8097134315
60
Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4
Stosując teraz do prawej strony (4.4) twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności majoryzowanej otrzymujemy ostatecznie
?UKX‘ > A) - ^
Ponieważ X jest cad, więc
{ supXt > a} = { supXt > A>, t€K J L ł€l J
co kończy dowód l(i). Przejdziemy teraz do dowodu l(ii). Ustalmy A > 0. Niech F — {ti,..., tn} C I = [a, b\. Określmy T\= a oraz
Y _ f inf{t E F : Xt < —A}, gdy istnieje t E F takie, że Xt < —A,
\ b gdy nie istnieje t E F takie, że Xt < —A.
Mamy T<i > T\, stąd i z (4.3) dostajemy E(Xt2) > E(Xx1) = EXa. Zatem
EXa < E(XT2I{\nft&Fxt<-\}) + E(XT2I{inftęFxt>-\})
Powyższa nierówność jest równoważna
~E{Xt2I{infteFXt<—A}) < ~EXa + E(XT2I{in(teFXt>-\}),
z której otrzymujemy
Xt < ~- ~E(XT2I{mfteF Xt<-\}) ^ ~EXa + E(XbI{mfteFxt>-\})-
Niech teraz (Fn}n>i będzie ciągiem skończonych zbiorów Fn C I, Fn C Fn+i, n > 1 takich, że U^=i Fn = F = Q D J U {6}. Zachodzi wzór
u {&*<-*}={&**<-4
Mając na uwadze powyższy wzór dostajemy
P{ inf Xt < -Al = lim p{ inf Xt < -\\
(4.5)
l teK J n—>oo L t€F„ J
< „U® \[~EXa + E(XbIlin^Pn *,>_*,)] ■
Stosując teraz do prawej strony (4.5) twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności majoryzowanej otrzymujemy ostatecznie
p{ < -a} < \ [ - EXa + iWpnF,.* *«>-*>)]•
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
48 Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 44 Kilka klas procesów 4.1 Procesy rosnące i przestrzeni
57 Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4 Rzeczywiście, niech s < t wtedy E[Yt-YsFs) =
58 Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4 Dla a G IR mamy {XTi < a} D {Ti = k} = {X* < a}
59 Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4 Twierdzenie 4.8 Niech I = [a, b] C [0, oo]. 1.
61 Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4 Ponieważ X jest cad, więc { inf Xt < -x = { inf Xt
62 Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4 Wniosek 4.10 Jeśli proces X jest cad martyngałem (lub
63 Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4 Dowód. Dowód (a) wynika z odpowiedniego twierdzenia dl
64 Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4 Dowód, (z) =+ (ii) Niech s,t € I,s < t, A € Es. Pon
65 Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4 • Istnieją skończenie całkowalne zmienne losowe Y, Y2
66 Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4 Wniosek 4.18 Niech X będzie cad submartyngałem, aT cza
49 Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4 (i) Dla 0 <s<t mamy Va(X) <
67 Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4 4.3 Twierdzenia o rozkładzie Definicja 4.22 Mówimy, że
50 Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4 gdzie <HX) = X + V(X) 2*{X) = V(X) - X 2 Z (4.1) pr
Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4 51 orazUt = [ X+d<j)(A)a + f X~dip(A
52 Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4 Niech więc X = /[si00
Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4 53 Proces I{s< } jest cag i adaptowany, A jest prognoz
54 Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4 4.2 Martyngały, submartyngały i supermartyngały z czas
55 Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4 5. Niech P i Q będą miarami probabilistycznymi na (17,
więcej podobnych podstron