4292417171

Ekstrema globalne

Na szczęście nie zawsze musimy sprawdzać warunek konieczny istnienia ekstremum. Jeśli szukamy wyłącznie ekstremów globalnych (tzn. wartości największej i najmniejszej danej funkcji), to możemy skorzystać z twierdzenia Weierstrassa, które mówi, że funkcja ciągła na obszarze domkniętym i ograniczonym przyjmuje wartość największą i najmniejszą. Jeśli więc obszar na którym badamy funkcję jest właśnie taki, to wystarczy znaleźć punkty ” podejrzane” o to, że jest w nich ekstremum lokalne, a następnie porównać wartości w tych punktach. Najmniejsza i największa z nich to właśnie ekstrema globalne.

W praktyce szukanie ekstremów globalnych jest najczęściej dwuetapowe. Jeśli szukamy tych ekstremów dla funkcji f(x,y) na obszarze g(x, y) < 0, to najpierw szukamy punktów stacjonarnych funkcji / leżących ściśle wewnątrz obszaru (spełniających nierówność ostrą), a następnie badamy zachowanie funkcji na brzegu obszaru (czyli wtedy gdy w warunku definiującym obszar zachodzi równość). Tę drugą czynność można zrobić na kilka sposobów:

•    - używając mnożników Lagrange’a

•    - parametryzując brzeg obszaru

•    - pozbywając się jednej ze zmiennych

Nie zawsze można zastosować wszystkie te metody, często też w danym wypadku jedna jest wyraźnie najlepsza.

Przykład:

Zbadać ekstrema globalne funkcji /(x, y) = 2x² - y² na zbiorze x² + y² < 1

Zauważmy najpierw, że obszar jest domknięty i ograniczony, zatem na pewno funkcja przyjmuje na nim swoje ekstrema globalne.

Szukamy najpierw ekstremów lokalnych wewnątrz obszaru: f'_x = 4x, /' = -2y, skąd widać, że jedynym punktem podejrzanym o bycie ekstremum lokalnym / jest (0,0) i istotnie leży on ściśle wewnątrz obszaru. Mamy też /(0,0) = 0.

Musimy więc teraz zbadać zachowanie funkcji / na brzegu, czyli przy warunku x² + y² = 1.

•    Sposób 1: mnożniki Lagrange’a F(x, y, A) = 2x² - y² - A(x² + y² - 1)

Rozwiązujemy więc układ równań:

4x - 2Ax = 0 -2y - 2Ay = 0 x² + y² = 1

Otrzymujemy punkty stacjonarne: (1,0), (-1,0), (0,1), (0,-1). W dwóch pierwszych wartość funkcji to 2, a w dwóch ostatnich -1. Porównując to z ze znalezioną wcześniej wartością 0 otrzymujemy, że wartość największa naszej funkcji w danym kole to 2, a najmniejsza to -1.

•    Sposób 2: parametryzacja.

Parametryzacja brzegu koła, czyli okręgu, to (cost, sint) dla t € [0,27r]. Mamy więc na brzegu obszaru:

/(x, y) = /(cos t, sin t) = 2 cos²1 - sin²1 = 3 cos²1 - 1

Oczywiście na przedziale [0, 27t] najmniejsza wartość tej funkcji to -1, a największa 2, więc takie są ekstrema na brzegu, a wnętrze obszaru tego nie zmienia.

5

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
próbach, błędach i (potencjalnie zgubnych) fałszywych założeniach. Na szczęście nie musimy sami uczy
jak wyleczyłem dziecko z dysleksji0004 padku Dominika (na szczęście!) nie była to dysleksja najgłębs
książka
7 (2) nawet w agencji modelek i kilka razy wzięła udział w zdjęciach do katalogu Moda młodzi
str 082 083 razem na szczęście nie zwołano sądu wojennego, gdyż minister skarbu, książę Franciszek K
TEMAT NUMERUZ czym kogo?Na studiach nie zawsze jest kolorowo. Czasami pojawiają się problemy, a zara
nych jak zwykle 10 pocisków. Na szczęście nie zapaliły się, natomiast hamulce działa zostały rozbite
94280101 djvu FIZYOLOGIA UKŁADU NERWOWEGO 281 Wpływ wyższych ośrodków układu nerwowego na odruchy
Na szczęście nie wszystkie definicje pojęcia „public relations” są tak rozbudowane, jak przytoczona

więcej podobnych podstron