8097134317

Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4

Wniosek 4.10 Jeśli proces X jest cad martyngałem (lub dodatnim cad submartyngałem) na I = [a, b) C [0, oo] to rodzina {Xt}tęi jest jednostajnie całkowalna.

Dowód. Zachodzi nierówność

Z twierdzenia 4.8 część l(i) mamy

^{suPte/l-^l >    ^    [ l-^&l ] —^ 0,    A —» oo.

Teraz tezę otrzymujemy z twierdzenia o absolutnej ciągłości całki.

□

Twierdzenie 4.11 Każdy cad submartyngał X = {^t}t>o jest cadlag submartyngałem.

□

Twierdzenie 4.12 Submartyngał X = {ATt}i>o ma cad modyfikacją wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja F(t) = E[Xt\ jest prawostronnie ciągła.

□

Z tych dwóch twierdzeń wynika następujący wniosek: Każdy martyngał X = {-Xi}t>o posiada cadlag modyfikację, dlatego od tego momentu będziemy zawsze zakładać, że rozważane martyngały są cadlag.

Twierdzenie 4.13 Zachodzą następujące fakty:

(a)    Niech {Xt}t>o będzie cad submartyngałem takim, że

sup£[X+] < +oo. t> o

Wtedy istnieje (skończenie całkowalna) granica lim^^ X_t, P-p.w.

(b)    Jeśli {AT(} jest cad submartyngałem i {X_ż⁺} jest jednostajnie całkowalny to X jest zbieżny P-p.w. do skończenie całkowalnej zmiennej losowej X_OQ oraz jE/[.X₀₀|.7^:i] > X_t.

(c)    Jeśli {Xf}«>0 jest jednostajnie całkowalnym martyngałem wtedy X jest zbieżny P-p.w. do skończenie całkowalnej zmiennej losowej X₀₀ oraz 2£[X₀₀|.Ft] = X_t.

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
66 Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4 Wniosek 4.18 Niech X będzie cad submartyngałem, aT cza
48 Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 44 Kilka klas procesów 4.1 Procesy rosnące i przestrzeni
57 Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4 Rzeczywiście, niech s < t wtedy E[Yt-YsFs) =
58 Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4 Dla a G IR mamy {XTi < a} D {Ti = k} = {X* < a}
59 Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4 Twierdzenie 4.8 Niech I = [a, b] C [0, oo]. 1.
60 Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4 Stosując teraz do prawej strony (4.4) twierdzenie
61 Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4 Ponieważ X jest cad, więc { inf Xt < -x = { inf Xt
63 Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4 Dowód. Dowód (a) wynika z odpowiedniego twierdzenia dl
64 Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4 Dowód, (z) =+ (ii) Niech s,t € I,s < t, A € Es. Pon
65 Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4 • Istnieją skończenie całkowalne zmienne losowe Y, Y2
49 Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4 (i)    Dla 0 <s<t mamy Va(X) <
67 Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4 4.3 Twierdzenia o rozkładzie Definicja 4.22 Mówimy, że
50 Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4 gdzie <HX) = X + V(X) 2*{X) = V(X) - X 2 Z (4.1) pr
Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4 51 orazUt =    [ X+d<j)(A)a + f X~dip(A
52 Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4 Niech więc X = /[si00
Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4 53 Proces I{s< } jest cag i adaptowany, A jest prognoz

więcej podobnych podstron