8416072478
2. Jeśli x £ P, to p(x,P) = inf9€p ||rc — q\\ = r > 0, gdyż P jest skończonego wymiaru. Niech Q = P n {q G P | \\q — a;|| < r + e}, gdzie
e > 0 jest ustaloną liczbą. Wtedy Q jest zbiorem zwartym (dlaczego?). Połóżmy f(q) = \\q — x|| dla q G Q; funkcja / jest ciągła i jest określona na zbiorze zwartym Q, a więc na Q osiąga swój kres dolny. To znaczy, że istnieje p G Q spełniające warunek ||p — x\\ = f(p) = infq£Q f(q). To oznacza, że p jest elementem najlepszej aproksymacji dla x. □
W sytuacji, o której mówi Twierdzenie 1.1, element najlepszej aproksymacji dla x G X może być jedyny lub nie, w zależności od własności normy || • ||.
Przykład
Niech X = R2 = {(£,,&) | 6,6 e R}; P = {(6,6)1 6 = 0}, x = (0,1).
1. Jeśli w przestrzeni X przyjmiemy normę euklidesową, ||t/|| = \J(£* + £|) dla y = (^1,^2), to jedynym elementem najlepszej aproksymacji dla x będzie p = (1,0).
2. Jeśli zaś normę określimy tak: ||?/|| = max{|£i|, |^21}, to zbiorem wszystkich elementów najlepszej aproksymacji dla x w P będzie odcinek otwarty ((-1,0), (1,0)).
3. Jeśli (na przykład przy definicji normy z punktu 1.), jako zbiór P przyjmiemy
p = {Ri,6) I 6<i},
to okaże się, że w P nie ma elementu najlepszej aproksymacji
dla x. (Dlaczego?).□
Obiektami, które najczęściej musimy aproksymować są funkcje. Chodzi nam zwykle o to, abyśmy mogli zastąpić funkcję bardzo skomplikowaną lub
taką, o której wiemy zbyt mało
przez inną funkcję, z którą łatwo potrafimy sobie radzić. Takimi stosunkowo łatwymi funkcjami są, na przykład, wielomiany. Ich wartości potrafimy łatwo obliczać (patrz - ćwiczenia: schemat Homera).
2
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
P3230245 MATŁAB Operacje na macierzach i tablicach Jeśli a i b - skalary, to wynik operacji &n
P3300236 Operacje na macierzach i tablicach Jeśli a i b - skalary, to wynik operacji +,
2. jeśli dotyczy to sprawy, w której nie jest podejrzanym; 3. je
Jest to możliwe, jeśli obiekt jest liniowy, stacjonarny i skończenie wymiarowy, tzn. jest opisany ró
2 2. Jeśli ££L0 KI +
DSCN2936 278 Wariat i zakonnica SIOSTRA BARBARA Niewczesne dowcipy. Jest pan skończony wariat. A jeś
Image056 Jeśli funkcja zależy od wielu argumentów, to tworzenie postaci kanonicznej jest pracochłonn
Image2217 Jeśli istnieje e takie, że 0(x0je)c £}, to lim f(x)=f(x$). x^x0
Image4 Zakreśl poprawną odpowiedź. 1. Ryba jest żółta. 2. Dach jest zielony 3- £ To jest
?wiadomy umys? D Chalmers3 superweniencja a wyjaśnienie przy tym wiedzę, czym jest ciepło. Jest to
IMG1202 P L A O I A T Rodza
img073 Jeżeli którakolwiek z liczebności oczekiwanych jest mniejsza niż 5 i 20 < N <40 lub jeś
img336 Rozkład prawdopodobieństwa t (Studenta) x Rys. Dl.9 Rozkład /. gdyż jest to jedynie pewne osz
img346 Interpretacją tego twierdzenia jest, że jeśli III = 0, to cała masa prawdopodobieństwa leży w
IMG 70 (4) £ UKŁADY rOLĄCZtŃ STACJI we. Jest to rozwiązanie charakteryzujące się dużą niezawodnością
więcej podobnych podstron