426907370
13
Wykład 2
dla t> C (zamieniliśmy w oznaczeniach C na —C). Dla t = C to rozwiązanie przedłuża się do x(C) = 0. Mamy wówczas prawostronną pochodną x(C) = 0. Istnieje także inne rozwiązanie: x(t) = 0. Zatem dla żadnego to € R nie ma jednoznaczności rozwiązań zagadnienia Cauchy’ego z warunkiem początkowym, x(io) = 0.
Dowód twierdzenia Picarda-Lindelofa
Zauważmy, że operator £, zdefiniowany wzorem
£(w)(t) = xo + [ F(u(s))ds Jt0
przeprowadza przestrzeń C funkcji ciągłych z [i0, £o + ać], o wartościach w zbiorze {||x — Xo|| < 6} C Rm, takich, że u(t0) = x0 w siebie, gdyż
||£(a)(() - Zo|| < j( ||F(s,u(s))||* <M-j^ = b.
Ponadto £ jest kontrakcją. Załóżmy bowiem, że mamy dwie funkcje u(t),v(t) 6 C. Wtedy dla każdego t0 < t < t0 + c/:
|j£(«)(t)-£(»)(t)|| = || /V(u(«))-FM»))*||
J to
< L ( ||«(s) — u(s)||ds
Jto
< T sup |K»)-«(»)||.
fo<s<to+a'
Przestrzeń C, na której działa £, jest w metryce sups ||u(s) — u(s)|| zupełna. Zatem z twierdzenia Banacha o odwzorowaniu zwężającym istnieje dokładnie jeden punkt stały u = C(u). Funkcja u jest rozwiązaniem zagadnienia Cauchy’ego.
□
Uwagi:
1. Istnienie rozwiązania udowodniliśmy już w Tw. Peano. W dowodzie Tw. Picarda-Lindelofa nowością była jedyność rozwiązania, prawdziwa dzięki lipschitzowskości F.
2. Warunek a' < ^ < £ jest tylko techniczny. Gdyby So < a (a - stała z twierdzenia Peano)
był ostatnim czasem, takim, że u(s) = v(s), powyższe twierdzenie zastosowane
dla to = So, dałoby równość u(s) = v(s), także w pewnym przedziale [ó‘o, So+e], co przeczy definicji So-
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Dlaczego warto chodzić na siłownię? Powodów, dla których warto wybrać się do fitness klubu jest całe
Plan Gospodarki Odpadami dla Powiatu Kazimierskiego na lata 2008 - 2011 W Planie odniesiono się do t
SA-P 2006 Wawel S.A. przez NBP dla danej waluty na ten dzień. Powstałe różnice zalicza się do przych
5 ale są nieciekawe dla dzieci, nie przyczyniają się do rozwoju myślenia. Nuda wkraczająca na lekcj
Projekt: !M4T(/£4 dn^LT 13 rePe V 0W dla u”niow PrzVgotowu
img007 rozdzielanej mieszaniny i wynosi: w granicach 0.1 -ś- 10 pl dla cieczy i lrlO p1 dla gazów. P
dla grupy terenowej odbywają się w do sali i) (eta) Coli. Iuridicum Novum - w soboty w godzinach: 14
• Współtworzenie części serwerowej dla systemu mobilnego Przyczyń się do rozwoju i
Inga Iwasiów Gender dla średniozaawansowanych0 przekazu, zbliżamy się do niego, tracimy dobrowoln
5 (1656) z.ia. Natomiast przy obserwacjach astronomicznych, szczególnie dla tycn, itóre odnoszą się
DSC04195 Pobieranie nasienia Nasienie dla potrzeb inseminacji uzyskuje się do sztucznej pochwy w cza
©Środowisko Ochrona środowiska jest ważnym zagadnieniem dla producenta. Producent zobowiązuje się do
więcej podobnych podstron