ÿþ2 0 0 8 - 1 1 - 1 9
M e c h a n i k a i W y t r z y m a Bo [
M a t e r i a Bó w
W y k Ba d 3
1
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B E L K I P R O S T E
B e l k n a z y w a m y p r t d o w o l n e g o p r z e k r o j u , p o d p a r t y w j e d n y m Bu b k i l k u
p u n k t a c h i o b c i |o n y s i Ba m i z g i n a j c y m i g o . B d z i e m y p r z y j m o w a l i , |e
o b c i |e n i e b e l k i o r a z j e j p u n k t y p o d p a r c i a l e | w j e d n e j p Ba s z c z y zn i e .
B e l k i s t a t y c z n i e w y z n a c z a l n e
B e l k i s t a t y c z n i e w y z n a c z a l n e , s t o b e l k i d l a k t ó r y c h l i c z b a n i e w i a d o m y c h
p o d p o r o w y c h j e s t r ó w n a l i c z b i e r ó w n a D r ó w n o w a g i . P r z e z r o z w i z a n i e b e l k i
p o d w z g l d e m s t a t y c z n y m r o z u m i e m y o k r e [l e n i e r e a k c j i w y s t p u j c y c h w
p u n k t a c h p o d p a r c i a o r a z w y z n a c z e n i e m o m e n t ó w g n c y c h i s i B t n c y c h w
b e l c e .
2
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M o m e n t y g n c e w b e l k a c h
M o m e n t e m g n c y m w d o w o l n y m p r z e k r o j u b e l k i n a z y w a m y w e k t o r
l e |c y w p Ba s z c z y zn i e p r z e k r o j u , o w a r t o [c i l i c z b o w e j r ó w n e j s u m i e
a l g e b r a i c z n e j m o m e n t ó w w s z y s t k i c h s i l z e w n t r z n y c h , d z i a Ba j c y c h p o
j e d n e j s t r o n i e r o z p a t r y w a n e g o p r z e k r o j u , w z g l d e m [r o d k a o w e g o
p r z e k r o j u .
M o m e n t z g i n a j c y b d z i e m y u w a |a l i z a d o d a t n i ( w e k t o r m o m e n t u
z w r ó c o n y o d p Ba s z c z y z n y r y s u n k u d o n a s ) , j e |e l i w y g i n a o n b e l k
w y p u k Bo [c i k u d o Bo w i . M o m e n t y g n c e w y g i n a j c e b e l k w y p u k Bo [c i k u
g ó r z e b d z i e m y p r z y j m o w a l i z a u j e m n e ( w e k t o r y m o m e n t ó w s z w r ó c o n e
z a p Ba s z c z y z n r y s u n k u ) .
S i By t n c e w b e l k a c h
S i B t n c T w d o w o l n y m p r z e k r o j u n a b e l c e n a z y w a m y p i o n o w
( p r o s t o p a d B d o b e l k i ) s i B r ó w n l i c z b o w o s u m i e a l g e b r a i c z n e j
w s z y s t k i c h s i B z e w n t r z n y c h , d z i a Ba j c y c h p o j e d n e j s t r o n i e
r o z p a t r y w a n e g o p r z e k r o j u .
3
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S i Ba t n c a w o d l e g Bo [c i x o d
l e w e j p o d p o r y w y n o s i :
T x = A d l a 0 < x < a ,
T X = A - F , j e |e l i a < x < ( a + b )
4
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W p o s z c z e g ó l n y c h p r z e d z i a Ba c h o b c i |e n i a s i Ba t n c a j e s t s t a Ba . W y k r e s e m s i B
t n c y c h b d o d c i n k i p r o s t e r ó w n o l e g Be d o o s i p o z i o m e j .
R ó |n i c z k u j c m o m e n t z g i n a j c y w z g l d e m z m i e n n e j x p r z e d s t a w i a j c e j
o d l e g Bo [ r o z p a t r y w a n e g o p r z e k r o j u b e l k i o d j e j k o Dc a , o t r z y m a m y :
o r a z
W y r a |e n i a t e p r z e d s t a w i a j s i B t n c w p o s z c z e g ó l n y c h p r z e d z i a Ba c h n a
b e l c e . Z w i z e k t e n p o m i d z y m o m e n t e m z g i n a j c y m a s i B t n c s Bu s z n y j e s t
d l a k a |d e g o p r z e k r o j u d o w o l n i e o b c i |o n e j b e l k i z g i n a n e j .
M o |e m y w i c p o w i e d z i e :
P i e r w s z a p o c h o d n a m o m e n t u z g i n a j c e g o w z g l d e m o d l e g Bo [c i n a
b e l c e j e s t r ó w n a s i l e t n c e j
Z t w i e r d z e n i a t e g o w y c i g a m y d w a b a r d z o w a |n e w n i o s k i :
1 ) w t y c h p r z e k r o j a c h n a b e l c e , g d z i e m o m e n t z g i n a j c y o s i g a
e k s t r e m u m , s i Ba t n c a z m i e n i a z n a k ,
2 ) j e |e l i n a p e w n e j d Bu g o [c i b e l k i m o m e n t z g i n a j c y j e s t s t a By , s i Ba t n c a
n a t y m o d c i n k u b e l k i j e s t r ó w n a z e r u .
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O p r ó c z s i B s k u p i o n y c h , n a b e l k m o |e d z i a Ba o b c i |e n i e c i g Be
r ó w n o m i e r n e l u b n i e r ó w n o m i e r n e . O z n a c z a m y j e l i t e r q , a p o d a j e m y w
j e d n o s t k a c h s i By n a j e d n o s t k d Bu g o [c i ( n p . N / m , k G / m i t p ) .
U Bo |y m y d w a r ó w n a n i a r ó w n o w a g i
m o m e n t ó w ( w z g l d e m p o d p o r y A i B ) .
Z o b u t y c h w a r u n k ó w r ó w n o w a g i
w y z n a c z y m y r e a k c j e A i B .
W p r z e k r o j u o d l e g By m o x o d l e w e j
p o d p o r y m o m e n t z g i n a j c y w y n o s i :
W y k r e s e m m o m e n t ó w z g i n a j c y c h
p o d o b c i |e n i e m c i g By m , r ó w n o -
m i e r n y m j e s t p a r a b o l a .
S i Ba t n c a w o d l e g Bo [c i x o d l e w e j p o d p o r y m a w a r t o [:
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O p r ó c z b e l e k o b c i |o n y c h s i Ba m i s k u p i o n y m i i c i g By m i , s p o t y k a m y b e l k i
o b c i |o n e m o m e n t e m .
W p r z y p a d k u t a k o b c i |o n e j b e l k i ,
r e a k c j e m u s z t w o r z y p a r s i B, c z y l i :
M o m e n t z g i n a j c y w o d l e g Bo [c i x 1
o d l e w e j p o d p o r y m a w a r t o [:
w o d l e g Bo [c i x 2 o d p r a w e j p o d p o r y
b d z i e :
W y k r e s e m m o m e n t ó w z g i n a j c y c h s o d c i n k i p r o s t e .
S i Ba t n c a n a c a Be j d Bu g o [c i b e l k i j e s t s t a Ba .
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B e l k i s t a t y c z n i e w y z n a c z a l n e
" B e l k i p r o s t e s t o k o n s t r u k c j e p r t o w e k t ó r e j o [ j e s t l i n i p r o s t
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B e l k i s t a t y c z n i e w y z n a c z a l n e
" B e l k i p r o s t e
9
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B e l k i s t a t y c z n i e w y z n a c z a l n e
" B e l k i c i g Be
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B e l k i s t a t y c z n i e w y z n a c z a l n e
" B e l k i c i g Be
1 1
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B e l k i s t a t y c z n i e w y z n a c z a l n e
" B e l k i c i g Be
1 2
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B e l k i s t a t y c z n i e w y z n a c z a l n e
" P r z y k Ba d y
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B e l k i s t a t y c z n i e w y z n a c z a l n e
" M e t o d y r o z w i z y w a n i a b e l e k p r z e g u b o w y c h
1 4
2 0 0 8 - 1 1 - 1 9
B e l k i s t a t y c z n i e w y z n a c z a l n e
" P r z y k Ba d o b l i c z e n i o w y
D l a b e l k i w s p o r n i k o w e j w y z n a c z :
1 5
2 0 0 8 - 1 1 - 1 9
B e l k i s t a t y c z n i e w y z n a c z a l n e
1 6
2 0 0 8 - 1 1 - 1 9
B e l k i s t a t y c z n i e w y z n a c z a l n e
" W y z n a c z r e a k c j p o d p ó r .
1 7
2 0 0 8 - 1 1 - 1 9
B e l k i s t a t y c z n i e w y z n a c z a l n e
W y z n a c z e n i e f u n k c j i s i B p r z e k r o j o w y c h M ( x ) , Q ( x ) , N ( x ) w p o s z c z e g ó l n y c h p r z e d z i a Ba c h o s i b e l k i .
1 8
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N a r y s u n k u w i d z i m y r o z w i z a n b e l k s t a t y c z n i e w y z n a c z a l n , o b c i |o n t r z e m a
s i Ba m i s k u p i o n y m i : F 1 = 1 0 0 N , F 2 = 5 0 N , F 3 = 1 5 0 N . O d l e g Bo [ a = 2 m .
R e a k c j e , o b l i c z o n o z r ó w n a D r ó w n o w a g i :
O b l i c z o n e r e a k c j e A i B w y n o s z :
M o m e n t y g n c e w t y c h p u n k t a c h b e l k i ,
w k t ó r y c h p r z y Bo |o n e s s i By z e w n t r z n e ,
m a j w a r t o [c i :
P o m i d z y s i Ba m i A i F 2 n a b e l c e m o m e n t z g i n a j c y j e s t s t a By . N a t y m
o d c i n k u s i Ba t n c a r ó w n a s i z e r u .
1 9
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R y s u n e k p r z e d s t a w i a t z w . b e l k p r z e g u b o w , o b c i |o n s i Ba m i s k u p i o n y m i i
o b c i |e n i e m c i g By m , r ó w n o m i e r n y m . O d l e g Bo [c i p o d a n e s n a r y s u n k u .
S i By p r z y j t o n a s t p u j c e : F 1 = 1 0 k N , F 2 = 6 k N , q = 2 k N / m .
P r z y j t o n a s t p u j c e r ó w n a n i a r ó w n o w a g i :
W a r u n e k r z u t ó w
W a r u n e k m o m e n t ó w w z g l d e m p o d p o r y A
W p r z e g u b i e m o m e n t z g i n a j c y m u s i
r ó w n a s i z e r u
Z r ó w n a D t y c h o t r z y m u j e m y
A = 5 k N , B = 8 , 6 7 k N , C = 1 4 , 3 3 k N .
2 0
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P r z y o b l i c z a n i u m o m e n t ó w z g i n a j c y c h o b c i |e n i e c i g Be p o d z i e l o n o n a
s z e [ r ó w n y c h c z [c i :
2 1
2 0 0 8 - 1 1 - 1 9
B e l k i s t a t y c z n i e w y z n a c z a l n e
" K o m p u t e r o w a a n a l i z a b e l k i
M o d e l b e l k i
R o z k Ba d n a p r |e n w b e l c e
O d k s z t a Bc e n i a b e l k i u z y s k a n e z
u z y s k a n y z p r o g r a m u P r o / E n g i n e e r
p r o g r a m u P r o / E n g i n e e r
2 2
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Zr o d e k c i |k o [c i i [r o d e k m a s y
" P o j c i e [r o d k a m a s y
W n i o s k i
P u n k t s t a b i l n e g o p o d p a r c i a
P u n k t s t a b i l n e g o p o d p a r c i a ( t a k |e z a w i e s z e n i a ) c i a Ba , t o t a k i p u n k t w k t ó r y m c i a Bo n i e m a
t e n d e n c j i d o p r z e k r c a n i a s i p o d w p By w e m s i B c i |k o [c i . T a k i p u n k t n i e j e s t Ba t w o z n a l e z.
D l a c i a B s y m e t r y c z n y c h z n a j d u j e s i o n w [r o d k u g e o m e t r y c z n y m .
P u n k t s t a b i l n e g o p o d a r c i a , a [r o d e k c i |k o [c i
P u n k t s t a b i l n e g o p o d p a r c i a j e s t [c i [l e z w i z a n y z e [r o d k i e m c i |k o [c i c i a Ba . K o n k r e t n i e -
p u n k t p o d p a r c i a ( l u b z a w i e s z e n i a ) s p e Bn i a j c y w a r u n e k s t a b i l n o [c i ( n i e p r z e w r a c a n i a s i ,
n i e p r z e k r c a n i a p o d w p By w e m d z i a Ba j c e j s i By c i |k o [c i ) u t r z y m y w a n e g o p r z e d m i o t u m u s i
z n a j d o w a s i d o k Ba d n i e n a d , l u b p o d [r o d k i e m c i |k o [c i .
2 3
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Zr o d e k c i |k o [c i i [r o d e k m a s y
" P o j c i e [r o d k a m a s y
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Zr o d e k c i |k o [c i i [r o d e k m a s y
" R ó w n o w a g a p r t ó w k r a t o w n i c y
S k o r o s i By c i |k o [c i s s i Ba m i r ó w n o l e g By m i , t o d o o k r e [l e n i a
p o Bo |e n i a [r o d k a c i |k o [c i C o r a z w a r t o [c i w y p a d k o w e j G
m o |e m y w y k o r z y s t a w z o r y n a [r o d e k u k Ba d u s i B r ó w n o l e g By c h .
2 5
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Zr o d e k c i |k o [c i i [r o d e k m a s y
W e k t o r w o d z c y r C [r o d k a
W y p a d k o w a s i B c i |k o [c i G
c i |k o [c i C u k Ba d u p u n k t ó w
j e s t c i |a r e m c a Bk o w i t y m
m a t e r i a l n y c h b d z i e w y r a |a B
u k Ba d u m a t e r i a l n e g o
z w i z e k
W s p ó Br z d n e [r o d k a c i |k o [c i C w p r o s t o k t n y m u k Ba d z i e
w s p ó Br z d n y c h o t r z y m a m y z e w z o r ó w
2 6
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Zr o d e k c i |k o [c i i [r o d e k m a s y
D o k Ba d n y w z ó r n a p r o m i e D w o d z c y r C [r o d k a c i |k o [c i C o t r z y m a m y , b i o r c
g r a n i c s u m y w y s t p u j c e j w e p o w y |s z y m w z o r z e p r z y l i c z b i e e l e m e n t ó w n
d |c e j d o n i e s k o Dc z o n o [c i i i c h w y m i a r a c h d |c y c h d o z e r a . W t e d y w
m i e j s c e s u m y o t r z y m a m y c a Bk r o z c i g n i t n a c a B b r y B.
Z a t e m w e k t o r w o d z c y [r o d k a c i |k o [c i C .
w s p ó Br z d n e p r o s t o k t n e [r o d k a c i |k o [c i b r y By s o k r e [l o n e w z o r a m i :
2 7
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Zr o d e k c i |k o [c i i [r o d e k m a s y
" Zr o d e k c i |k o [c i p o w i e r z c h n i j e d n o r o d n e j
J e |e l i c i |a r j e d n o s t k i p o w i e r z c h n i j e s t s t a By ,
t o p o w i e r z c h n i t a k n a z y w a m y
p o w i e r z c h n i j e d n o r o d n . G d y c i |a r
j e d n o s t k i p o w i e r z c h n i o z n a c z y m y p r z e z G ,
p o w i e r z c h n i c a Bk o w i t p r z e z F , a
p o w i e r z c h n i e l e m e n t a r n p r z e z d F , t o
m o |e m y n a p i s a :
2 8
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Zr o d e k c i |k o [c i i [r o d e k m a s y
" Zr o d e k c i |k o [c i p o w i e r z c h n i j e d n o r o d n e j
W s p ó Br z d n e [r o d k a c i |k o [c i p o w i e r z c h n i j e d n o r o d n e j
J e |e l i p o w i e r z c h n i a j e d n o r o d n a j e s t f i g u r p Ba s k i l e |y n a p Ba s z c z y zn i e
n p . x y , t o w s p ó Br z d n a o r a z z C = 0
2 9
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Zr o d e k c i |k o [c i i [r o d e k m a s y
" Zr o d e k c i |k o [c i l i n i i j e d n o r o d n e j
J e |e l i c i |a r j e d n o s t k i d Bu g o [c i j e s t s t a By ,
t o t a k l i n i n a z y w a m y l i n i j e d n o r o d n .
P o o z n a c z e n i u c i |a r u j e d n o s t k i d Bu g o [c i
p r z e z L , a d Bu g o [c i l i n i i A B p r z e z L c i |a r
c a Bk o w i t y l i n i i i c i |a r e l e m e n t u d Bu g o [c i
b d w y r a |a By w z o r y
3 0
2 0 0 8 - 1 1 - 1 9
Zr o d e k c i |k o [c i i [r o d e k m a s y
" Zr o d e k c i |k o [c i l i n i i j e d n o r o d n e j
P o s t p u j c a n a l o g i c z n i e j a k w p r z y p a d k u p o w i e r z c h n i j e d n o r o d n e j o t r z y m a m y
w z o r y n a w s p ó Br z d n e [r o d k a c i |k o [c i C l i n i i j e d n o r o d n e j :
3 1
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Zr o d e k c i |k o [c i i [r o d e k m a s y
" T w i e r d z e n i e P a p p u s a - G u l d i n a
3 2
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Zr o d e k c i |k o [c i i [r o d e k m a s y
" M o m e n t y s t a t y c z n e m a s
Z a Bó |m y , |e m a m y u k Ba d n p u n k t ó w
m a t e r i a l n y c h o m a s a c h m k , k t ó r y c h
p o Bo |e n i e w z g l d e m d o w o l n e g o
p u n k t u O o k r e [l a j p r o m i e n i e
w o d z c e r k R o z k Ba d m a s t e g o u k Ba d u
m a t e r i a l n e g o w z g l d e m p r z y j t e g o
p u n k t u O c h a r a k t e r y z u j m o m e n t y
p i e r w s z e g o r z d u , n a z y w a n e
m o m e n t a m i s t a t y c z n y m i .
3 3
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Zr o d e k c i |k o [c i i [r o d e k m a s y
M o m e n t y s t a t y c z n e m a s
M o m e n t e m s t a t y c z n y m S u k Ba d u p u n k t ó w m a t e r i a l n y c h w z g l d e m d o w o l n e g o
p u n k t u O n a z y w a m y s u m i l o c z y n ó w m a s m k p r z e z i c h p r o m i e n i e w o d z c e r k .
w e k t o r a r k z a p i s a n e g o z a p o m o c w s p ó Br z d n y c h p r o s t o k t n y c h :
w e k t o r S w y r a z i w z ó r :
3 4
2 0 0 8 - 1 1 - 1 9
Zr o d e k c i |k o [c i i [r o d e k m a s y
M o m e n t y s t a t y c z n e m a s
W s p ó Br z d n e t e g o w e k t o r a n a z y w a m y m o m e n t a m i s t a t y c z n y m i
w z g l d e m p Ba s z c z y z n y z , z x i x y , k t ó r e o z n a c z y m y o d p o w i e d n i o p r z e z
S y z , S z x i S x y
M o m e n t e m s t a t y c z n y m u k Ba d u p u n k t ó w m a t e r i a l n y c h w z g l d e m
d o w o l n e j p Ba s z c z y z n y n a z y w a m y s u m i l o c z y n ó w m a s p u n k t ó w
p r z e z i c h o d l e g Bo [c i o d t e j p Ba s z c z y z n y .
3 5
2 0 0 8 - 1 1 - 1 9
Zr o d e k c i |k o [c i i [r o d e k m a s y
M o m e n t y s t a t y c z n e m a s
M o m e n t s t a t y c z n y b r y By w z g l d e m p o c z t k u u k Ba d u O w y r a |a w z ó r :
m o m e n t y s t a t y c z n e b r y By w z g l d e m p o s z c z e g ó l n y c h p Ba s z c z y z n
p r o s t o k t n e g o u k Ba d u w s p ó Br z d n y c h b d d a n e w z o r a m i :
3 6
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M o m e n t y b e z w Ba d n o [c i
" R o d z a j e m o m e n t ó w b e z w Ba d n o [c i
W i e l k o [c i , w k t ó r y c h r o z k Ba d m a s y b d z i e o p i s a n y i l o c z y n e m m a s y p u n k t u i
k w a d r a t u j e g o o d l e g Bo [c i o d p u n k t u , p Ba s z c z y z n y l u b o s i n a z y w a m y m a s o w y m i
m o m e n t a m i b e z w Ba d n o [c i l u b k r ó t k o m o m e n t a m i b e z w Ba d n o [c i , a l b o
m o m e n t a m i s t a t y c z n y m i d r u g i e g o r z d u
D e f i n i c j a
M o m e n t e m b e z w Ba d n o [c i p u n k t u m a t e r i a l n e g o w z g l d e m b i e g u n a ( p u n k t u ) ,
p Ba s z c z y z n y l u b o s i n a z y w a m y i l o c z y n m a s y t e g o p u n k t u i k w a d r a t u j e g o
o d l e g Bo [c i o d b i e g u n a , p Ba s z c z y z n y l u b o s i .
Z d e f i n i c j i w y n i k a , |e i s t n i e j t r z y r o d z a j e m o m e n t ó w b e z w Ba d n o [c i :
" b i e g u n o w e ( m o m e n t y b e z w Ba d n o [c i w z g l d e m p u n k t u ) ,
" w z g l d e m p Ba s z c z y z n ,
" w z g l d e m o s i ( o s i o w e m o m e n t y b e z w Ba d n o [c i )
3 7
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M o m e n t y b e z w Ba d n o [c i
" M o m e n t y b e z w Ba d n o [c i u k Ba d u p u n k t ó w m a t e r i a l n y c h
B i e g u n o w y m m o m e n t e m b e z w Ba d n o [c i I O
u k Ba d u p u n k t ó w m a t e r i a l n y c h w z g l d e m
p u n k t u O n a z y w a m y s u m i l o c z y n ó w m a s m k i
k w a d r a t ó w i c h o d l e g Bo [c i o d p u n k t u 0 , c z y l i
3 8
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M o m e n t y b e z w Ba d n o [c i
" M o m e n t y b e z w Ba d n o [c i u k Ba d u p u n k t ó w m a t e r i a l n y c h
M o m e n t a m i b e z w Ba d n o [c i I x y , I y z , I z x w z g l d e m p Ba s z c z y z n x y , y z , z x u k Ba d u
p u n k t ó w m a t e r i a l n y c h n a z y w a m y s u m y i l o c z y n ó w m a s m k p r z e z k w a d r a t y i c h
o d l e g Bo [c i o d t y c h p Ba s z c z y z n . Z a t e m m a m y :
M o m e n t a m i b e z w Ba d n o [c i I x , I y , I z w z g l d e m o s i x , y , z u k Ba d u p u n k t ó w
m a t e r i a l n y c h n a z y w a m y s u m y i l o c z y n ó w m a s m k o r a z k w a d r a t ó w i c h
o d l e g Bo [c i o d t y c h o s i :
3 9
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M o m e n t y b e z w Ba d n o [c i
" M o m e n t y b e z w Ba d n o [c i u k Ba d u p u n k t ó w m a t e r i a l n y c h
M o m e n t a m i d e w i a c y j n y m i D x y , D y z , D z x u k Ba d u p u n k t ó w m a t e r i a l n y c h
n a z y w a m y s u m i l o c z y n ó w m a s m k p r z e z i l o c z y n i c h o d l e g Bo [c i o d d w ó c h
p r o s t o p a d By c h p Ba s z c z y z n y z i z x , z y i x y , x y i y z .
M o m e n t y t e w y r a |a j w z o r y :
4 0
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M o m e n t y b e z w Ba d n o [c i
" M o m e n t y b e z w Ba d n o [c i b r y By
J e |e l i b r y B o m a s i e m p o d z i e l i m y m y [l o w o
n a n m a By c h e l e m e n t ó w o m a s a c h "m k , t o
p r z y b l i |o n e w a r t o [c i m o m e n t ó w
b e z w Ba d n o [c i t y c h e l e m e n t ó w , t r a k t o w a n y c h
j a k o p u n k t y m a t e r i a l n e , m o |e m y o b l i c z y z e
w z o r ó w n a m o m e n t y b e z w Ba d n o [c i u k Ba d u
p u n k t ó w m a t e r i a l n y c h .
B i e g u n o w y m o m e n t b e z w Ba d n o [c i
4 1
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M o m e n t y b e z w Ba d n o [c i
" M o m e n t y b e z w Ba d n o [c i b r y By
W y s t p u j c e w p o w y |s z y m w z o r z e c a Bk i s m o m e n t a m i b e z w Ba d n o [c i
w z g l d e m p Ba s z c z y z n :
T w i e r d z e n i e :
B i e g u n o w y m o m e n t b e z w Ba d n o [c i j e s t r ó w n y s u m i e m o m e n t ó w
b e z w Ba d n o [c i w z g l d e m t r z e c h p r o s t o p a d By c h p Ba s z c z y z n
p r z e c h o d z c y c h p r z e z t e n b i e g u n :
4 2
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M o m e n t y b e z w Ba d n o [c i
" M o m e n t y b e z w Ba d n o [c i b r y By w z g l d e m o s i
W p o w y |s z y c h w z o r a c h Ba t w o m o |n a z a u w a |y , |e z w i z k i m i d z y m o m e n t a m i
b e z w Ba d n o [c i w z g l d e m o s i i w z g l d e m p Ba s z c z y z n s n a s t p u j c e :
T w i e r d z e n i e :
M o m e n t b e z w Ba d n o [c i w z g l d e m o s i j e s t r ó w n y s u m i e m o m e n t ó w b e z w Ba d n o [c i
w z g l d e m d w ó c h p r o s t o p a d By c h p Ba s z c z y z n p r z e c i n a j c y c h s i w z d Bu | t e j o s i .
4 3
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M o m e n t y b e z w Ba d n o [c i
J e |e l i d o d a m y s t r o n a m i
i u w z g l d n i m y z a l e |n o [
t o o t r z y m a m y z a l e |n o [ m i d z y b i e g u n o w y m m o m e n t e m b e z w Ba d n o [c i i
m o m e n t a m i b e z w Ba d n o [c i w z g l d e m o s i :
B i e g u n o w y m o m e n t b e z w Ba d n o [c i j e s t r ó w n y p o Bo w i e s u m y
m o m e n t ó w b e z w Ba d n o [c i w z g l d e m t r z e c h p r o s t o p a d By c h o s i
p r z e c h o d z c y c h p r z e z t e n b i e g u n .
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M o m e n t y b e z w Ba d n o [c i
J e |e l i d o w z o r ó w n a m o m e n t y b e z w Ba d n o [c i b r y B p o d s t a w i m y z a l e |n o [: d m = Ád V ,
g d z i e Á j e s t g s t o [c i b r y By w p u n k c i e o w s p ó Br z d n y c h x , y , z , a V o b j t o [c i ,
i z a Bo |y m y , |e b r y Ba j e s t j e d n o r o d n a , t o g s t o [ m o |e m y w y n i e [ p r z e d z n a k c a Bk i .
O t r z y m a m y w t e d y w z o r y n a m o m e n t y b e z w Ba d n o [c i w p o n i |s z e j p o s t a c i :
m o m e n t y b e z w Ba d n o [c i w z g l d e m p Ba s z c z y z n
b i e g u n o w y m o m e n t b e z w Ba d n o [c i
m o m e n t y d e w i a c y j n e
m o m e n t y b e z w Ba d n o [c i w z g l d e m o s i
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M o m e n t y b e z w Ba d n o [c i
K a |d y m o m e n t b e z w Ba d n o [c i I m o |n a w s p o s ó b u m o w n y p r z e d s t a w i w p o s t a c i
i l o c z y n u c a Bk o w i t e j m a s y c i a Ba ( u k Ba d u m a t e r i a l n e g o , b r y By ) m i k w a d r a t u p e w n e j
o d l e g Bo [c i i 2 o d p r z y j t e j p Ba s z c z y z n y , o s i l u b b i e g u n a . O d l e g Bo [ t n a z y w a m y
p r o m i e n i e m b e z w Ba d n o [c i c i a Ba w z g l d e m d a n e j p Ba s z c z y z n y , o s i l u b b i e g u n a .
W o b l i c z e n i a c h t e o r e t y c z n y c h w d y n a m i c e m a s z y n c z s t o w y s t p u j e k o n i e c z n o [
p r z e d s t a w i e n i a m o m e n t u b e z w Ba d n o [c i w p o s t a c i i l o c z y n u p e w n e j m a s y m r e d i
k w a d r a t u z n a n e j o d l e g Bo [c i k 2 , c z y l i
M a s m r e d n a z y w a m y m a s z r e d u k o w a n .
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M o m e n t y b e z w Ba d n o [c i
" T r a n s f o r m a c j a r ó w n o l e g Ba m o m e n t ó w b e z w Ba d n o [c i
Zr o d e k m a s y b r y By C j e s t o p i s a n y w
u k Ba d z i e w s p ó Br z d n y c h x , y , z p r z e z
w e k t o r w o d z c y
P o Bo |e n i e e l e m e n t u m a s y d m j e s t
o k r e [l o n e w u k Ba d z i e x , y , z p r z e z
w e k t o r w o d z c y
a w u k Ba d z i e x y z , p r z e z w e k t o r
W e k t o r y t e s z w i z a n e z a l e |n o [c i :
4 7
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M o m e n t y b e z w Ba d n o [c i
" T r a n s f o r m a c j a r ó w n o l e g Ba m o m e n t ó w b e z w Ba d n o [c i
Z a t e m w s p ó Br z d n e e l e m e n t u m a s y d m w u k Ba d z i e w s p ó Br z d n y c h x , y , z b d
w y r a |a By w z o r y :
B i e g u n o w y m o m e n t b e z w Ba d n o [c i w z g l d e m p u n k t u O w y r a |a w z ó r :
P i e r w s z a c a Bk a j e s t c a Bk o w i t m a s b r y By , a d r u g a m o m e n t e m s t a t y c z n y m
w z g l d e m [r o d k a m a s y , c z y l i j e s t r ó w n a z e r u . Z a t e m
T r z e c i a z c a Be k j e s t b i e g u n o w y m m o m e n t e m b e z w Ba d n o [c i w z g l d e m [r o d k a m a s y :
4 8
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M o m e n t y b e z w Ba d n o [c i
" T r a n s f o r m a c j a r ó w n o l e g Ba m o m e n t ó w b e z w Ba d n o [c i
T w i e r d z e n i e S t e i n e r a
M o m e n t b e z w Ba d n o [c i b r y By ( c i a Ba m a t e r i a l n e g o ) w z g l d e m
d o w o l n e g o p u n k t u j e s t r ó w n y s u m i e m o m e n t u b e z w Ba d n o [c i
w z g l d e m [r o d k a m a s y i i l o c z y n u m a s y b r y By p r z e z k w a d r a t
o d l e g Bo [c i d a n e g o p u n k t u o d [r o d k a m a s y .
4 9
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M o m e n t y b e z w Ba d n o [c i
" T r a n s f o r m a c j a r ó w n o l e g Ba m o m e n t ó w b e z w Ba d n o [c i
T w i e r d z e n i e S t e i n e r a
M o m e n t b e z w Ba d n o [c i c i a Ba m a t e r i a l n e g o w z g l d e m d o w o l n e j
p Ba s z c z y z n y j e s t r ó w n y s u m i e m o m e n t u b e z w Ba d n o [c i w z g l d e m
p Ba s z c z y z n y r ó w n o l e g Be j p r z e c h o d z c e j p r z e z [r o d e k m a s y o r a z
i l o c z y n u m a s y c i a Ba i k w a d r a t u o d l e g Bo [c i m i d z y t y m i
p Ba s z c z y z n a m i .
5 0
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M o m e n t y b e z w Ba d n o [c i
" T r a n s f o r m a c j a r ó w n o l e g Ba m o m e n t ó w b e z w Ba d n o [c i
T w i e r d z e n i e S t e i n e r a
M o m e n t b e z w Ba d n o [c i c i a Ba m a t e r i a l n e g o w z g l d e m d o w o l n e j o s i
j e s t r ó w n y s u m i e m o m e n t u b e z w Ba d n o [c i w z g l d e m o s i
r ó w n o l e g Be j p r z e c h o d z c e j p r z e z [r o d e k m a s y o r a z i l o c z y n u m a s y
c i a Ba i k w a d r a t u o d l e g Bo [c i m i d z y o s i a m i .
5 1
2 0 0 8 - 1 1 - 1 9
M o m e n t y b e z w Ba d n o [c i
" T r a n s f o r m a c j a m o m e n t ó w b e z w Ba d n o [c i p r z y o b r o c i e
u k Ba d u w s p ó Br z d n y c h
M o m e n t y b e z w Ba d n o [c i
5 2
2 0 0 8 - 1 1 - 1 9
M o m e n t y b e z w Ba d n o [c i
" G Bó w n e o s i e i m o m e n t y b e z w Ba d n o [c i
P o s z u k i w a n y j e s t t a k i k t , p r z y
k t ó r y m m o m e n t b e z w Ba d n o [c i I y
j e s t m a k s y m a l n y .
W a r u n e k k o n i e c z n y i s t n i e n i a
e k s t r e m u m .
5 3
2 0 0 8 - 1 1 - 1 9
M o m e n t y b e z w Ba d n o [c i
" C h a r a k t e r y s t y k i w y b r a n y c h p r z e k r o j ó w
5 4
2 0 0 8 - 1 1 - 1 9
M o m e n t y b e z w Ba d n o [c i
" C h a r a k t e r y s t y k i w y b r a n y c h p r z e k r o j ó w
5 5
2 0 0 8 - 1 1 - 1 9
M o m e n t y b e z w Ba d n o [c i
" C h a r a k t e r y s t y k i w y b r a n y c h p r z e k r o j ó w
5 6
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