > A ( 1 , 1 )
a n s =
3 0
> > A ( 4 , 5 )
a n s =
3 4
> >
J a k o p i e r w s z y a r g u m e n t p o d a j e m y w i e r s z , j a k o d r u g i k o l u m n , w i e r s z e i k o l u m n y m a c i e r z y
n u m e r o w a n e s o d 1 .
9
O d c z y t a n i e w y b r a n e g o f r a g m e n t u m a c i e r z y w y k o n u j e m y t a k :
> > A ( 2 , 2 : 5 )
a n s =
4 7 7 9 1 8
O p e r a t o r : p o z w a l a z d e f i n i o w a z a k r e s i n t e r e s u j c y c h n a s e l e m e n t w . T u o d c z y t a l i [m y e l e m e n t y
o d 2 d o 5 z w i e r s z a 2 . O p e r a t o r a d o s t p u : m o |e m y u |y r w n i e | d o o d c z y t a n i a c a By c h
w i e r s z y / k o l u m n w t e d y n i e p o d a j e m y z a k r e s u j a k i c h c e m y o d c z y t a a j e d y n i e w s t a w i a m y s a m
o p e r a t o r : , t a k j a k w p o n i |s z y c h p r z y k Ba d a c h :
> > A ( : , 2 )
a n s =
3 9
4 7
6
1 4
1 5
2 3
3 1
> > A ( 2 , : )
a n s =
3 8 4 7 7 9 1 8 2 7 2 9
> >
J a k s i Ba t w o d o m y [l i A ( : , : ) o z n a c z a c a B z a w a r t o [ m a c i e r z y A .
2 . 4 O p e r a c j e n a w y b r a n y m w i e r s z u / k o l u m n i e
Z a j m i e m y s i t e r a z o p e r a c j a m i w k t r y c h c h c e m y w y k o n a d z i a Ba n i a t y l k o n a w y b r a n y m w i e r s z u
l u b w y b r a n e j k o l u m n i e m a c i e r z y , t a k i m i j a k : m n o |e n i e w i e r s z a / k o l u m n y p r z e z l i c z b , d o d a w a n i e
w i e r s z y / k o l u m n , u s u w a n i e w i e r s z y / k o l u m n
> > A = m a g i c ( 7 ) ;
> > A ( 3 , : ) = 2 * A ( 3 , : )
A =
3 0 3 9 4 8 1 1 0 1 9 2 8
3 8 4 7 7 9 1 8 2 7 2 9
9 2 1 2 1 6 3 4 5 2 7 0 7 4
5 1 4 1 6 2 5 3 4 3 6 4 5
1 3 1 5 2 4 3 3 4 2 4 4 4
2 1 2 3 3 2 4 1 4 3 3 1 2
2 2 3 1 4 0 4 9 2 1 1 2 0
> > A ( 4 , : ) = A ( 4 , : ) - A ( 3 , : )
A =
3 0 3 9 4 8 1 1 0 1 9 2 8
3 8 4 7 7 9 1 8 2 7 2 9
9 2 1 2 1 6 3 4 5 2 7 0 7 4
- 8 7 2 0 - 9 - 1 8 - 3 4 - 2 9
1 3 1 5 2 4 3 3 4 2 4 4 4
2 1 2 3 3 2 4 1 4 3 3 1 2
2 2 3 1 4 0 4 9 2 1 1 2 0
> >
W p o w y |s z y m p r z y k Ba d z i e n a j p i e r w p o m n o |o n o w i e r s z 3 m a c i e r z y p r z e z 2 a n a s t p n i e o d w i e r s z a
4 o d j t o w i e r s z 3 . W y b r a n y w i e r s z / k o l u m n m a c i e r z y u s u n i e m y w n a s t p u j c y s p o s b :
1 0
> > A ( : , 3 ) = [ ]
A =
3 0 3 9 1 1 0 1 9 2 8
3 8 4 7 9 1 8 2 7 2 9
9 2 1 2 3 4 5 2 7 0 7 4
- 8 7 2 - 9 - 1 8 - 3 4 - 2 9
1 3 1 5 3 3 4 2 4 4 4
2 1 2 3 4 1 4 3 3 1 2
2 2 3 1 4 9 2 1 1 2 0
> >
W p r z y k Ba d z i e t y m u s u n l i [m y k o l u m n 3 m a c i e r z y b d c e j w y n i k i e m p o p r r z e d n i c h d w u o p e r a c j i .
2 . 5 R o z w i z y w a n i e u k Ba d w r w n a D l i n i o w y c h m e t o d m a c i e r z y o d w r o t n e j -
p r z y k Ba d
N a k o n i e c r o z w i |e m y j e s z c z e p r o s t y u k Ba d r w n a D w y k o r z y s t u j c m e t o d m a c i e r z y o d w r o t n e j :
x - 2 y 3 z = - 7
3 x y 4 z = 5
2 x 5 y z = 1 8
U k Ba d z a p i s z e m y w p o s t a c i m a c i e r z o w e j :
A "X = B
1 - 2 3 x - 7
3 1 4 "y = 5
2 5 1 z 1 8
R o z w i z a n i e u k Bd u z n a j d z i e m y d z i k i w Ba s n o [c i o m m a c i e r z y o d w r o t n e j :
A "X = B ! X = A - 1 "B
N a s t p n i e z d e f i n i u j m y w M a t l a b i e o d p o w i e d n i e m a c i e r z e A i B o r a z w y z n a c z y m y r o z w i z a n i e
u k Ba d u :
> > A = [ 1 - 2 3 ; 3 1 4 ; 2 5 1 ]
A =
1 - 2 3
3 1 4
2 5 1
> > B = [ - 7 ; 5 ; 1 8 ]
B =
- 7
5
1 8
> > X = i n v ( A ) * B
X =
2 . 0 0 0 0
3 . 0 0 0 0
- 1 . 0 0 0 0
Z a t e m r o z w i z a n i e u k Ba d u r w n a D t o : x = 2 , y = 3 i z = - 1 .
1 1
3 . W i e l o m i a n y
W i e l o m i a n y w m a t l a b i e p r z e c h o w y w a n e s w p o s t a c i w i e r s z o w e g o w e k t o r a w s p Bc z y n n i k w .
P i e r w s z y w y r a z w e k t o r a z a w i e r a w s p Bc z y n n i k p r z y n a j w y |s z e j p o t d z e z m i e n n e j n i e z a l e |n e j ,
k o l e j n e w y r a z y t o w s p Bc z y n n i k i p r z y k o l e j n y c h , c o r a z n i |s z y c h p o t g a c h z m i e n n e j , o s t a t n i t o
w y r a z w o l n y w i e l o m i a n u . D l a p r z y k Ba d u w i e l o m i a n :
W p r o w a d z a m y d o m a t l a b a w p o s t a c i w e k t o r a :
> > p = [ 3 , 2 , - 1 ]
3 . 1 O b l i c z a n i e w a r t o [c i w i e l o m i a n u ( p o l y v a l ) :
F u n k c j a p o l y v a l ( p , x ) o b l i c z a w a r t o [ w i e l o m i a n u o w s p Bc z y n n i k a c h z a w a r t y c h w w e k t o r z e p w
p u n k t a c h w y s p e c y f i k o w a n y c h w z m i e n n e j x . D l a p r z y k Ba d u p o s Bu |o n o s i p o w y |s z y m
w i e l o m i a n e m p ( x ) :
> > p = [ 3 , 2 , - 1 ]
p =
3 2 - 1
> > p o l y v a l ( p , 1 )
a n s =
4
O c z y w i [c i e m o |n a o d r a z u w p r o w a d z i k i l k a z m i e n n y c h x w p o s t a c i w e k t o r a :
> > p o l y v a l ( p , [ 1 , 3 , 0 , 7 ] )
a n s =
4 3 2 - 1 1 6 0
3 . 2 O b l i c z a n i e p i e r w i a s t k w w i e l o m i a n u ( r o o t s ) :
F u n k c j a r o o t s p o z w a l a o b l i c z y p i e r w i a s t k i w i e l o m i a n u . P r z y k Ba d :
> > r o o t s ( p )
a n s =
- 1 . 0 0 0 0
0 . 3 3 3 3
O c z y w i [c i e M a t l a b o b l i c z a t a k |e p i e r w i a s t k i z e s p o l o n e :
> > q = [ 3 , 1 , 0 , - 1 ] ;
> > r o o t s ( q )
a n s =
- 0 . 4 6 5 8 + 0 . 5 8 3 4 i
- 0 . 4 6 5 8 - 0 . 5 8 3 4 i
0 . 5 9 8 2
1 2
3 . 3 M n o |e n i e i d z i e l e n i e w i e l o m i a n w ( c o n v i d e c o n v ) :
F u n k c j a c o n v p o z w a l a o b l i c z y w e k t o r w s p Bc z y n n i k w w i e l o m i a n u b d c e g o i l o c z y n e m
w i e l o m i a n w r e p r e z e n t o w a n y c h p r z e z j e j a r g u m e n t y , t j :
> > p = [ 1 , 1 ] ;
> > q = [ 1 , 2 , 2 ] ;
> > c = c o n v ( p , q )
c =
1 3 4 2
F u n k c j a d e c o n v p o z w a l a o b l i c z y c i l o r a z o r a z r e s z t z d z i e l e n i a j e d n e g o w i e l o m i a n u p r z e z d r u g i :
> > p = [ 2 , 2 , 2 , 1 ] ;
> > q = [ 1 , 2 ] ;
> > [ w , r ] = d e c o n v ( p , q )
w =
2 - 2 6
r =
0 0 0 - 1 1
3 . 4 P o c h o d n a w i e l o m i a n u ( p o l y d e r ) :
F u n k c j a p o l d e r ( p ) o b l i c z a w e k t o r w s p Bc z y n n i k w w i e l o m i a n u b d c e g o p o c h o d n w i e l o m i a n u
r e p r e z e n t o w a n e g o p r z e z p .
> > p = [ 3 , 2 , - 1 ] ;
> > p o l y d e r ( p )
a n s =
6 2
M o |n a t a k |e o b l i c z y p o c h o d n i l o c z y n u w i e l o m i a n w p o p r a w e j s t r o n i e z n a k u r w n o [c i
z n a j d u j e s i p o j e d y n c z a z m i e n n a :
> > p = [ 3 , 2 , - 1 ] ;
> > q = [ 4 , 0 , - 1 , 1 ] ;
> > k = p o l y d e r ( p , q )
k =
6 0 3 2 - 2 1 2 3
P o w y |s z y w y n i k m o |n a u z y s k a s t o s u j c z n a n j u | f u n k c j c o n v :
> > p = [ 3 , 2 , - 1 ] ;
> > q = [ 4 , 0 , - 1 , 1 ] ;
> > p o l y d e r ( c o n v ( p , q ) )
a n s =
6 0 3 2 - 2 1 2 3
1 3
O c z y w i [c i e w Ba t w y s p o s b m o |n a o b l i c z y p o c h o d n i l o r a z u w e k t o r w . S k Ba d n i a t e j f u n k c j i j e s t
t a k a s a m a j a k w p r z y p a d k u f u n k c j i d e c o n v p o p r a w e j s t r o n i e z n a k u r w n o [c i z n a j d u j e s i t a b l i c a
z d w i e m a z m i e n n y m i :
> > p = [ 3 , 2 , - 1 ] ;
> > q = [ 4 , 0 , - 1 , 1 ] ;
> > [ w , r ] = p o l y d e r ( q , p )
w =
1 2 1 6 - 9 - 6 - 1
r =
9 1 2 - 2 - 4 1
g d z i e :
w w y n i k d z i e l e n i a w i e l o m i a n w ,
r r e s z t a z d z i e l e n i a .
3 . 5 A p r o k s y m a c j a w i e l o m i a n o w a ( p o l y f i t ) :
G B w n f u n k c j w y k o r z y s t y w a n p r z y a p r o k s y m a c j i w i e l o m i a n o w e j j e s t p o l y f i t . O b l i c z a o n a
w s p Bc z y n n i k i w i e l o m i a n u z a d a n e g o s t o p n i a a p r o k s y m u j c e g o d a n e w e j [c i o w e w s e n s i e m i n i m u m
s u m y k w a d r a t w . S k Ba d n i a f u n k c j i :
> > p = p o l y f i t ( x , y , n )
x , y w e k t o r y z a w i e r a j c e d a n e
n s t o p i e D w i e l o m i a n u j a k i c h c e m y o t r z y m a
> > x = [ 1 3 5 7 9 1 1 ] ;
> > y = [ 1 1 3 1 7 2 3 3 1 3 9 ] ;
> > p = p o l y f i t ( x , y , 3 )
p =
0 . 0 4 6 3 - 0 . 8 5 1 2 7 . 8 5 0 5 - 5 . 5 8 5 3
> > x 2 = 1 : 0 . 5 : 1 1 ;
> > y 2 = p o l y v a l ( p , x 2 ) ;
> > p l o t ( x , y , ' x ' , x 2 , y 2 )
1 4
1 5
4 . F u n k c j e i s k r y p t y
M a t l a b p o s i a d a w Ba s n y , r o z b u d o w a n y j z y k s k r y p t o w y p o z w a l a j c y Ba t w o t w o r z y z a a w a n s o w a n e
p r o g r a m y . W t y m r o z d z i a l e o m w i m y k r t k o t w o r z e n i e p r o s t y c h s k r y p t w i f u n k c j i . S k r y p t t o c i g
p o l e c e D z a p i s a n y w p l i k u , k t r e p o u r u c h o m i e n i u s k r y p t u z o s t a j k o l e j n o p r z e z M a t l a b - a
w y k o n a n e . Z f u n k c j i k o r z y s t a Be [ j u | w i e l o k r o t n i e z a t e m p e w n i e w i e s z j u | d o b r z e c o t o j e s t i d o
c z e g o s Bu |y . S k r y p t y i f u n k c j e z a p i s y w a n e s w p o s t a c i t z w . m - p l i k w , c z y l i p l i k w z
r o z s z e r z e n i e m . m . W p r z y p a d k u f u n k c j i , k a |d a f u n k c j a m u s i b y z d e f i n i o w a n a w o d d z i e l n y m m -
p l i k u o n a z w i e t a k i e j , j a k n a z w a d a n e j f u n k c j i . A b y o t w o r z y e d y t o r p l i k w m w y b i e r z z m e n u :
F i l e ! N e w ! M - F i l e
P o w i n i e n z o s t a u r u c h o m i o n y e d y t o r ( u C i e b i e m o |e w y g l d a t r o c h i n a c z e j ) :
O k n o e d y t o r a m - p l i k w
4 . 1 S k r y p t y
N a p i s z m y s k r y p t o b l i c z a j c y c z a s w y p By w u c i e c z y z c y l i n d r y c z n e g o z b i o r n i k a . J a k o d a n e
p o t r z e b n e b d ( w n a w i a s a c h p o d a n o p r z y j t e w s k r y p c i e w a r t o [c i ) :
D [r e d n i c a z b i o r n i k a ( 3 m )
h w y s o k o [ d o k t r e j z b i o r n i k j e s t n a p e Bn i o n y ( 4 m )
d [r e d n i c a o t w o r u , p r z e z k t r y w y p By w a c i e c z ( 1 0 0 m m = 0 . 1 m )
- w s p Bc z y n n i k w y p By w u ( 0 . 8 )
g p r z y s p i e s z e n i e z i e m s k i e ( 9 . 8 1 m / s 2 )
C a Bk o w i t y c z a s w y p By w u z e z b i o r n i k a w s e k u n d a c h o b l i c z y m y z e w z o r u :
2 "D 2
t w y p = " h
u "d 2 2 g
1 6
W e d y t o r z e m - p l i k w w p r o w a d z n a s t p u j c t r e [:
D = 3
h = 4
d = 0 . 1
u = 0 . 8
g = 9 . 8 1
t _ w y p = ( 2 * D ^ 2 ) / ( u * d ^ 2 * s q r t ( 2 * g ) ) * s q r t ( h )
T e r a z z m e n u e d y t o r a m - p l i k w w y b i e r a m y D e b u g ! S a f e f i l e a n d R u n ( l u b p o d o b n o p c j
n a z w y m o g s i n i e z n a c z n i e r |n i w z a l e |n o [c i o d w e r s j i p r o g r a m u M a t l a b ) . Z o s t a n i e s z z a p y t a n y
p o d j a k n a z w z a p i s a s k r y p t n a z w i j s k r y p t t _ w y p l y w u . P o z a p i s a n i u s k r y p t z o s t a n i e
u c h o m i o n y . P r z e j d z d o o k n a C o m m a n d W i n d o w . T a m z n a j d z i e s z w y n i k i o b l i c z e D:
D =
3
h =
4
d =
0 . 1 0 0 0
u =
0 . 8 0 0 0
g =
9 . 8 1 0 0
t _ w y p =
1 . 0 1 5 9 e + 0 3
> >
I n n a m e t o d a w y w o Ba n i a s k r y p t u t o w p i s a n i e j e g o n a z w y w w i e r s z u p o l e c e D. T e r a z w r d o e d y t o r a
i z m i e D w y s o k o [ c i e c z y w z b i o r n i k u n a 2 m . P o n o w n i e w y b i e r z z m e n u D e b u g o p c j S a f e f i l e a n d
R u n . O t r z y m a s z c z a s o p r |n i a n i a z b i o r n i k a d l a n o w y c h d a n y c h . T y m r a z e m p r o g r a m n i e p o w i n i e n
p y t a o n a z w s k r y p t u ( s k r y p t z o s t a n i e p o n o w n i e z a p i s a n y p o d p o d a n w c z e [n i e j n a z w ) . W y n i k
p o w i n i e n b y n a s t p u j c y :
D =
3
h =
2
d =
0 . 1 0 0 0
u =
0 . 8 0 0 0
g =
9 . 8 1 0 0
t _ w y p =
7 1 8 . 3 6 9 7
> >
S p r b u j j e s z c z e d o d a z n a k [r e d n i k a ( ; ) n a k o Dc u p i e r w s z y c h p i c i u l i n i i :
D = 3 ;
h = 4 ;
d = 0 . 1 ;
u = 0 . 8 ;
g = 9 . 8 1 ;
t _ w y p = ( 2 * D ^ 2 ) / ( u * d ^ 2 * s q r t ( 2 * g ) ) * s q r t ( h )
1 7
S p r a w d z j a k w t e d y b d z i e w y g l d a B w y n i k u r u c h o m i e n i a s k r y p t u . J e [l i n i e w i e s z d l a c z e g o t a k j e s t ,
w r d o c z [c i 1 . 5 p i e r w s z e g o r o z d z i a Bu k u r s u t a m d o w i e s z s i c z y m s k u t k u j e z a k o Dc z e n i e l i n i i
[r e d n i k i e m .
4 . 2 F u n k c j e
F u n k c j o m p o [w i c i m y t r o c h w i c e j u w a g i . B d z i e s z j e w y k o r z y s t y w a B i p i s a B b a r d z o c z s t o
p o d c z a s p r a c y z p r o g r a m e m M a t l a b . W Ba s n e f u n k c j e b d z i e s z p i s a B n a p r z y k Ba d p o d c z a s
n u m e r y c z n e g o o b l i c z a n i a c a Be k . Z m e n u ( e d y t o r a m - p l i k w l u b M a t l a b a ) w y b i e r z :
F i l e ! N e w ! M - F i l e
F u n k c j a , k t r s t w o r z y m y n a p o c z t e k b d z i e o b l i c z a o b j t o [ m o l o w g a z u d o s k o n a Be g o :
R "T
p "v = R "T ! v p , T =
p
f u n c t i o n w y n i k = v ( p , T )
% f u n k c j a o b l i c z a o b j t o [ m o l o w [ m ^ 3 / m o l ]
% p - c i [n i e n i e [ P a ]
% T - t e m p e r a t u r a [ K ]
R = 8 . 3 1 4 ; % [ J / ( m o l * K ) ]
w y n i k = R * T / p ;
e n d
T e r a z z a p i s u j e m y n a s z p l i k . P l i k m u s i n a z y w a s i d o k Ba d n i e t a k s a m o j a k f u n k c j a c z y l i w
n a s z y m p r z y p a d k u b d z i e t o v . m i t a k w Ba [n i e n a z w z a p r o p o n u j e n a m M a t l a b . Z a p a m i t a j , w
j a k i m d o k Ba d n i e f o l d e r z e z a p i s u j e s z p l i k . T e r a z p r z e j d z d o o k n a C o m m a n d W i n d o w i w p i s z :
> > v ( 1 0 1 3 0 0 , 2 7 3 . 1 5 )
a n s =
0 . 0 2 2 4
> >
O b l i c z y l i [m y w t e n s p o s b o b j t o [, z a j m o w a n p r z e z m o l g a z u d o s k o n a Be g o w w a r u n k a c h
n o r m a l n y c h 2 2 . 4 d m 3 c z y l i 0 . 0 2 2 4 m 3 . J e [l i o t r z y m a Be [ k o m u n i k a t :
> > v ( 1 0 1 3 0 0 , 2 7 3 . 1 5 )
? ? ? U n d e f i n e d f u n c t i o n o r m e t h o d ' v ' f o r i n p u t a r g u m e n t s o f t y p e
' d o u b l e ' .
> >
N i e p r z e j m u j s i . P r a w d o p o d o b n i e f o l d e r w k t r y m z a p i s a Be [ s w o j f u n k c j n i e z n a j d u j e s i n a
l i [c i e f o l d e r w w k t r y c h M a t l a b s z u k a f u n k c j i ( t z w . P a t h ) . M u s i s z t e n f o l d e r d o [c i e |k i d o d a . Z
m e n u w g B w n y m o k n i e p r o g r a m u w y b i e r z :
F i l e ! S e t P a t h . . .
W o k n i e , k t r e s i p o j a w i w y b i e r z A d d F o l d e r . . . a n a s t p n i e w y b i e r z f o l d e r , w k t r y m z a p i s a Be [
s w o j f u n k c j . T e r a z w s z y s t k o p o w i n n o d z i a Ba .
P r z y j r z y j m y s i t e r a z b a r d z i e j s z c z e g Bo w o n a p i s a n e j p r z e z n a s f u n k c j i .
1 8
f u n c t i o n w y n i k = v ( p , T )
P l i k z d e f i n i c j f u n k c j i p o w i n i e n s i z a c z y n a s Bo w e m k l u c z o w y m f u n c t i o n i n f o r m u j e o n o
M a t l a b - a , |e z a r a z z d e f i n i u j e m y f u n k c j . P o s Bo w i e k l u c z o w y m f u n c t i o n p o d a j e m y n a z w y
z m i e n n y c h , k t r y c h w a r t o [c i f u n k c j a z w r c i . W n a s z y m p r z y p a d k u j e s t t o p o j e d y n c z a z m i e n n a o
n a z w i e w y n i k a l e m o |e t o b y r w n i e | w e k t o r l u b m a c i e r z ( p r z y k Ba d y w d a l s z e j c z [c i r o z d z i a Bu ) .
N a s t p n i e z n a k r w n o [c i i n a z w a f u n k c j i , p o k t r e j w n a w i a s i e z n a j d u j e s i l i s t a a r g u m e n t w
p r z y j m o w a n y c h p r z e z f u n k c j ( u n a s s t o p i T ) .
% f u n k c j a o b l i c z a o b j t o [ m o l o w [ m ^ 3 / m o l ]
% p - c i [n i e n i e [ P a ]
% T - t e m p e r a t u r a [ K ]
W k o l e j n y c h t r z e c h l i n i j k a c h z a c z y n a j c y c h s i o d z n a k u % u m i e s z c z o n o k o m e n t a r z e m w i c e c o
f u n k c j a l i c z y o r a z w j a k i c h j e d n o s t k a c h p o d a w a a g u m e n t y w e j [c i o w e . L i n i e z a c z y n a j c e s i o d
z n a k u % s i g n o r o w a n e p r z e z M a t l a b - a , m o |e m y w n i c h w p i s a c o c h c e m y z w y k l e w Ba [n i e
j e d n o s t k i l u b j a k i [ k r t k i o p i s d z i a Ba n i a z n a j d u j c e g o s i w k o l e j n y c h l i n i j k a c h k o d u . K o m e n t a r z e
t a k i e n i e s k o n i e c z n e d o d z i a Ba n i a f u n k c j i a l e w a r t o j e p i s a , |e b y p o t e m n i e m i e w t p l i w o [c i c o
d o k Ba d n i e r o b i n a s z a f u n k c j a i j a k i c h p a r a m e t r w o d n a s o c z e k u j e .
R = 8 . 3 1 4 ; % [ J / ( m o l * K ) ]
w y n i k = R * T / p ;
e n d
D a l e j p o d o b n i e j a k w s k r y p c i e p i s z e m y c i g p o l e c e D, k t r e M a t l a b m a w y k o n a , w t e j c z [c i
o b l i c z a m y w a r t o [c i k t r e f u n k c j a m a z w r c i m y w t e j c z [c i d e f i n i u j e m y z m i e n n R
u n i w e r s a l n s t a B g a z o w o r a z o b l i c z a m y w y n i k m o l o w o b j t o [ g a z u . W o b l i c z e n i a c h
w y k o r z y s t u j e m y p r z e k a z a n e d o f u n k c j i a r g u m e n t y ( w n a s z y m p r z y k Ba d z i e a r g u m e n t y t o p i T ) .
D e f i n i o w a n i e f u n k c j i p o w i n n i [m y k o Dc z y s Bo w e m k l u c z o w y m e n d .
P o n i |e j p r z y k Ba d f u n k c j i , z w r a c a j c e j k i l k a w a r t o [c i :
f u n c t i o n [ f g ] = f g ( x )
% f u n k c j a o b l i c z a w a r t o [c i d w u f u n k c j i :
% f ( x ) = 2 x + 2
% g ( x ) = x ^ 2 + 2 x + 1
f = 2 * x + 2 ;
g = x ^ 2 + 2 * x + 1 ;
e n d
> > [ j k ] = f g ( 2 )
j =
6
k =
9
> > a = f g ( 2 ) ;
> >
P r z y j |y j s i o s t a t n i e m u w y d a n e m u p o l e c e n i u j a k m y [l i s z , c o p o w i n n o s i z n a l e z w z m i e n n e j a ?
P e w n i e s p o d z i e w a s z s i , |e a b d z i e w e k t o r e m z a w i e r a j c y m w a r t o [c i 6 i 9 , c z y l i :
[ 6 9 ]
N i e . Z m i e n n a a b d z i e m i a Ba w a r t o [ 6 . Z o s t a n i e p o d n i p o d s t a w i o n a p i e r w s z a w a r t o [ z w e k t o r a
z w r a c a n e g o p r z e z f u n k c j . P a m i t a j o t y m d z i k i t e m u u n i k n i e s z w i e l u b Bd w . K o l e j n y m c z s t o
1 9
p o p e Bn i a n y m b Bd e m j e s t u |y w a n i e w f u n k c j a c h o p e r a t o r w m n o |e n i a i p o t g o w a n i a
m a c i e r z o w e g o z a m i a s t o p e r a t o r w w y k o n u j c y c h t e o p e r a c j e e l e m e n t p o e l e m e n c i e .
A b y z i l o s t r o w a t e n p r o b l e m , s t w r z m y k o l e j n f u n k c j p o d o b n d o f g ( x ) :
f u n c t i o n [ f g ] = f g 1 ( x )
% f u n k c j a o b l i c z a w a r t o [c i d w u f u n k c j i :
% f ( x ) = 2 x + 2
% g ( x ) = x ^ 2 + 2 x + 1
f = 2 . * x + 2 ;
g = x . ^ 2 _ 2 . * x + 1 ;
e n d
R |n i c a m i d z y f g i f g 1 p o l e g a w y Bc z n i e n a t y m , |e o p e r a t o r y m n o |e n i a i p o t g o w a n i a
m a c i e r z o w e g o ( * i ^ ) z a s t p i o n o w f u n k c j i f g 1 o p e r a t o r a m i m n o |e n i a i p o t g o w a n i a e l e m e n t p o
e l e m e n c i e ( . ^ , . * ) . W y k o n a n i e p o n i |s z y c h p o l e c e D p o z w o l i n a m z o b a c z y r |n i c e m i d z y o b i e m a
f u n k c j a m i .
> > f g 1 ( 2 )
a n s =
6
> > [ j k ] = f g 1 ( 2 )
j =
6
k =
9
> > x = [ 1 : 1 : 5 ]
x =
1 2 3 4 5
> > [ j k ] = f g ( x )
? ? ? E r r o r u s i n g = = > m p o w e r
M a t r i x m u s t b e s q u a r e .
E r r o r i n = = > f g a t 6
g = x ^ 2 + 2 * x + 1 ;
> > [ j k ] = f g 1 ( x )
j =
4 6 8 1 0 1 2
k =
4 9 1 6 2 5 3 6
> >
J a k w i d a d l a p o j e d y n c z e g o a r g u m e n t u f u n k c j e f g i f g 1 d a j d o k Ba d n i e t a k i e s a m e r e z u l t a t y . W
k o l e j n e j o p e r a c j i t w o r z y m y w e k t o r x . C h c e m y o b l i c z y w a r t o [c i f u n k c j i f ( x ) i g ( x ) d l a k a |d e g o
e l e m e n t u w e k t o r a . W p r z y p a d k u u |y c i a f u n k c j i f g o t r z y m u j e m y b Bd :
? ? ? E r r o r u s i n g = = > m p o w e r
M a t r i x m u s t b e s q u a r e .
E r r o r i n = = > f g a t 6
g = x ^ 2 + 2 * x + 1 ;
B Bd w y n i k a z t e g o , |e c h c e m y p o d n o s i d o p o t g i m a c i e r z , k t r a n i e j e s t k w a d r a t o w , c o z g o d n i e
z d e f i n i c j p o t g o w a n i a m a c i e r z y j e s t o p e r a c j n i e d o z w o l o n . F u n k c j a f g 1 ( x ) d a j e p o |d a n y
r e z u l t a t w w e k t o r a c h k i j z n a j d u j s i o d p o w i e d n i o w a r t o [c i f u n k c j i f i g d l a k o l e j n y c h l i c z b w
w e k t o r z e x . P o d o b n i e w p r z y p a d k u o p e r a t o r w m n o |e n i a i d z i e l e n i a :
2 0
f u n c t i o n z = f ( x , y )
z = y * x ;
e n d
f u n c t i o n z = f 1 ( x , y )
z = y . * x ;
e n d
> > f u n 1 ( 1 , 2 )
a n s =
2
> > f u n ( 1 , 2 )
a n s =
2
> > f u n 1 ( x , y )
a n s =
0 0 . 5 0 0 0 2 . 0 0 0 0 4 . 5 0 0 0 8 . 0 0 0 0
> > f u n ( x , y )
? ? ? E r r o r u s i n g = = > m t i m e s
I n n e r m a t r i x d i m e n s i o n s m u s t a g r e e .
E r r o r i n = = > f u n a t 2
z = y * x ;
> >
W f u n k c j a c h z w y k l e p o w i n n i [m y u |y w a o p e r a t o r w w y k o n u j c y c h o p e r a c j e e l e m e n t p o
e l e m e n c i e , z a t e m z a p a m i t a j a b y o p e r a t o r w m a c i e r z o w y c h ( c z y l i t y c h n o r m a l n y c h , b e z k r o p k i ,
k t r y c h p o z a M a t l a b e m u |y w a m y p r a k t y c z n i e z a w s z e ) u |y w a t y l k o w t e d y k i e d y n a p r a w d c h o d z i
n a m o w y k o n a n i e o p e r a c j i p o t g o w a n i a / m n o |e n i a / d z i e l e n i a m a c i e r z y .
P o n i |e j z n a j d u j e s i p r o s t y p r z y k Ba d p o k a z u j c y d z i a Ba n i e [r e d n i k a n a k o Dc u l i n i i w e w n t r z f u n k c j i .
Z m o d f i k u j f u n k c j f g 1 ( x ) , u s u w a j c [r e d n i k z k o Dc a l i n i i , w k t r e j l i c z o n a j e s t w a r t o [ g ( x ) :
f u n c t i o n [ f g ] = f g 1 ( x )
% f u n k c j a o b l i c z a w a r t o [c i d w u f u n k c j i :
% f ( x ) = 2 x + 2
% g ( x ) = x ^ 2 + 2 x + 1
f = 2 . * x + 2 ;
g = x . ^ 2 _ 2 . * x + 1
e n d
> > x = [ 1 : 1 : 5 ]
x =
1 2 3 4 5
> > k = f g 1 ( x )
g =
4 9 1 6 2 5 3 6
k =
4 6 8 1 0 1 2
> > k = f g 1 ( x ) ;
g =
4 9 1 6 2 5 3 6
> >
Z w r u w a g , |e g d y l i n i j k a w f u n k c j i n i e j e s t z a k o Dc z o n a [r e d n i k i e m , w y n i k p r z e p r o w a d z o n e j w
n i e j o p e r a c j i z a w s z e z o s t a n i e w y [w i e t l o n y ( z w r u w a g n a o s t a n i e w y w o Ba n i e ) . S p r b u j u s u n
[r e d n i k r w n i e | z l i n i i , w k t r e j l i c z o n a j e s t w a r t o [ f u n k c j i f ( x ) .
2 1
4 . 3 Z m i e n n e g l o b a l n e
O p r c z a r g u m e n t w , r |n e w a r t o [c i m o |e m y p r z e k a z y w a d o f u n k c j i t a k |e j a k o z m i e n n e g l o b a l n e .
N i e j e s t t o e l e g a n c k i s p o s b i r a c z e j p o w i n n o s i g o u n i k a , j e d n a k c z a s a m i s p o s b t e n p o z w a l a
z n a c z n i e u p r o [c i s k r y p t y i f u n k c j e . N a p o c z t e k u t w r z f u n k c j :
f u n c t i o n f n 1 ( k )
k = k + 1
m = m + 2
e n d
N a s t p n i e w y k o n a j n a s t p u j c e p o l e c e n i a :
> > j = 4
j =
4
> > m = 3
m =
3
> > f n 1 ( j )
k =
5
? ? ? U n d e f i n e d f u n c t i o n o r v a r i a b l e ' m ' .
E r r o r i n = = > f n 1 a t 3
m
> > j
j =
4
> >
T w o r z y m y d w i e z m i e n n e j o r a z m . N a s t p n i e w y w o Bu j e m y f u n k c j , p r z e k a z u j c j e j j a k o
a r g u m e n t m . W f u n k c j i d o a r g u m e n t u d o d a w a n a j e s t l i c z b a j e d e n a l e z a u w a |, |e p o z a k o Dc z e n i u
d z i a Ba n i a f u n k c j i w a r t o [ j p o z o s t a Ba n i e z m i e n i o n a . F u n k c j a z g Ba s z a r w n i e | b Bd n i e
z d e f i n i o w a n o z m i e n n e j m . T e r a z z m o d y f i k u j f u n k c j f n 1 :
f u n c t i o n f n 1 ( k )
g l o b a l m
k = k + 1
m = m + 1
e n d
A n a s t p n i e w y d a j n a s t p u j c e p o l e c e n i a w o k n i e C o m m a n d W i n d o w :
> > c l e a r
> > g l o b a l m
> > j = 3
j =
3
> > m = 4
m =
4
> > f n 1 ( j )
k =
4
m =
5
> > m
2 2
m =
5
> > j
j =
3
T e r a z z m i e n n m d e f i n i u j e m y j a k o g l o b a l n . P a m i t a j , |e a b y u |y j a k i e j [ z m i e n n e j j a k o g l o b a l n e j
m u s i s z z d e k l a r o w a j j a k o g l o b a l n z a r w n o w s w o i m s k r y p c i e / w C o m m a n d W i n d o w j a k t e | w
k a |d e j f u n k c j i , k t r a z n i e j k o r z y s t a . N a s t p n i e t w o r z y m y z m i e n n j o w a r t o [c i 3 o r a z z m i e n n e j
g l o b a l n e j m n a d a j e m y w a r t o [ 4 . W y w o Bu j e m y f u n k c j f n 1 p o d o b n i e j a k p o p r z e d n i o . Z a u w a |, |e
w w y n i k u d z i a Ba n i a f u n k c j i w a r t o [ z m i e n n e j m z m i e n i Ba s i . Z a t e m k o l e j n r z e c z o k t r e j m u s i s z
p a m i t a j e [l i u |y w a s z z m i e n n y c h j e s t t o , |e p o z a k o Dc z e n i u d z i a Ba n i a f u n k c j i o p e r u j c e j n a t a k i c h
z m i e n n y c h i c h w a r t o [c i n i e p o w r a c a j a u t o m a t y c z n i e d o s t a n u s p r z e d w y w o Ba n i a f u n k c j i .
4 . 4 F u n k c j a j a k o a r g u m e n t i n n e j f u n k c j i
P r z e k a z a n i e f u n k c j i j a k o a r g u m e n t u d o i n n e j f u n k c j i j e s t b a r d z o p r z y d a t n m o |l i w o [c i .
S k o r z y s t a s z z n i e j n p . p o d c z a s c a Bk o w a n i a n u m e r y c z n e g o f u n k c j i . S t w o r z n a s t p u j c e p l i k i z
f u n k c j a m i :
f u n c t i o n y = f 1 ( x )
y = 2 * x . ^ 2 + 3 ;
e n d
f u n c t i o n y = f 2 ( x )
y = 2 * e x p ( x + 1 ) ;
e n d
f u n c t i o n y = f 3 ( x )
y = 2 * x + 1 ;
e n d
T e r a z s t w o r z y m y p r z y k Ba d o w f u n k c j , d o k t r e j b d z i e m y p r z e k a z y w a n a s z e f u n k c j e j a k o
a r g u m e n t y . F u n k c j a t a z w r c i r |n i c w a r t o [c i f u n k c j i p r e k a z a n e j j a k o f n _ 1 i f u n k c j i p r z e k a z a n e j
j a k o f n _ 2 d l a a r g u m e n t u x .
f u n c t i o n y = d i f f _ f u n ( f n _ 1 , f n _ 2 , x )
y = f n _ 1 ( x ) - f n _ 2 ( x ) ;
e n d
N a s t p n i e p r z e j d z d o o k n a C o m m a n d W i n d o w i s p r b u j w y k o n a n a s t p u j c e o p e r a c j e :
> > f o r m a t l o n g
> > x = [ 1 : 1 : 1 0 ]
x =
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0
> > d i f f _ f u n ( @ f 1 , @ f 2 , x )
a n s =
1 . 0 e + 0 5 *
C o l u m n s 1 t h r o u g h 3
- 0 . 0 0 0 0 9 7 7 8 1 1 2 1 9 7 9 - 0 . 0 0 0 2 9 1 7 1 0 7 3 8 4 6 4 - 0 . 0 0 0 8 8 1 9 6 3 0 0 0 6 6 3
C o l u m n s 4 t h r o u g h 6
- 0 . 0 0 2 6 1 8 2 6 3 1 8 2 0 5 2 - 0 . 0 0 7 5 3 8 5 7 5 8 6 9 8 5 5 - 0 . 0 2 1 1 8 2 6 6 3 1 6 8 5 6 9
C o l u m n s 7 t h r o u g h 9
- 0 . 0 5 8 6 0 9 1 5 9 7 4 0 8 3 5 - 0 . 1 6 0 7 5 1 6 7 8 5 5 1 5 0 8 - 0 . 4 3 8 8 7 9 3 1 5 8 9 6 1 3 4
2 3
C o l u m n 1 0
- 1 . 1 9 5 4 5 2 8 3 4 3 0 3 9 5 6
> > f 1 ( 1 ) - f 2 ( 1 )
a n s =
- 9 . 7 7 8 1 1 2 1 9 7 8 6 1 3 0 1
> > - 0 . 0 0 0 0 9 7 7 8 8 e 5
a n s =
- 9 . 7 7 8 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
> > d i f f _ f u n ( f 2 , f 3 , x )
? ? ? I n p u t a r g u m e n t " x " i s u n d e f i n e d .
E r r o r i n = = > f 2 a t 2
y = 2 * e x p ( x + 1 ) ;
> > d i f f _ f u n ( @ f 2 , @ f 3 , x )
a n s =
1 . 0 e + 0 5 *
C o l u m n s 1 t h r o u g h 3
0 . 0 0 0 1 1 7 7 8 1 1 2 1 9 7 9 0 . 0 0 0 3 5 1 7 1 0 7 3 8 4 6 4 0 . 0 0 1 0 2 1 9 6 3 0 0 0 6 6 3
C o l u m n s 4 t h r o u g h 6
0 . 0 0 2 8 7 8 2 6 3 1 8 2 0 5 2 0 . 0 0 7 9 5 8 5 7 5 8 6 9 8 5 5 0 . 0 2 1 8 0 2 6 6 3 1 6 8 5 6 9
C o l u m n s 7 t h r o u g h 9
0 . 0 5 9 4 6 9 1 5 9 7 4 0 8 3 5 0 . 1 6 1 8 9 1 6 7 8 5 5 1 5 0 8 0 . 4 4 0 3 3 9 3 1 5 8 9 6 1 3 4
C o l u m n 1 0
1 . 1 9 7 2 7 2 8 3 4 3 0 3 9 5 6
> >
Z w r u w a g n a s p o s b w y w o Ba n i a f u n k c j i , d o k t r e j j a k o p a r a m e t r y p r z e k a z u j e m y i n n e f u n k c j e .
d i f f _ f u n ( @ f 1 , @ f 2 , x )
P r z e d n a z w p r z e k a z y w a n e j f u n k c j i m u s i m y u m i e [c i z n a k @ . J e s t t o o p e r a t o r z w r a c a j c y t z w .
u c h w y t f u n k c j i , w y s t a r c z y j e d n a k , |e b y [ z a p a m i t a B |e g d y p r z e k a z u j e s z j a k o a r g u m e n t f u n k c j ,
p r z e d j e j n a z w p o w i n i e n n e [ u m i e [c i z n a k @ - i n a c z e j m o |e s z o t r z y m a b Bd y , t a k i e j a k n p . t e n :
> > d i f f _ f u n ( f 2 , f 3 , x )
? ? ? I n p u t a r g u m e n t " x " i s u n d e f i n e d .
E r r o r i n = = > f 2 a t 2
y = 2 * e x p ( x + 1 ) ;
U n i k n i e s z i c h s t a w i a j c z n a k @ p r z e d n a z w f u n k c j i p r z e k a z y w a n e j j a k o a r g u m e n t d o i n n e j
f u n k c j i .
4 . 5 Z n a j d o w a n i e m i e j s c z e r o w y c h d o w o l n e j f u n k c j i ( f z e r o )
J e d n y m z p r z y k Ba d w f u n k c j i d o k t r y c h p r z e k a z u j e s z j a k o a r g u m e n t w Ba s n f u n k c j , j e s t
w b u o w a n a w M a t l a b - a f z e r o . P o z w a l a o n a z n a l e z p u n k t , w k t r y m T w o j a f u n k c j a z w r a c a w a r t o [
z e r o . F u n k c j t m o |n a z a s t o s o w a d o f u n k c j i j e d n e j z m i e n n e j . J e j w y w o Ba n i e w y g l d a t a k :
x _ s z u k a n e = f z e r o ( @ f n , x 0 )
p o d z m i e n n x _ s z u k a n e p o d s t a w i o n y z o s t a n i e w y n i k x , p r z y k t r y m w a r t o [ z w r a c a n a p r z e z
f u n k c j f n j e s t r w n a z e r o . x 0 t o p u n k t , o d k t r e g o n a l e |y r o z p o c z p o s z u k i w a n i a . M i e j s c e z e r o w e
p o w i n n o z n a l e z s i w o k o l i c y t e g o p u n k t u . J e [l i w i e m y n a p r z y k Ba d d o j a k i e g o p r z e d z i a Bu m a
n a l e |e p o s z u k i w a n a w a r t o [ m o |e m y j a k o x 0 p o d a p u n k t , b d c y [r o d k i e m t e g o p r z e d z i a Bu .
D z i a Ba n i e f u n k c j i p o l e g a n a z n a l e z i e n i u w o k o l i c y p u n k t u x 0 p r z e d z i a Bu , n a k t r e g o k o Dc a c h
2 4
w a r t o [c i z w r a c a n e p r z e z f u n k c j m a j r |n e z n a k i a n a s t p n i e d o k Ba d n e z l o k a l i z o w a n i e m i e j s c a
z e r o w e g o w t y m p r z e d z i a l e .
R o z w i |e m y n a s t p u j c y p r o b l e m :
M a j c d a n e r w n a n i e :
2
1 1 . 1 7 "1 - x
x
= "
1 - x 1 - 1 . 1 7 "x
N a l e |y z n a l e z w a r t o [ x z p r z e d z i a Bu ( 0 ; 1 ) , d l a k t r e j = 1 . 7 6 . A b y m c u |y f u n k c j i f z e r o ,
m u s i m y p r z e k s z t a Bc i r w n a n i e d o p o s t a c i :
2
1 1 . 1 7 "1 - x
x
0 = " -
1 - x 1 - 1 . 1 7 "x
T w o r z y m y f u n k c j :
f u n c t i o n y = f 4 _ 5 ( x )
a = x . / ( 1 - x ) ;
b = ( 1 + 1 . 1 7 * ( 1 - x ) ) . / ( 1 - 1 . 1 7 * x ) ;
y = a . ^ 2 * b 1 . 7 6 ;
e n d
Z a p i s u j e m y j i p r z e c h o d z i m y d o o k n a C o m m a n d W i n d o w . T a m w y d a j e m y k o m e n d :
> > x = f z e r o ( @ f 4 _ 5 , 0 . 5 )
x =
0 . 4 2 1 7
> >
O t r z y m u j e m y p u n k t , w k t r y m w a r t o [ f u n k c j i f 4 _ 5 j e s t r w n a z e r o .
2 5
5 . P t l e i i n s t r u k c j e w a r u n k o w e
5 . 1 P t l a f o r
Z a B |m y , |e c h c e m y w y p e Bn i j e d n o w y m i a r o w t a b l i c l i c z b a m i o d 1 d o 1 0 . W y s t a r c z y w i c , |e
z a s t o s u j e m y n a s t p u j c y f r a g m e n t k o d u :
> > A ( 1 ) = 1 ;
> > A ( 2 ) = 2 ;
> > A ( 3 ) = 3 ;
i t a k d a l e j a | d o 1 0 . N i e c o p r o s t s z y m i e f e k t y w n i e j s z y m s p o s o b e m j e s t n p . z a s t o s o w a n i e
n a s t p u j c e g o k o d u :
> > A = [ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 1 0 ] ;
W c i | j e d n a k n i e j e s t t o j e d n a k m e t o d a n a j e f e k t y w n i e j s z a . G d y b y [m y m u s i e l i w y p e Bn i t a b l i c ,
k t r a p o s i a d a 1 0 0 0 p o z y c j i , j e j w y p e Bn i a n i e b y Bo b y d o s y m c z c e . T u t a j p o j a w i a s i m o |l i w o [
z a s t o s o w a n i a p t l i . D z i a Ba n i e p t l i m o |n a o k r e [l i w b a r d z o p r o s t y s p o s b : p o w t a r z a p e w i e n
f r a g m e n t p r o g r a m u o k r e [l o n i l o [ r a z y . D z i a Ba n i e p t l i p r z y b l i | t e r a z p r z y k Ba d e m :
f u n c t i o n f = f u n ( x )
f = x ^ 2 + 1 2 * x - 3 ;
T w o r z y m y s k r y p t o n a z w i e r u n . m :
k = 5 ;
f o r a = 1 : k
f u n ( a )
e n d
N a s t p n i e w o k n i e C o m m a n d W i n d o w w y d a j e m y p o l e c e n i e :
> > r u n
N a c i s k a m y e n t e r i n a e k r a n i e p o w i n i e n p o j a w i s i n a s t p u j c y k o d :
a n s =
1 0
a n s =
2 5
a n s =
4 2
a n s =
6 1
a n s =
8 2
T e r a z w y j a [n i e n i a :
M a m y f u n k c j d a n n a s t p u j c y m w z o r e m :
2 6
f ( x ) = x 2 + 1 2 x 3
C h c e m y o b l i c z y w a r t o [ t e j f u n k c j i d l a x o d 1 d o 5 i u |y d o t e g o c e l u p r o g r a m u M a t l a b . W t y m
c e l u :
% t w o r z y m y p l i k f u n . m , w t y m p l i k u u m i e s z c z a m y f u n k c j , k t r a n a s t p n i e b d z i e
w y w o By w a n a d l a k o l e j n y c h w a r t o [c i x
% t w o r z y m y p l i k r u n . m , t e n p l i k j e s t p l i k i e m w y k o n a w c z y m i w n i m u m i e s z c z a m y
p t l
% w c o m m a n d w i n d o w w p i s u j e m y r u n i o t r z y m u j e m y w y n i k i d z i a Ba n i a k o d u
P o n i e w a | z a k Ba d a m , |e c z y t e l n i k p o s i a d B j u | u m i e j t n o [ p i s a n i a w Ba s n y c h f u n k c j i , p r z e j d d o
o m w i e n i a p u n k t u , w k t r y m t w o r z y m y p l i k r u n . m . W 1 . l i n i j c e k o d u d e f i n i u j e m y z m i e n n k i
p r z y p i s u j e m y j e j w a r t o [ 5 . W 3 . l i n i j c e k o d u r o z p o c z y n a s i p t l a f o r . B u d o w a p t l i f o r j e s t
n a s t p u j c a :
n = 1 ;
k = 5 ;
f o r a = n : k
c o d e
e n d
P t l a z a c z y n a s i s Bo w e m k l u c z o w y m f o r . N a s t p n i e p o d a w a n y j e s t w a r u n e k d z i a Ba n i a p t l i . P t l a
b d z i e s i w y k o n y w a k - n + 1 r a z y . W w y |e j w y m i e n i o n y m p r z y p a d k u b d z i e t o 5 r a z y , a l e z a k i n
m o |n a p o d s t a w i d o w o l n e l i c z b y n a t u r a l n e o r a z 0 .
W m i e j s c u g d z i e z n a j d u j e s i w y r a z c o d e , u m i e s z c z a s i w s z y s t k i e i n s t r u k c j e , k t r e m a j b y
p o w t a r z a n e . W r o z p a t r y w a n y m w y |e j p r z y k Ba d z i e w m i e j s c u c o d e u m i e s z c z o n e j e s t w y w o Ba n i e
f u n k c j i o d z m i e n n e j a . Z m i e n n a a , n a z y w a n a t e | l i c z n i k i e m p t l i , w t r a k c i e d z i a Ba n i a p t l i
z m i e n i a s w o j w a r t o [ w z a k r e s i e o d n d o k z k r o k i e m r w n y m 1 . T a k w i c z a k a |d y m r a z e m
g d y z o s t a n i e w y w o Ba n a n a s z a f u n k c j a , w a r t o [ z m i e n n e j a b d z i e o 1 w i k s z a . N a k o Dc u
z n a j d u j e s i s Bo w o k l u c z o w e e n d , k t r e k o Dc z y p t l f o r .
W y j a [n i Be m j u | n a p r z y k Ba d z i e p o d s t a w y d z i a Ba n i a p t l i f o r . T e r a z p o r a n a b a r d z i e j s z c z e g Bo w e
o m w i e n i e . P t l a z a w s z e w y k o n u j e s i o k r e [l o n i l o [ r a z y . I l o [ t a z a w s z e z n a n a j e s t p r z e d
d e f i n i c j . K o l e j n e i t e r a c j e p t l i s z a l e |n e o d s p e Bn i e n i a w a r u n k u i l o [c i w y k o n a n y c h i t e r a c j i a n i e
w a r u n k u l o g i c z n e g o , c o m a m i e j s c e w p r z y p a d k u p t l i w h i l e " . Z m i e n n a , k t r a j e s t l i c z n i k i e m p t l i
( w n a s z y m p r z y k Ba d z i e z m i e n n a a ) , w k a |d e j i t e r a c j i z m i e n i a s i o 1 .
5 . 2 P t l a w h i l e
P t l a w h i l e p o d o b n i e j a k p t l a f o r s Bu |y d o w i e l o k r o t n e g o p o w t a r z a n i a k o d u . W o d r |n i e n i u o d
p t l i f o r i l o [ i t e r a c j i n i e j e s t z n a n a w m o m e n c i e p i s a n i a k o d u . D l a z o b r a z o w a n i a d z i a Ba n i a p t l i
p o s Bu |y m y s i p o p r z e d n i m p r z y k Ba d e m . Z a p o m o c p t l i w h i l e b d z i e m y o b l i c z a w a r t o [ f u n k c j i :
f ( x ) = x 2 + 1 2 x 3
w t y m c e l u p i s z e m y k o d :
f u n c t i o n f = f u n ( x )
f = x ^ 2 + 1 2 * x - 3 ;
2 7
o r a z t w o r z y m y s k r y p t r u n 2 . m
n = 1 ;
k = 5 ;
a = 1 ;
w h i l e a < = k
f u n ( a )
a = a + 1 ;
e n d
I u r u c h a m i a m y g o , w p i s u j c w o k n i e C o m m a n d W i n d o w :
> > r u n 2
w y n i k i :
a n s =
1 0
a n s =
2 5
a n s =
4 2
a n s =
6 1
a n s =
8 2
J a k w i d a z a s t o s o w a n i e p t l i w h i l e w t e j p o s t a c i d a j e t e n s a m e f e k t j a k p t l a f o r . W t y m j e d n a k
p r z y p a d k u p o w i n n i [m y z a s t o s o w a p t l w h i l e d o i n n y c h z a d a D. D o b r y m p r z y k Ba d e m b d z i e
z a s t o s o w a n i e p t l i w h i l e d o o b l i c z e n i a p o i l u i t e r a c j a c h w a r t o [ f u n k c j i o s i g n i e l u b p r z e k r o c z y
o c z e k i w a n w a r t o [. P r z y j m i j m y , |e w a r t o [c i g r a n i c z n w n a s z y m p r z y k Ba d z i e b d z i e z = 1 0 0 0 .
T e r a z p i s z e m y k o d :
f u n c t i o n f = f u n ( x )
f = x ^ 2 + 1 2 * x - 3 ;
t w o r z y m y s k r y p t r u n 3 . m
z = 1 0 0 0 ;
a = 1 ;
y = 0 ;
w h i l e y > = z
y = f u n ( a )
a = a + 1 ;
e n d
a
I u r u c h a m i a m y g o w p i s u j c w o k n i e C o m m a n d W i n d o w :
> > r u n 3
w y n i k i :
a =
2 8
2 8
O t r z y m a n a w a r t o [ 2 8 o z n a c z a , |e f u n k c j a o s i g n Ba l u b p r z e k r o c z y Ba w a r t o [ 1 0 0 0 p o 2 8
i t e r a c j a c h , c z y l i n a s z a f u n k c j a f ( x ) d l a x = 2 8 p r z y j m u j e w a r t o [:
f ( 2 8 ) > = 1 0 0 0 .
5 . 3 I n s t r u k c j a w a r u n k o w a i f
I n s t r u k c j e w a r u n k o w e , p o d o b n i e j a k p t l e , s p o t y k a s i w e w s z y s t k i c h j z y k a c h p r o g r a m o w a n i a .
S t o s u j e s i j e w m i e j s c a c h , w k t r y c h c h c e m y w z a l e |n o [c i o d w a r t o [c i j a k i e [ z m i e n n e j p o d j
j e d n o z k i l k u d z i a Ba D j a k i e o p i s a l i [m y w p r o g r a m i e . D o b r a n a l o g i d o i n s t r u k c j i w a r u n k o w e j j e s t
s k r z y |o w a n i e , n a k t r y m m o |e m y s k r c i w p r a w o l u b l e w o .
N a j p r o s t s z y m p r z y k Ba d e m i n s t r u k c j i w a r u n k o w e j j e s t t a k a k o n s t r u k c j a :
S k r y p t p r z y k l a d . m
i f w _ k t o r a _ s t r o n e = = ' w p r a w o '
u l i c a = ' u l . Z i e l o n a '
e n d
N a s t p n i e p r z e c h o d z i m y d o C o m m a n d W i n d o w :
> > w _ k t o r a _ s t r o n a = ' w p r a w o ' ;
> > p r z y k l a d
u l i c a =
u l . Z i e l o n a
W p r z y k Ba d z i e s t w o r z y l i [m y p l i k p r z y k l a d . m , w k t r y m u m i e s z c z o n a z o s t a Ba i n s t r u k c j a
w a r u n k o w a . N a s t p n i e p o z a p i s a n i u p l i k u d e f i n i u j e m y z m i e n n w _ k t o r a _ s t r o n a w c o m m a n d
w i n d o w . P o n a d a n i u j e j w a r t o [c i w y w o Bu j e m y p l i k z i n s t r u k c j w a r u n k o w . W t y m p r z y p a d k u
w a r u n e k z o s t a B s p e Bn i o n y i w y k o n a n y z o s t a B k o d z n a j d u j c y s i w e w n t r z i n s t r u k c j i .
O p r c z p r o s t y c h k o n s t r u k c j i , j a k t a w y |e j , m o |n a t w o r z y b a r d z o r o z b u d o w a n e w y r a |e n i a z
w i e l o m a o p c j a m i . A b y t o l e p i e j z o b r a z o w a z m o d y f i k u j e m y n a s z p r z y k Ba d z e s k r z y |o w a n i e m .
Z a B |m y , |e c h c e m y j a k o [ u r e g u l o w a r u c h n a s k r z y |o w a n i u c z t e r e c h u l i c . P o n i e w a | n i e c h c e m y ,
|e b y w k a |d u l i c m g B w j e c h a d o w o l n y s a m o c h d m u s i m y p o s t a w i j a k i e [ z n a k i , k t r e p e w n y m
p o j a z d o m z a b r a n i a By b y w j a z d u n a d a n u l i c . O k r e [l i l i [m y , |e b d z i e m y s i k i e r o w a 3 k r y t e r i a m i
- m a s p o j a z d u
- w y s o k o [c i p o j a z d u
- c z y w Ba [c i c i e l j e s t m i e s z k a Dc e m o s i e d l a
W t y m c e l u t w o r z y m y 3 z m i e n n e :
m a s a [ t o n ]
w y s o k o s c [ m ]
w l a s c i c i e l [ t a k / n i e ]
T e r a z m o d y f i k u j e m y n a s z p l i k p r z y k l a d . m d o t a k i e j p o s t a c i :
i f ( m a s a < 3 . 5 ) & ( w y s o k o s c < 5 )
w y n i k = ' m o z e j e c h a c w p r a w o '
2 9
e l s e i f ( m a s a < 3 . 5 ) & ( w l a s c i c i e l = = ' t a k ' )
w y n i k = ' m o z e j e c h a c w l e w o '
e l s e i f w y s o k o s c < 3 . 5
w y n i k = ' m o z e j e c h a c p r o s t o '
e l s e
w y n i k = ' n i e m o z e j e c h a c w z a d n y m k i e r u n k u '
e n d
N a s t p n i e p r z e c h o d z i m y d o o k n a C o m m a n d W i n d o w :
> > m a s a = 3 ;
> > w y s o k o s c = 3 . 5 ;
> > w l a s c i c i e l = ' t a k ' ;
> > p r z y k l a d
w y n i k =
m o z e j e c h a c w p r a w o
> > m a s a = 2 . 5 ;
> > w y s o k o s c = 1 . 8 ;
> > w l a s c i c i e l = ' n i e ' ;
> > p r z y k l a d
w y n i k =
m o z e j e c h a c w p r a w o
> > m a s a = 5 ;
> > w y s o k o s c = 4 ;
> > w l a s c i c i e l = ' n i e ' ;
> > p r z y k l a d
w y n i k =
n i e m o z e j e c h a c w z a d n y m k i e r u n k u
J a k w i d a z a p o m o c b a r d z i e j z Bo |o n y c h i n s t r u k c j i w a r u n k o w y c h m o |e m y z n a c z n i e p r e c y z y j n i e j
o k r e [l a j a k i k o d m a z o s t a w y k o n a n y w z a l e |n o [c i o d g r u p y z m i e n n y c h . J e s t t o b a r d z o p r z y d a t n e
p r z y p i s a n i u b a r d z i e j z Bo |o n y c h a l g o r y t m w . D o b r y m p r z y k Ba d e m j e s t n p . d o k Ba d n o [ r w n a D
s t a n u g a z w w z a l e |n o [c i o d c i [n i e n i a i t e m p e r a t u r y p a n u j c y c h w u k Ba d z i e . G d y b y [m y c h c i e l i
o b l i c z y z a l e |n o [ c i [n i e n i a o d t e m p e r a t u r y i o b j t o [c i i n a r y s o w a w y k r e s d l a b a r d z o d u |e g o
z a k r e s u c i [n i e n i a , w w c z a s m u s i e l i b y [m y u |y k i l k u r w n a D s t a n u g a z u , p o t o |e b y
z m i n i m a l i z o w a b Bd o b l i c z e D.
T w o r z y m y s k r y p t g a z . m
% d e k l a r u j e m y z m i e n n e
n = 1 ; % l i c z n o s c = 1 m o l
R = 8 . 3 1 4 ; % s t a Ba g a z o w a
V = 0 . 0 2 2 4 ; % o b j e t o [ 1 m o l a w c u m w a r u n k a c h n o r m a l n y c h
% w s p o l c z y n n i k i r o w n a n i a s z t y w n y c h k u l i v a n d e r W a a l s ' a d l a
m e t a n u
a = 0 . 2 2 8 ;
b = 4 2 . 8 e - 6 ;
% t w o r z y m y p e t l e
f o r T = 1 : 1 5 0 0
% i n s t r u k c j a w a r u n k o w a - w y b i e r a n i e r o w n a n i a s t a n u g a z u
i f T < 5 0 0
% r o w n a n i e s t a n u g a z u d o s k o n a l e g o
p = ( n * R * T ) / V ;
e l s e i f ( T > = 5 0 0 ) & ( T < 1 0 0 0 )
% r o w n a n i e s z t y w n y c h k u l
p = ( n * R * T ) / ( V - n * b ) ;
e l s e i f T > = 1 0 0 0
% r o w n a n i e v a n d e r W a a l s ' a
p = ( ( n * R * T ) / ( V - n * b ) ) + ( a * n ^ 2 ) / ( V ^ 2 ) ;
3 0
e n d ;
t e m p e r a t u r a ( T ) = T ;
c i s n i e n i e ( T ) = p ;
e n d ;
p l o t ( t e m p e r a t u r a , c i s n i e n i e ) ;
W C o m m a n d W i n d o w u r u c h a m i a m y n a s z s k r y p t .
> > g a z
J a k o e f e k t j e g o d z i a Ba n i a p o w i n n i [m y o t r z y m a n a s t p u j c y w y k r e s :
5
x 1 0
6
5
4
3
2
1
0
0 5 0 0 1 0 0 0 1 5 0 0
W k o d z i e u z a l e |n i l i [m y w y b r r w n a n i a s t a n u g a z u o d t e m p e r a t u r y p a n u j c e j w u k Ba d z i e . W
r e z u l t a c i e o t r z y m a l i [m y t a b l i c p u n k t w , z k t r e j w y d r u k o w a l i [m y w y k r e s .
3 1
6 . G r a f i k a w M a t l a b i e
K o Dc o w y m e t a p e m w i k s z o [c i o b l i c z e D i n |y n i e r s k i c h j e s t g r a f i c z n a p r e z e n t a c j a o t r z y m a n y c h
w y n i k w . I n t e r p r e t a c j a n i e k t r y c h , b a r d z o s k o m p l i k o w a n y c h c z a s a m i , o b l i c z e D n i e b y Ba b y m o |l i w a
g d y b y n i e i s t n i e n i e f u n k c j i g r a f i c z n y c h u m o |l i w i a j c y c h w p r o s t y s p o s b t w o r z e n i e w y k r e s w c z y
d i a g r a m w . J e s t t o r w n i e | j e d e n z p r o s t s z y c h s p o s o b w n a s p r a w d z e n i e p o p r a w n o [c i o b l i c z e D.
O p e r u j c m a c i e r z a m i o k i l k u n a s t u c z y k i l k u d z i e s i c i u w y m i a r a c h n i e j e s t e [m y w s t a n i e s t w i e r d z i ,
c z y o t r z y m a n e w a r t o [c i m a j s e n s f i z y c z n y a i c h z m i a n y w c z a s i e n i e p r z e c z p r a w o m n a t u r y .
6 . 1 F u n k c j a p l o t
F u n k c j a p l o t j e s t p o d s t a w o w y m n a r z d z i e m s Bu |c y m d o t w o r z e n i a d w u w y m i a r o w y c h
w y k r e s w . A r g u m e n t a m i t e j f u n k c j i s c i g i l i c z b , r e p r e z e n t o w a n y c h p r z e z n a z w l u b
w p i s y w a n y c h w p r o s t .
W p i s u j c w o k n o p o l e c e D:
> > a = [ 1 . 2 3 3 . 4 5 5 . 9 8 7 . 4 3 9 . 5 6 ] ;
> > b = [ 1 3 4 6 8 ] ;
> > p l o t ( a , b )
w o s o b n y m o k n i e o t w o r z y s i w y k r e s a u t o m a t y c z n i e n a z w a n y F i g u r e 1 :
8
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0
W e k t o r y a i b s o d p o w i e d n i o w a r t o [c i a m i r z d n y c h i o d c i t y c h . G d y a r g u m e n t e m j e s t n a t o m i a s t
t y l k o j e d e n w e k t o r , r z d n s t a j e s i j e g o i n d e k s l u b , w p r z y p a d k u l i c z b z e s p o l o n y c h , O X s t a j e s i
o s i r z e c z y w i s t , a O Y o s i u r o j o n .
6 . 2 E d y c j a w y k r e s u
J a k w i d a n a p o w y |s z y m p r z y k Ba d z i e M A T L A B d o m y [l n i e f o r m a t u j e w y k r e s y w p e w i e n o k r e [l o n y
3 2
s p o s b , i c h w y g l d m o |n a z m i e n i n a d w a s p o s o b y . P i e r w s z y z n i c h t o e d y c j a o t r z y m a n e g o j u |
w y k r e s u p o p r z e z p o l e c e n i a w p a s k u n a r z d z i I N S E R T o r a z T O O L S ' E D I T P L O T :
w s t a w i a n i e n a z w y o s i O X
w s t a w i a n i e n a z w y o s i O Y
w s t a w i e n i e t y t u Bu
w s t a w i e n i e l e g e n d y
J e s t t o s p o s b n a s z y b k i e z a t y t u Bo w a n i e
w y k r e s u b e z p o t r z e b y w c h o d z e n i a w
t r y b e d y c j i .
T r y b e d y c j i u m o |l i w i a m i d z y i n n y m i
z m i a n :
- t y t u Bu w y k r e s u i o s i
- g r u b o [c i , k o l o r u , t y p u l i n i i i
z n a c z n i k w
- s k a l a i z a k r e s w a r t o [c i n a o s i
- r o d z a j i w i e l k o [ c z c i o n k i
- k o l o r u t Ba
- s i a t k i
- a n a w e t d a n y c h ( z d o s t p n y c h w
p a m i c i - o i l e z g a d z a s i w y m i a r o b u
w e k t o r w )
Z m i a n y t e m o g b y w p r o w a d z a n e
r w n i e | o d p o w i e d n i m i i n s t r u k c j a m i z
o k n a p o l e c e D, u |y w a n i e t r y b u e d y c j i
w y k r e s u j e s t j e d n a k z n a c z n i e p r o s t s z e
d l a u |y t k o w n i k w p o r u s z a j c y c h s i n a
c o d z i e D w [w i e c i e W i n d o w s a .
D r u g i m s p o s o b e m f o r m a t o w a n i a w y k r e s w j e s t w p r o w a d z e n i e d o d a t k o w e j z m i e n n e j d o f u n k c j i
P L O T . D e c y d u j e o n a o r o d z a j u , w i e l k o [c i , k o l o r z e z n a c z n i k w o r a z l i n i i i n t e r p o l a c y j n e j . Z m i a n y t e
3 3
s p e c y f i k u j e s i u |y w a j c o d p o w i e d n i c h o z n a c z e D w p i s y w a n y c h w p o j e d y n c z y c h n a w i a s a c h :
S y m b o l K o l o r S y m b o l S t y l l i n i i
r C z e r w o n y - L i n i a c i g Ba
b N i e b i e s k i - - L i n i a p r z e r y w a n a
m R |o w y : L i n i a k r o p k o w a n a
k c z a r n y - . L i n i a p u n k t o w a
g Z i e l o n y
y { Bt y
W d o m y [l n y c h w y k r e s a c h n i e s s t o s o w a n e z n a c z n i k i , c o j e s t k o r z y s t n e g d y o p e r u j e m y n a d u |e j
i l o [c i p u n k t w j e d n a k z w y k l e w a r t o d o k Ba d n i e z a z n a c z y p u n k t y , g d y n a j e d n y m w y k r e s i e
u m i e s z c z a m y k i l k a s e r i i d a n y c h . Z n a c z n i k a m i m o g b y : + , " , * , x , . , d - r o m b , s -
k w a d r a t .
D z i k i t y m o z n a c z e n i o m m o |n a p o l e p s z y w y g l d p o w y |s z e g o w y k r e s u , w p i s u j c w o k n o p o l e c e D:
> > p l o t ( a , b , ' * k - - ' ) % k o l e j n o [ w p i s y w a n i a s y m b o l i n i e m a z n a c z e n i a
o t r z y m a m y :
8
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0
J a k w i d a g r u b o [ l i n i i j e s t z a w s z e t a k a s a m a , k o l o r z n a c z n i k w n a t o m i a s t z a w s z e o d p o w i a d a
k o l o r o w i l i n i i . M o |n a t o z m i e n i s t o s u j c n a s t p u j c e p o l e c e n i a :
p o l e c e n i e D z i a Ba n i e
m a r k e r s i z e
Z m i a n a w i e l k o [ z n a c z n i k w
l i n e w i d t h
Z m i a n a g r u b o [c i l i n i i
m a r k e r f a c e c o l o r
Z m i a n a k o l o r u w y p e Bn i e n i a z n a c z n i k w
m a r k e r e d g e c o l o r
Z m i a n a k o l o r u k r a w d z i z n a c z n i k w
3 4
P o l e c e n i a t e w p i s u j e s i w p o j e d y n c z y c h n a w i a s a c h , o d d z i e l a j c j e o d i n n y c h o z n a c z e D
p r z e c i n k i e m ( w a r t o [c i g r u b o [c i l i n i i c z y w i e l k o [c i z n a c z n i k w n a l e |y j e d n a k w p i s a b e z
n a w i a s w ) , n p .
> > p l o t ( a , b , ' * k - - ' , m a r k e r s i z e , 2 0 )
D o d a t k o w e k o m e n d y p o m o c n e w t w o r z e n i u w y k r e s w :
> > t i t l e ( ' t y t u l w y k r e s u ' )
> > x l a b e l ( ' n a z w a o s i O X ' )
> > y l a b e l ( ' n a z w a o s i O Y ' )
> > x l i m ( [ 2 6 7 ] ) % u s t a w i e n i e z a k r e s u o s i O X %
> > y l i m ( ' a u t o ' ) % p r z y w r c e n i e a u t o m a t y c z n e g o u s t a w i e n i a z a k r e s u
o s i O Y %
A b y j e d n o c z e [n i e u s t a w i z a k r e s o b u o s i m o |n a p o s Bu |y s i p o l e c e n i e m a x i s , k t r e g o
a r g u m e n t e m j e s t w e k t o r z z a k r e s e m w a r t o [c i d l a o b u o s i :
> > a x i s ( [ 2 4 6 9 ] )
D z i k i k o m e n d o m a x i s m o |n a s t e r o w a s k a l a m i o s i :
p o l e c e n i e f u n k c j a
a x i s m a n u a l
o b e c n e z a k r e s y o s i s s t o s o w a n e d o
n a s t p n y c h w y k r e s w t w o r z o n y c h n a t y m
s a m y m w y k r e s i e ( z z a s t o s o w a n i e m p o l e c e n i a
h o l d o n
a x i s a u t o
p r z y w r a c a n e j e s t a u t o m a t y c z n e d o b i e r a n i e
s k a l i o s i p r z e z p r o g r a m
a x i s t i g h t
z a k r e s s k a l i j e s t [c i [l e d o s t o s o w a n y d o
w a r t o [c i d a n y c h n a w y k r e s i e
a x i s s q u a r e
s k a l a o s i z m i e n i a s i b y p o l e w y k r e s u b y Bo
k w a d r a t e m
6
5
4
3
2
1
0
- 1
- 2
- 3
- 1 0 - 5 0 5 1 0
a s i x e q u a l
s k a l e o b u o s i s t a j s i t a k i e s a m e
3 5
8
6
4
2
0
- 2
- 4
- 1 0 - 8 - 6 - 4 - 2 0 2 4 6 8 1 0
a x i s i m a g e
a n a l o g i c z n i e d o a x i s e q u a l s k a l e o b u
o s i s i d e n t y c z n e n a t o m i a s t p o l e w y k r e s u j e s t
d o s t o s o w y w a n e [c i [l e d o o s i g a n y c h
6 w a r t o [c i
4
2
0
- 2
- 1 0 - 8 - 6 - 4 - 2 0 2 4 6 8 1 0
W p r a k t y c e i n |y n i e r s k i e j j a k w i a d o m o c z s t o s t o s u j e s i s k a l e l o g a r y t m i c z n e . I w t y m p r z y p a d k u
M A T L A B p r z y c h o d z i n a m z p o m o c . A b y j e d n a l u b o b i e o s i e p r z e s t a w i n a s k a l e l o g a r y t m i c z n
w y s t a r c z y z a s t p i p o l e c e n i e p l o t j e d n y m z n a s t p u j c y c h :
p o l e c e n i e f u n k c j a
s e m i l o g x
s k a l a l o g a r y t m i c z n a d l a o s i
O X
s e m i l o g y
s k a l a l o g a r y t m i c z n a d l a o s i
O Y
l o g l o g
o b i e o s i e w s k a l i
l o g a r y t m i c z n e j
6 . 3 . H o l d o n
C z s t o r w n i e | n a j e d n y m w y k r e s i e c h c e m y z a m i e [c i k i l k a k r z y w y c h . M o |n a t o o s i g n n a d w a
s p o s o b y . J e d e n z n i c h w y m a g a u |y c i a n o w e g o p o l e c e n i a : h o l d o n l u b h o l d a l l . D z i k i
n i e m u k a |d e k o l e j n e u |y c i e p l o t ( l u b i n n e g o a n a l o g i c z n e g o p o l e c e n i a ) s p o w o d u j e d o d a n i e
n o w e j k r z y w e j d o i s t n i e j c e g o j u | w y k r e s u d o m o m e n t u g d y z a s t o s u j e m y h o l d o f f , p r z y
c z y m k o m e n d a h o l d a l l z a p e w n i a p r z y d z i e l a n i e k a |d e j k o l e j n e j k r z y w e j i n n e g o k o l o r u .
U |y c i e h o l d o n n a t o m i a s t o z n a c z a i d e n t y c z n e f o r m a t o w a n i e k a |d e j k o l e j n e j k r z y w e j .
> > p l o t ( y , x ) > > p l o t ( x , y )
> > h o l d a l l > > h o l d o n
> > p l o t ( x , y ) > > p l o t ( y , x )
3 6
1 0 1 0
9
9
8
8
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0
6 . 4 S u b p l o t
W m o m e n c i e g d y s e r i e d a n y c h k t r e c h c e m y u m i e [c i n a w y k r e s i e r |n i s i w a r t o [c i a m i n a t y l e ,
|e j e d n e z n i c h s p r a k t y c z n i e n i e w i d o c z n e w a r t o u |y k o m e n d y s u b p l o t d z i k i k t r e j w
j e d n y m o k n i e m o |e m y u m i e [c i k i l k a w y k r e s w . A r g u m e n t a m i t e j f u n k c j i s t r z y w a r t o [c i : l i c z b a
k o l u m n , l i c z b a w i e r s z y o r a z n u m e r p o z y c j i w k t r e j m a s i z n a l e z d a n y w y k r e s :
> > s u b p l o t ( 2 , 2 , 3 ) % t w o r z o n e s c z t e r y p o z y c j e , a d a n y w y k r e s
z n a j d u j e s i w t r z e c i e j %
P o z y c j e n u m e r o w a n e s o d s t r o n y l e w e j d o p r a w e j i o d w i e r s z a g r n e g o w d B. J e |e l i c h c e m y d a n y
w y k r e s u m i e [c i w z a j t y m j u | m i e j s c u w y s t a r c z y d o p o l e c e n i a w p i s a r e p l a c e :
> > s u b p l o t ( 2 , 2 , 3 , ' r e p l a c e ' )
P o p o l e c e n i u s u b p l o t m u s i w y s t p i k o l e j n e p r e c y z u j c e c o i j a k c h c e m y w y k r e [l i :
> > s u b p l o t ( 2 , 1 , 1 ) ; f p l o t ( @ ( x ) x ^ 2 + x - 1 2 , [ 1 3 . 5 ] )
> > s u b p l o t ( 2 , 1 , 2 ) ; f p l o t ( @ ( x ) e x p ( x ) - 3 . 5 * x , [ 0 2 . 4 ] )
P o p o w y |s z y c h p o l e c e n i a c h o t r z y m a m y n a s t e p u j c e d w a w y k r e s y :
5
0
- 5
- 1 0
1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 5
3
2
1
0
- 1
0 0 . 5 1 1 . 5 2
3 7
P o d o b n y e f e k t m o |n a u z y s k a e d y t u j c p o w s t a By j u | w y k r e s :
D o d a w a n i e n o w y c h w y k r e s w d o
o t w a r t e g o j u | o k n a
6 . 5 I n t e r p o l a c j a
P r z y n i e z w y k Be j m n o g o [c i p o l e c e D u m o |l i w i a j c y c h f o r m a t o w a n i e w y k r e s w j e d n e j i c h c e c h y n i e
m o |n a z m i e n i w p r o s t - c h a r a k t e r u l i n i i i n t e r p o l a c y j n e j . P r z y d u |e j l i c z b i e p u n k t w n i e m a t o
z n a c z e n i a g d y | b d z i e p r a k t y c z n i e n i e w i d o c z n a j e d n a k d l a k i l k u n a s t u p u n k t w w y k r e s m o |e
o k a z a s i z b y t k a n c i a s t y . A b y t o z m i e n i n a l e |y p o s Bu |y s i f u n k c j i n t e r p 1 , k t r a s Bu |y
d o i n t e r p o l a c j i f u n k c j i j e d n e j z m i e n n e j . P r z y p r a c y z f u n k c j a m i d w c h z m i e n n y c h n a l e |y
p o s Bu g i w a s i i n t e r p 2 a d l a a m b i t n y c h p r b u j c y c h d z i a Ba w p r z e s t r z e n i t r z e c h z m i e n n y c h
p o w s t a Bo i n t e r p 3 . A l g o r y t m p o s t p o w a n i a w p r z y p a d k u k a |d e j z p o w y |s z y c h f u n k c j i j e s t t a k i
s a m . T w o r z c w y k r e s , n a k t r y n a n o s i m y p u n k t y d o [w i a d c z a l n e a u t o m a t y c z n i e s o n e Bc z o n e
p r o s t , d l a t e g o p r z e d d o d a n i e m k r z y w e j i n t e r p o l a c y j n e j n a l e |y t e p r o s t a u s u n .
> > x = 0 : 1 0 ;
> > y = a t a n ( x ) ;
> > p l o t ( x , y , ' o ' )
K o l e j n y m k r o k i e m j e s t s t w o r z e n i e p u n k t w d l a d a n e g o z a k r e s u a r g u m e n t w :
> > x 1 = l i n s p a c e ( 0 , 1 0 , 2 0 0 ) ; % a b y k r z y w a i n t e r p o l a c y j n a b y Ba p By n n a
n a l e |y w d a n y m p r z e d z i a l e w y g e n e r o w a d o [ d u | l i c z b a r g u m e n t w
%
> > y 1 = i n t e r p 1 ( x , y , x 1 , ' s p l i n e ' ) ;
W e f e k c i e o t r z y m a m y n a s t p u j c y w y k r e s ( d l a p o r w n a n i a z a m i e s z c z o n o r w n i e | w y k r e s t e j s a m e j
f u n k c j i b e z u |y c i a i n t e r p o l a c j i ) :
1 . 5 1 . 5
1 1
0 . 5 0 . 5
0 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0
A r g u m e n t a m i f u n k c j i i n t e r p 1 s j a k w i d a w p o w y |s z y m p r z y k Ba d z i e : p u n k t y m i d z y k t r y m i
3 8
m a p r z e b i e g a k r z y w a i n t e r p o l a c y j n a , w y g e n e r o w a n e a r g u m e n t y o r a z e l e m e n t d e c y d u j c y o
r o d z a j u i n t e r p o l a c j i . O p r c z z a s t o s o w a n e g o w p r z y k Ba d z i e p o l e c e n i a s p l i n e ( j e d n a z
i n t e r p o l a c j i k w a d r a t o w y c h ) m o |n a w y b r a r w n i e |:
p o l e c e n i e r o d z a j k r z y w e j
l i n e a r
i n t e r p o l a c j a l i n i o w a - p o w s t a Be o d c i n k i s
w i e l o m i a n e m p i e r w s z e g o s t o p n i a
c u b i c
i n t e r p o l a c j a k w a d r a t o w a - p o w s t a Be o d c i n k i s
w i e l o m i a n a m i d r u g i e g o s t o p n i a
n e a r e s t
m e t o d a n a j b l i |s z e g o s s i a d a -
w y g e n e r o w a n e a r g u m e n t y p r z y j m u j w a r t o [
d l a n a j b l i |s z e g o p u n k t u
J e |e l i p o d c z a s i n t e r p o l a c j i n i e u [c i [l i m y j e j r o d z a j u w y k o n a n e o b l i c z e n i a b d d o t y c z y
i n t e r p o l a c j i l i n i o w e j , c z y l i u z y s k a n y e f e k t b d z i e p r a w i e i d e n t y c z n y j a k w p r z y p a d k u b r a k u
j a k i e j k o l w i e k n a s z e j i n g e r e n c j i .
6 . 6 F u n k c j a f p l o t
K o r z y s t a j c z e z n a n y c h j u | n a r z d z i , a b y s t w o r z y w y k r e s z d e f i n i o w a n e j f u n k c j i n a l e |y o b l i c z y
j e j w a r t o [c i d l a z a d a n e g o z b i o r u a r g u m e n t w :
> > x = l i n s p a c e ( 2 , 1 0 , 5 ) ;
> > y = e x p ( x ) ;
> > p l o t ( x , y )
P r o c e s t e n z n a c z n i e u Ba t w i a f u n k c j a F P L O T , k t r a w y k o n u j e p r a k t y c z n i e c a Ba p r a c z a n a s .
A r g u m e n t a m i t e j f u n k c j i s : z d e f i n i o w a n a w c z e [n i e j f u n k c j a o r a z z a k r e s d l a k t r e g o c h c e m y
s t w o r z y w y k r e s . Z a k r e s t e n m o |e d o t y c z y z a r w n o a r g u m e n t w j a k i w a r t o [c i f u n k c j i :
> > f p l o t ( @ s i n , [ 2 5 - 0 . 6 0 . 6 ] ) > > f p l o t ( @ s i n , [ 2 5 ] )
% w y k r e s f u n k c j i f ( x ) = s i n ( x ) d l a % w y k r e s f u n k c j i f ( x ) = s i n ( x ) d l a
a r g u m e n t w z p r z e d z i a Bu ( 2 , 5 ) z a r g u m e n t w z p r z e d z i a Bu ( 2 , 5 )
o g r a n i c z e n i e m w a r t o [c i f u n k c j i
o d - 0 . 6 d o 0 . 6 %
1
0 . 5
0 . 8
0 . 4
0 . 6
0 . 3
0 . 4
0 . 2
0 . 2
0 . 1
0
0
- 0 . 1
- 0 . 2
- 0 . 2
- 0 . 4
- 0 . 3
- 0 . 6
- 0 . 4
- 0 . 5
- 0 . 8
- 1
2 2 . 5 3 3 . 5 4 4 . 5 5
2 2 . 5 3 3 . 5 4 4 . 5 5
J a k w i d a a p r z y k Ba d z i e p r o g r a m a u t o m a t y c z n i e d o b i e r a p r z e d z i a B w a r t o [c i f u n k c j i ( o d m i n i m a l n e j
3 9
d o m a k s y m a l n e j o s i g a n e j p r z e z d a n a f u n k c j w w y b r a n y m p r z e d z i a l e ) . J e [l i j e d n a k c h c e m y
o s i g n e f e k t z o o m u n a l e |y u [c i [l i o b a p r z e d z i a By .
F u n k c j a u |y t a w p o l e c e n i u p o w i n n a b y w c z e [n i e j z d e f i n i o w a n a j e d n a k m o |l i w e j e s t w y p i s a n i e
m a t e m a t y c z n e j f o r m u By ( g d y p r z y k Ba d o w o w i e m y , |e n i e b d z i e m y w p r z y s z Bo [c i k o r z y s t a z d a n e j
f u n k c j i ) :
> > f p l o t ( @ ( x ) s i n ( x ) + c o s ( x ) - 1 , [ 2 1 0 ] )
0 . 5
0
- 0 . 5
- 1
- 1 . 5
- 2
- 2 . 5
2 3 4 5 6 7 8 9 1 0
4 0
7 . C a Bk o w a n i e
M a t l a b o f e r u j e w i e l e f u n k c j i s l u |c y c h d o c a Bk o w a n i a n u m e r y c z n e g o . O m w i m y d w i e z n i c h
o d e 4 5 n a j p o p u l a r n i e j s z i n a j b a r d z i e j u n i w e r s a l n f u n k c j c a Bk u j c d o s t p n w M a t l a b - i e o r a z
f u n k c j t r a p z i m l p e m e n t u j c o b l i c z a n i e c a Be k m e t o d t r a p e z w .
N a p o c z t e k r o z w a |m y p r o s t f u n k c j :
y = x 2
C a Bk a n i e o z n a c z o n a z t e j f u n k c j i t o o c z y w i [c i e
1
z = x 3
3
7 . 1 F u n k c j a t r a p z
Z a c z n i e m y o d t r a p z . F u n k c j , t a k j a k w i k s z o [ f u n k c j i p r o g r a m u M a t l a b m o |e m y w y w o Ba n a
w i e l e s p o s o b w . S z c z e g Bo w e i n f o r m a c j e i o p i s f u n k c j i o t r z y m a s z , w p i s u j c h e l p t r a p z w o k n i e
C o m m a n d W i n d o w . M y b d z i e m y k o r z y s t a z w y w o Ba n i a , w k t r y m j a k o a r g u m e n t y p r z e k a z u j e m y
w e k t o r y w a r t o [c i X i Y . O b l i c z a n i e c a Bk i m e t o d t r a p e z w z i l u s t r o w a n o n a p o n i |s z y m r y s u n k u :
I l u s t r a c j a c a Bk o w a n i a m e t o d t r a p e z w
C a Bk o w a n i e t m e t o d p o l e g a n a p r z y b l i |a n i u p r z e b i e g u f u n k c j i p o m i d z y k o l e j n y m i z n a n y m i
p u n k t a m i l i n i a m i p r o s t y m i i o b l i c z e n i u s u m a r y c z n e g o p o l a p o w s t a By c h t y m s p o s o b e m t r a p e z w .
F u n k c j a t a p r z y d a j e s i g d y m a m y n p . p u n k t y p o m i a r o w e i m u s i m y o b l i c z y p r z y b l i |o n e p o l e p o d
k r z y w u t w o r z o n z t y c h p u n k t w . P r z y k Ba d u |y c i a f u n k c j i t r a p z p o n i |e j :
> > x 1 = [ 0 : 1 : 1 0 ] ;
> > x 2 = [ 0 : 0 . 1 : 1 0 ] ;
> > x 3 = [ 0 : 0 . 0 1 : 1 0 ] ;
> > y 1 = x 1 . ^ 2 ;
> > y 2 = x 2 . ^ 2 ;
> > y 3 = x 3 . ^ 2 ;
> > z 1 = t r a p z ( x 1 , y 1 )
z 1 =
3 3 5
> > z 2 = t r a p z ( x 2 , y 2 )
z 2 =
3 3 3 . 3 5 0 0
> > z 3 = t r a p z ( x 3 , y 3 )
z 3 =
3 3 3 . 3 3 3 5
> > 1 / 3 * ( 1 0 ^ 3 )
a n s =
3 3 3 . 3 3 3 3
4 1
> >
P i e r w s z e t r z y o p e r a c j e t o u t w o r z e n i e w e k t o r w d l a z m i e n n e j n i e z a l e |n e j ( x ) o r z n y m
z a g s z c z e n i u p u n k t w w t y m s a m y m p r z e d z i a l e . N a s t p n i e d l a k a |d e g o z t y c h w e k t o r w l i c z y m y
w a r t o [c i f u n k c j i y , o d p o w i a d a j a c e w s z y s t k i m j e g o w y r a z o m i o b l i c z a m y c a Bk p r z y p o m o c y
f u n k c j i t r a p z j e j w a r t o [ z a p i s u e j m y w z m i e n n e j z . W o s t a t n i e j l i n i i o b l i c z o n o d o k Ba d n w a r t o [
c a Bk i z f u n k c j i y = x 2 w p r z e d z i a l e 0 1 0 . J a k m o |n a s i b y Bo s p o d z i e w a d l a c o r a z w i k s z e g o
z a g s z c z e n i a p u n k t w o t r z y m u j e m y z a p o m o c f u n k c j i t r a p z c o r a z d o k Ba d n i e j s z y w y n i k .
O b l i c z m y , w y k o r z y s t u j c f u n k c j t r a p z , m i n i m a l n i l o [ c i e p Ba p o t r z e b n d o o g r z a n i a 1 k g
n a f t a l e n u o d t e m p e r a t u r y 2 5 s t . C ( 2 9 8 . 1 5 K ) d o 8 0 s t . C ( 3 5 3 . 1 5 K ) w p r o c e s i e i z o b a r y c z n y m .
S z u k a n a i l o [ c i e p Ba b d z i e r w n a z m i a n i e e n t a l p i i n a f t a l e n u , z a t e m :
T = 3 5 3 . 1 5 K
Q = H = C T d T
+"
p
T = 2 9 8 . 1 5 K
P o k a |e m y d w a s p o s o b y r o z w i z a n i a t e g o z a d a n i a g d y d y s p o n u j e m y t a b l i c z w a r t o [c i a m i c i e p Ba
w Ba [c i w e g o n a f t a l e n u p o d s t a l y m c i [n i e n i e m d l a r |n y c h t e m p e r a t u r o r a z g d y d y s p o n u j e m y
k o r e l a c j p o z w a l a j a c t e w a r t o [c i o b l i c z a . Z a c z n i e m y o d p r z y p a d k u w k t r y m m a m y w a r t o [c i
c i e p Ba w Ba [c i w e g o w r |n y c h t e m p e r a t u r a c h z e b r a n e w t a b e l i .
W p i e r w s z m k r o k u m u s i m y p o s i a d a n e i n f o r m a c j e n a t e m a t c i e p Ba i
T [ K ] C
p
[ J / ( k g * K ]
t e m p e r a t u r y w p r o w a d z i d o p r o g r a m u M a t l a b . W t y m c e l u u t w o r z y m y
t a b l i c i s k o p i u j e m y d o n i e j w a r t o [c i t e m p e r a t u r y i c i e p Ba w Ba [c i w e g o
2 9 8 , 1 5 1 5 7 0 , 1 0
s p o s o b e m , o m w i o n y m w p i e r w s z y m r o z d z i a l e . I l u s t r a c j a n a r y s u n k u
3 0 3 , 1 5 1 5 8 6 , 0 2
p o n i |e j :
3 0 8 , 1 5 1 6 0 1 , 9 3
3 1 3 , 1 5 1 6 1 7 , 8 5
3 1 8 , 1 5 1 6 3 3 , 7 6
3 2 3 , 1 5 1 6 4 9 , 6 8
3 2 8 , 1 5 1 6 6 5 , 5 9
3 3 3 , 1 5 1 6 8 1 , 5 1
3 3 8 , 1 5 1 6 9 7 , 4 2
3 4 3 , 1 5 1 7 1 3 , 3 4
3 4 8 , 1 5 1 7 2 9 , 2 5
3 5 3 , 1 5 1 7 4 5 , 1 7
W k l e j a n i e t a b l i c y t e m p e r a t u r a c i e p Bo w Ba [c i w e
N a s t p n i e w y k o n u j e m y c a Bk o w a n i e p r z y p o m o c y f u n k c j i t r a p z w t e n s p o s b o b l i c z y m y i l o [
e n e r g i i , k t r n a l e |y d o s t a r c z y .
> > t r a p z ( t _ c p ( : , 1 ) , t _ c p ( : , 2 ) )
a n s =
9 . 1 1 7 0 e + 0 4
> >
Z a t e m w y m a g a n a e n e r g i a t o o k o Bo 9 1 . 1 7 k J .
G d y d y s p o n u j e m y z a l e |n o [c i f u n k c y j n r w n i e | m o |e m y u |y f u n k c j i t r a p z p o d o b n i e j a k
w t e d y , g d y l i c z y l i [m y p r z y b l i |o n w a r t o [ c a Bk i z f u n k c j i y = x 2 . K o r e l a c j a n a c i e p Bo w Ba [c i w e p o d
4 2
s t a By m c i [n i e n i e m d l a n a f t a l e n u m a p o s t a :
J
c = 6 2 1 . 0 9 3 . 1 8 3 "T
p
[ ]
k g "K
A o b l i c z e n i a m o |e m y w y k o n a w n a s t p u j c y s p o s b :
> > T = [ 2 9 8 . 1 5 : 1 : 3 5 3 . 1 5 ] ;
> > c p = 6 2 1 . 0 9 + 3 . 1 8 3 * T ;
> > t r a p z ( T , c p )
a n s =
9 . 1 1 7 0 e + 0 4
> >
N a j p i e r w t w o r z y m y t a b l i c z w a r t o [c i a m i t e m p e r a t u r y , d l a k t r y c h w k o l e j n e j l i n i i l i c z y m y
w a r t o [c i c i e p Ba w Ba [c i w e g o . N a s t p n i e k o r z y s t a m y z f u n c j i t r a p z a b y o b l i c z y w a r t o [ s z u k a n e j
c a Bk i .
7 . 2 F u n k c j a o d e 4 5
N a j c z [c i e j u |y w a n f u n k c j s Bu |c d o c a Bk o w a n i a w M a t l a b - i e j e s t f u n k c j a o d e 4 5 . O d e t o r o d z i n a
f u n k c j i c a Bk u j c h y c h , w s k Ba d k t r e j w c h o d z i w i e l e f u n k c j i n a d a j c y c h s i d o r o z w i z y w a n i a
r |n y c h k l a s p r o b l e m w ( s z t y w n e u k Ba d y r w n a D r |n i c z k o w y c h , r |n a w y m a g a n a d o k Ba d n o [
o b l i c z e D) . o d e 4 5 j e s t n a j b a r d z i e j u n i w e r s a l n f u n k c j s p o [r d n i c h . W s z y s t k i e f u n k c j e z r o d z i n y
o d e w y w o Bu j e s i w p r a k t y c z n i e i d e n t y c z n y s p o s b . I n f o r m a c j e n a t e m a t i n n y c h f u n k c j i z r o d z i n y
o d e z n a j d z i e s z w p i s u j c w C o m m a n d W i n d o w h e l p o d e 4 5 i p o d |a j c z a o d n o [n i k a m i d o i n n y c h
f u n k c j i z r o d z i n y o d e , z n a j d u j c y m i s i p o d k o n i e c o p i s u f u n k c j i o d e 4 5 .
F u n k c j e z r o d z i n y o d e p o z w a l a j n a m u z y s k a p r z e b i e g c a Bk i f u n k c j i , m o |e m y d z i k i n i m c a Bk o w a
u k Ba d y r o w n a D r |n i c z k o w y c h a t a k |e w s z u k i w a p u n k t y , d l a k t r y c h c a Bk a o s i g a o k r e [l o n
w a r t o [.
P o d s t a w o w y s p o s b w y w o Ba n i a f u n k c j i o d e 4 5 ( i i n n y c h f u n k c j i z r o d z i n y o d e ) w y g l d a
n a s t p u j c o :
[ x , y ] = o d e 4 5 ( @ f u n k c j a _ d o _ s c a Bk o w a n i a , [ x p x k ] , y p )
F u n k c j a z w r a c a d w a w e k t o r y x i y . W e k t o r x z a w i e r a w a r t o [c i z m i e n e j n i e z a l e |n e j a w e k t o r y
o d p o w i a d a j c e i m w a r t o [c i c a Bk i z f u n k c j i f u n k c j a _ d o _ s c a Bk o w a n i a w p r z e d z i a l e o d x p d o x k . J a k o
p a r a m e t r y p p r z e k a z u j e m y w a r t o [ f u n k c j i k t r c a Bk u j e m y d l a p u n k t u x p .
O b l i c z e n i e w a r t o [c i c a Bk i z f u n k c j i
y = x 2
w p r z e d z i a l e 0 1 0 z a p o m o c f u n k c j i o d e 4 5 o b e j m u j e d w a k r o k i . W p i e r w s z y m - t w o r z y m y p l i k z
n a s z f u n k c j :
f u n c t i o n d x d y = f 1 ( x , y )
d x d y = x . ^ 2 ;
N a s t p n i e p r z e c h o d z i m y d o C o m m a n d W i n d o w i t a m o b l i c z a m y w a r t o [ c a Bk i z a p o m o c f u n k c j i
4 3
o d e 4 5 :
> > [ x , y ] = o d e 4 5 ( @ f 1 , [ 0 1 0 ] , 0 ) ;
> > y ( l e n g t h ( y ) )
a n s =
3 3 3 . 3 3 3 3
> > x ( l e n g t h ( x ) )
a n s =
1 0
> > x ( 1 )
a n s =
0
J e [l i o t r z y m a Be [ b Bd , t o p r a w d o p o d o b n i e d l a t e g o , z e p l i k z f u n k c j f 1 n i e z n a j d u j e s i w j e d n y m z
k a t a l o g w , w k t r y c h M a t l a b p o s z u k u j e m - p l i k w z f u n k c j a m i . P r o b l e m t e n i j e g o r o z w i z a n i e
o p i s a n o w r o z d z i a l e 4 . 2 .
y ( l e n g t h ( y ) ) o z n a c z a o d w o Ba n i e s i d o o s t a t n i e g o e l e m e n t u w e k t o r a y . A n a l o g i c z n i e d l a w e k t o r a x .
Z a u w a |, |e j a k o w y n i k d o s t a l i [m y o d r a z u d o [ d o k Ba d n w a r t o [ c a Bk i ( p r z y n a j m n i e j d o 4 - g o
m i e j s c a p o p r z e c i n k u ) , a l e t o s a m o i t o n a w e t p r o [c i e j , b o b e z p o l e c e D t y p u y ( l e n g t h ( y ) ) m o g l i [m y
u z y s k a p r z y p o m o c y f u n k c j i t r a p z .
A b y p o z n a m o |l i w o [c i j a k i e z y s k u j e m y d z i k i f u n k c j i o d e 4 5 , z a c z n i j m y o d p r o s t e g o p r z y k Ba d u , w
k t r y m r o z w a |y m y m o d e l c y l i n d r y c z n e g o z b i o r n i k a p r z e p By w o w e g o , p r z e d s t a w i o n y n a p o n i |s z y m
r y s u n k u :
Z b i o r n i k p r z e p By w o w y
R w n a n i e o p i s u j c e z m i a n y i l o [c i c i e c z y w z b i o r n i k u , p r z y z a Bo |e n i u |e c i e c z w p By w a j c a d o
z b i o r n i k a m a t a k s a m g s t o [ j a k c i e c z w y p By w a j c a z e z b i o r n i k a , m a p o s t a :
d V
= F i n - F o u t
d t
Z a k Ba d a m y , |e n a t |e n i e s t r u m i e n i a w p By w a j c e g o d o z b i o r n i k a j e s t s t a Be . N a t |e n i e s t r u m i e n i a ,
w y p By w a j c e g o z e z b i o r n i k a j e s t p r o p o r c j o n a l n e d o p i e r w i a s t k a k w a d r a t o w e g o w y s o k o [c i c i e c z y w
z b i o r n i k u , z a t e m :
A "h
d = F i n - " h
d t
d h
A = F i n - " h
d t
F i n "
d h
= -
h
d t A A
4 4
G d z i e A t o p o w i e r z c h n i a d n a z b i o r n i k a d a n a w z o r e m :
"D 2
A =
4
A b y u z y s k a z a l e |n o [ w y s o k o [c i c i e c z y w z b i o r n i k u o d c z a s u m u s i m y s c a Bk o w a r w n a n i e :
F i n "
d h
= -
h
d t A A
R w n a n i e t o j e s t n a t y l e p r o s t e , |e b e z p r o b l e m u d a j e s i s c a Bk o w a a n a l i t y c z n i e a l e m y u |y j e m y
d o j e g o r o z w i z a n i a f u n k c j i o d e 4 5 . D z i k i n i e j o t r z y m a m y z a l e |n o [ w y s o k o [c i c i e c z y w z b i o r n i k u
o d c z a s u w p r z e d z i a l e o d t = 0 [ s ] d o t = 4 0 0 [ s ] . Z a k Ba d a m y , |e w c h w i l i p o c z t k o w e j w
p k
z b i o r n i k u n i e b y Bo c i e c z y , c z y l i :
h t = 0 [ s ] = 0 [ m ]
p
T a k j a k p o p r z e d n i o n a j p i e r w t w o r z y m y m - p l i k z n a s z f u n k c j o b l i c z a j c d h / d t :
f u n c t i o n d h d t = w y s o k o s c ( t , h )
F i = 0 . 0 7 ; % m ^ 3 / s
A = 2 . 5 ; % m ^ 2
b e t a = 0 . 0 8 ; % m ^ ( 5 / 2 ) / s
d h d t = ( F i - b e t a . * s q r t ( h ) ) . / A ;
i z a p i s u j e m y g o .
N a s t p n i e u |y w a j c f u n k c j i o d e 4 5 o b l i c z a m y s z u k a n z a l e |n o [ w y s o k o [c i o d c z a s u a u z y s k a n e
w a r t o [c i n a n o s i m y n a w y k r e s ( f u n k c j p l o t ) :
> > [ t , h ] = o d e 4 5 ( @ w y s o k o s c , [ 0 4 0 0 ] , 0 ) ;
> > p l o t ( t , h )
O t o u z y s k a n y w y k r e s z m i a n w y s o k o [c i c i e c z y w z b i o r n i k u w c z a s i e .
W y k r e s z m i a n p o z i o m u c i e c z y w z b i o r n i k u
G d y b y [m y c h c i e l i t e r a z p o w t r z y o b l i c z e n i a d l a z b i o r n i k w o i n n y c h w y m i a r a c h , z a k a |d y m
r a z e m m u s i e l i b y [m y e d y t o w a p l i k z f u n k c j w y s o k o s c . Z n a c z n i e w y g o d n i e j b y Bo b y g d y b y [m y
z w y c z a j n i e p r z e k a z y w a l i w y m i a r y z b i o r n i k a j a k o a r g u m e n t d l a t e j f u n k c j i . F u n k c j a w y g l d a Ba b y
w t e d y t a k :
4 5
f u n c t i o n d h d t = w y s o k o s c 2 ( t , h , F i , A , b e t a )
d h d t = ( F i - b e t a . * s q r t ( h ) ) . / A ;
A b y f u n k c j a o d e 4 5 p r z e k a z a Ba d o f u n k c j i k t r m a s c a Bk o w a d o d a t k o w e p a r a m e t r y n a l e |y j
w y w o Ba w n a s t p u j c y s p o s b :
[ x , y ] = o d e 4 5 ( @ f u n k c j a _ d o _ s c a Bk o w a n i a , [ x p x k ] , y p , [ ] , p 1 , p 2 , p 3 , i t d . . . )
J a k w i d a n a k o Dc u n a s z e g o w y w o Ba n i a d o d a j e m y p u s t y w e k t o r a z a n i m k o l e j n e p a r a m e t r y
p r z e k a z y w a n e d o f u n k c j i . W m i e j s c e p u s t e g o w e k t o r a m o |e m y p o d a d o d a t k o w e o p c j e d l a f u n k c j i
r o z w i z u j c e j n a s z e r w n a n i e p r z y k Ba d t a k i e j o p c j i p o k a |e m y p zn i e j . C a Bk o w a n i e n a s z e j f u n k c j i
w y s o k o s c 2 w y g l d a t a k :
> > [ t , h ] = o d e 4 5 ( @ w y s o k o s c 2 , [ 0 4 0 0 ] , 0 , [ ] , 0 . 0 7 , 2 . 5 , 0 . 0 8 ) ;
> > p l o t ( t , h )
> >
P o w i n n i [m y o t r z y m a d o k Ba d n i e t a k i s a m w y k r e s j a k p o p r z e d n i o . Z a p a m i t a j , |e j a k o d o d a t k o w y
a r g u m e n t m o |e s z t a k |e p r z e k a z a u c h w y t f u n k c j i . M o |e s i t o c z a s e m p r z y d a s z c z e g l n i e p r z y
p i s a n i u u n i w e r s a l n y c h s k r y p t w w k t r y c h b d z i e s z c h c i a B m i e m o |l i w o [ Ba t w e j z m i a n y n a
p r z y k Ba d f u n k c j i o b l i c z a j c y c h p a r a m e t r y m e d i w b i o r c y c h u d z i a B w p r o c e s i e .
7 . 3 F u n k c j a o d e 4 5 c a Bk o w a n i e u k Ba d w r w n a D
C a Bk o w a n i e u k Ba d w r w n a D r |n i c z k o w y c h r w n i e | m o |n a w y k o n a p r z y p o m o c y f u n k c j i o d e 4 5 .
R o z w a |m y n a s t p u j c y p r z y k Ba d :
W i z o t e r m i c z n y m r e a k t o r z e z b i o r n i k o w y m p r a c u j c y m w s p o s b o k r e s o w y b i e g n n a s t p u j c e
r e a k c j e e l e m e n t a r n e :
1 : A B
2 : B C
3 : C D
S t a Be s z y b k o [c i p o s z c z e g l n y c h r e a k c j i w t e m p e r a t u r z e p r o c e s u w y n o s z :
k = 3 . 4 6 . 1 0 - 3 [ 1 / s ]
1
k = 6 . 5 1 . 1 0 - 2 [ 1 / s ]
2
k = 1 . 3 8 . 1 0 - 4 [ 1 / s ]
2
S t |e n i e A w r e a k t o r z e w c h w i l i t = 0 w y n o s i 2 0 k m o l / m 3 . N a l e |y o b l i c z y s t |e n i a p o s z c z e g l n y c h
s k Ba d n i k w w z a l e |n o [c i o d c z a s u p r o w a d z e n i a p r o c e s u . Z m i a n y s t |e n i a s k Ba d n i k w o p i s u j e u k Ba d
r w n a D r |n i c z k o w y c h :
d C A
= - k 1 "C A
d t
d C B
= k 1 "C - k 2 "C B
A
d t
d C C
= k 2 "C B - k 3 "C C
d t
d C D
= k 3 "C C
d t
4 6
S t |e n i e s k Ba d n i k a A w c h w i l i 0 w y n o s i Bo 2 0 k m o l / m 3 , n a t o m i a s t p o z o s t a Be s k Ba d n i k i n i e b y l y
o b e c n e w m i e s z a n i n i e r e a k c y j n e j .
T w o r z y m y p l i k z f u n k c j z n a s z y m u k Ba d e m r w n a D:
f u n c t i o n d c d t = s t e z e n i a ( t , c )
k 1 = 3 . 4 6 e - 3 ; % 1 / s
k 2 = 6 . 5 1 e - 2 ; % 1 / s
k 3 = 1 . 3 8 e - 4 ; % 1 / s
d c d t = [ - k 1 * c ( 1 ) ,
k 1 * c ( 1 ) - k 2 * c ( 2 ) ,
k 2 * c ( 2 ) - k 3 * c ( 3 ) ,
k 3 * c ( 3 ) ] ;
N a l e |y z w r c i u w a g , |e w p r z y p a d k u c a Bk o w a n i a u k Ba d u r o w n a D, j a k o a r g u m e n t b d c y z m i e n n
z a l e |n ( w n a s z y m p r z y p a d k u c , c z y l i w e k t o r z a w i e r a j a c y s t |e n i a s k Ba d n i k w ) f u n k c j a o t r z y m u j e
n i e p o j e d y n c z a l i c z b j a k t o s i d z i a Bo d o t y c h c z a s a l e t a b l i c l i c z b , z a w i e r a j a c s t |e n i a
p o s z c z e g l n y c h s k Ba d n i k w w c h w i l i t . W n a s z y m p r z y p a d k u p i e r w s z y e l e m e n t t e j t a b l i c y c ( 1 )
o d p o w i a d a s k Ba d n i k o w i A , d r u g i ( c ( 2 ) ) s k Ba d n i k o w i B i t d . Z a u w a |, |e j a k o w a r t o [ f u n k c j i t a k |e
z w r a c a n y j e s t w e k t o r , k t r e g o k o l e j n e p o l a o d n o s z s i d o s z y b k o [c i z m i a n s t |e n i a
p o s z c z e g l n y c h s k Ba d n i k w , p r z y c z y m k o l e j n o [ s k Bd n i k w j e s t t a k a , j a k w w e k t o r z e c .
W y w o Ba n i e f u n k c j i o d e 4 5 w c e l u r o z w i z a n i a u k Ba d u r o w n a D r |n i s i t y m , |e m u s i m y p o d a
w e k t o r w a r t o [c i p o c z t k o w y c h d l a w s z y s t k i c h z m i e n n y c h z a l e |n y c h ( w n a s z y m p r z y p a d k u
w a r t o [c i s t |e D w s z y s t k i c h s k Ba d n i k w w c h w i l i t = 0 s , c z y l i [ 2 0 0 0 0 ] ) .
> > [ t , c ] = o d e 4 5 ( @ s t e z e n i a , [ 0 5 0 0 ] , [ 2 0 0 0 0 ] ) ;
N a s t p n i e n a w y k r e s n a n o s i m y p r z e b i e g i z a l e |n o [c i s t z e n i a o d c z a s u d l a p o s z c z e g l n y c h
r e a g e n t w p o k a |d e j k o m e n d z i e p l o t s p j r z n a w y k r e s , |e b y z o b a c z y k t r a l i n i a o d p o w i a d a
k t r e m u s k Ba d n i k o w i .
> > h o l d o n
> > p l o t ( t , c ( : , 1 ) )
> > p l o t ( t , c ( : , 2 ) )
> > p l o t ( t , c ( : , 3 ) )
> > p l o t ( t , c ( : , 4 ) )
> >
7 . 4 Z d a r z e n i a ( E v e n t s )
N i e k i e d y m a j c d a n y r |n i c z k o w y m o d e l j a k i e g o [ z j a w i s k a ( n p . m o d e l z b i o r n i k a z c i e c z , j a k w
j e d n y m z p o p r z e d n i c h p o d p u n k t w ) , c h c e m y w i e d z i e d l a j a k i e j w a r t o [c i z m i e n n e j n i e z a l e |n e j ,
z m i e n n a z a l e |n a o s i g n i e o k r e [l o n w a r t o [ ( n p . p o j a k i m c z a s i e u z y s k a m y o k r e [l o n y p o z i o m
c i e c z y w z b i o r n i k u ) . M o |e m y w t a k i m w y p a d k u n a r y s o w a w y k r e s i o d c z y t a z n i e g o i n t e r e s u j a c
n a s w a r t o s c z p e w n d o k Ba d n o [c i , j e d n a k l e p i e j s k o r z y s t a w t a k i e j s y t u a c j i z o b e c n e g o w
m a t l a b i e m e c h a n i z m u z d a r z e D. N a l e |y w t y m c e l u n a j p i e r w n a p i s a f u n k c j , k t r a w y k r y j e d l a n a s
w y s t p i e n i e z d a r z e n i a a n a s t p n i e p o i n f o r m o w a o j e j i s t n i t n i u f u n c k j c a Bk u j c w n a s z y m
p r z y p a d k u o d e 4 5 .
R o z w a |y m y d w a p r z y k Ba d y z n a j d z i e m y c z a s , p o k t r y m p o z i o m c i e c z y w z b i o r n i k u z p u n k t u 7 . 2
4 7
w y n i e s i e 0 . 5 m e t r a o r a z c z a s y , p o k t r y c h s t o p i e D p r z e r e a g o w a n i a s k Ba d n i k a A w p r z y k Ba d z i e z
p u n k t u 7 . 3 w y n i e s i e 0 . 5 , 0 . 8 i 0 . 9 .
Z a c z n i j m y z a t e m o d z b i o r n i k a . F u n k c j a o p i s u j c a s z y b k o [ z m i a n w y s o k o [c i c i e c z y w z b i o r n i k u
m a p o s t a :
f u n c t i o n d h d t = w y s o k o s c ( t , h )
F i = 0 . 0 7 ; % m ^ 3 / s
A = 2 . 5 ; % m ^ 2
b e t a = 0 . 0 8 ; % m ^ ( 5 / 2 ) / s
d h d t = ( F i - b e t a . * s q r t ( h ) ) . / A ;
M u s i m y t e r a z s t w o r z y d o d a t k o w f u n k c j , k t r a b d z i e o d p o w i e d z i a l n a z a w y k r y c i e w y s t p i e n i a
z d a r z e n i a w n a s z y m p r z y p a d k u b d z i e t o m o m e n t , w k t r y m p o z i o m c i e c z y w z b i o r n i k u w y n i e s i e
0 . 5 m e t r a .
f u n c t i o n [ w a r t o s c , k o n i e c , k i e r u n e k ] = e v _ 0 5 m ( t , h )
w a r t o s c = h - 0 . 5 ;
k o n i e c = 0 ;
k i e r u n e k = 0 ;
F u n k c j a m u s i z w r a c a t r z y a r g u m e n t y p i e r w s z y t o w a r t o [. M a t l a b p r z y j m u j e , z e z d a r z e n i e
n a s t p i Bo w t e d y , k i e d y a r g u m e n t w a r t o s c j e s t r w n y z e r o d l a t e g o w Ba [n i e o d w y s o k o [c i
o d e j m u j e m y w y s o k o [ k t r a n a s i n t e r e s u j e .
K o l e j n y a r g u m e n t o k r e [l a , c z y p o w y s t p i e n i u z d a r z e n i a m a t l a b m a p r z e r w a c l i c z e n i e c a Bk i ( w t e d y
z m i e n n e j k o n i e c n a d a j e m y w a r t o [ 1 ) c z y m a k o n t y n u o w a o b l i c z a n i e c a Bk i - w t e d y t a k j a k w t y m
p r z y k Ba d z i e z m i e n n e j n a d a j e m y w a r t o [ 0 . Z m i e n n a k i e r u n e k p o z w a l a d o d a t k o w o o k r e [l i c z y
i n t e r e s u j e n a s z d a r z e n i e w y s t p u j c e t y l k o w t e d y , g d y f u n k c j a j e s t r o s n c a ( w t e d y j e j p o c h o d n a j e s t
d o d a t n i a a m y m u s i m y n a d a z m i e n n e j k i e r u n e k w a r t o [ 1 ) , m a l e j c a ( - 1 ) l u b c z y j e s t t o n a m
o b o j t n e ( w t e d y t a k , j a k w n a s z y m p r z y p a d k u z m i e n n e j k i e r u n e k p r z y p i s u j e m y w a r t o [ 0 ) .
O s t a t n i m k r o k i e m p r z e d w y w o Ba n i e m f u n k c j i c a Bk u j c e j z w y k o r z y s t a n i e m z d a r z e n i a j e s t
u t w o r z e n i e s p e c j a l n e g o z b i o r u d o d a t k o w y c h o p c j i d l a f u n k c j i o d e 4 5 , p r z y p o m o c y k t r e g o
p r z e k a |e m y i n f o r m a c j o i n t e r e s u j c y m n a s z d a r z e n i u :
> > o p t = o d e s e t ( ' E v e n t s ' , @ e v _ 0 5 m ) ;
o d e s e t t w o r z y t a k i w Ba [n i e z b i r o p c j i . W s z y s t k i e p o z a t y m i , k t r e w y m i e n i m y w w y w o Ba n i u
f u n k c j i ( w t y m p r z y p a d k u j e s t t o o p c j a E v e n t s ) , o t r z y m u j w a r t o [c i d o m y [l n e . J a k o k o l e j n y
a r g u m e n t p r z e k a z u j e m y u c h w y t n a s z e j f u n k c j i k t r a m a s Bu |y d o w y k r y c i a z d a r z e n i a . W p i s u j c w
C o m m a n d W i n d o w h e l p o d e s e t d o w i e s z s i j a k i e i n n e o p c j e m o |e s z p r z e k a z y w a d o f u n k c j i
c a Bk u j c e j .
N a s t p n i e w y k o n u j e m y c a Bk o w a n i e :
> > [ t , h , t _ 0 5 m , h _ 0 5 m ] = o d e 4 5 ( @ w y s o k o s c , [ 0 4 0 0 ] , 0 , o p t ) ;
t _ 0 5 m i h _ 0 5 m t o z m i e n n e , w k t r y c h z n a j d s i o d p o w i e d n i o c z a s , w k t r y m w y s t p i Bo z d a r z e n i e i
w y s o k o [ d l a k t r e j w y k r y t o w y s t p i e n i e z d a r z e n i a ( w n a s z y m p r z y p a d k u h _ 0 5 m p o w i n n o b y
r o w n e 0 . 5 ) . S p r b u j t e r a z w y k o n a p o l e c e n i e :
> > p l o t ( t , h , ' - ' , t _ 0 5 m , h _ 0 5 m , ' o ' )
4 8
A b y z o b a c z y g d z i e n a w y k r e s i e z n a j d u j e s i z n a l e z i o n y p r z y p o m o c y m e c h a n i z m u z d a r z e D p u n k t .
T e r a z s p r b u j s a m o d z i e l n i e z m o d y f i k o w a z d a r z e n i e t a k , |e b y o t r z y m a c z a s , p o k t r y m p o z i o m
c i e c z y w z b i o r n i k u w y n i e s i e 0 . 6 5 m ( p o w i n i e n n e [ o t r z y m a w y n i k 8 8 . 7 1 1 8 s ) .
A b y l e p i e j o s w o i s i z m e c h a n i z m e m z d a r z e D r o z w a |y m y j e s z c z e j e d e n p r z y k Ba d z n a j d z i e m y
c z a s y , d l a k t r y c h s t o p i e D p r z e r e a g o w a n i a s k l a d n i k a A w p r z y k Ba d z i e z r o z d z i a Bu 7 . 3 w y n i e s i e 0 . 5 ,
0 . 8 i 0 . 9 . O c z w i [c i e s k o r z y s t a m y z n a p i s a n e j w c z e [n i e j f u n k c j i o p i s u j c e j z m i a n y s t |e D
s k Ba d n i k w w c z a s i e :
f u n c t i o n d c d t = s t e z e n i a ( t , c )
k 1 = 3 . 4 6 e - 3 ; % 1 / s
k 2 = 6 . 5 1 e - 2 ; % 1 / s
k 3 = 1 . 3 8 e - 4 ; % 1 / s
d c d t = [ - k 1 * c ( 1 ) ,
k 1 * c ( 1 ) - k 2 * c ( 2 ) ,
k 2 * c ( 2 ) - k 3 * c ( 3 ) ,
k 3 * c ( 3 ) ] ;
P i s z c f u n k c j w y k r y w a j c z d a r z e n i a , m u s i m y p a m i t a |e w w e k t o r z e c m a m y s t |e n i a a n i e
s t o p i e D p r z e r e a g o w a n i a . M u s i m y z a t e m p r z e l i c z y s t o p e i D p r z e r e a g o w a n i a n a o d p o w i a d a j c e m u
s t |e n i e , z a t e m :
c 0 - c
=
c 0
s t d :
c = c 0 "1 -
S t |e n i e p o c z t k o w e s u b s t r a t u a w y n o s i Bo 2 0 k m o l / m 3 , z a t e m :
k m o l "1 - 0 . 5 = 1 0 k m o l
c 0 5 = 2 0
m 3 m 3
k m o l "1 - 0 . 8 = 4 k m o l
c 0 8 = 2 0
m 3 m 3
k m o l "1 - 0 . 9 = 2 k m o l
c 0 9 = 2 0
m 3 m 3
F u n k c j a w y k r y w a j c a z d a r z e n i a b d z i e w i c m i a Ba p o s t a :
f u n c t i o n [ w a r t o s c , k o n i e c , k i e r u n e k ] = e v n t ( t , c )
w a r t o s c = [ c ( 1 ) - 1 0 ; c ( 1 ) - 4 ; c ( 1 ) - 2 ] ;
k o n i e c = [ 0 ; 0 ; 0 ] ;
k i e r u n e k = [ 0 ; 0 ; 0 ] ;
N a s t p n i e t w o r z y m y s t r u k t u r z o p c j a m i d l a f u n k c j i o d e 4 5 , d o k t r e j p r z e k a z u j e m y i n f o r m a c j e o
n a s z e j f u n k c j i :
> > o p t = o d e s e t ( ' E v e n t s ' , @ e v n t ) ;
O r a z c a Bk u j e m y :
> > [ t , c , t e , c e ] = o d e 4 5 ( @ s t e z e n i a , [ 0 1 0 0 0 ] , [ 2 0 0 0 0 ] , o p t ) ;
> > t e
4 9
t e =
2 0 0 . 3 3 1 5
4 6 5 . 1 5 5 5
6 6 5 . 4 8 7 1
> > c e
c e =
1 0 . 0 0 0 0 0 . 5 6 1 3 9 . 3 0 5 8 0 . 1 3 2 9
4 . 0 0 0 0 0 . 2 2 4 4 1 5 . 1 7 7 3 0 . 5 9 8 3
2 . 0 0 0 0 0 . 1 1 2 3 1 6 . 8 4 3 4 1 . 0 4 4 4
W w e k t o r z e c e z n a j d u j s i s t |e n i a w s z y s t k i c h z w i z k w w r e a k t o r z e w c h w i l i w y s t p i e n i a
z d a r z e n i a ( o s i g n i c i a z a d a n e g o s t |e n i a s k Ba d n i k a A ) a w o d p o w i a d a j c y c h i m w i e r s z a c h w e k t o r a
t e c z a s y , p o k t r y c h o s i g a n e s s z u k a n e s t o p n i e p r z e r e a g o w a n i a .
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