8416072615

gdzie L jest operatorem różniczkowym działającym na funkcję y w postaci:

£ = ^a»(^x)-^T + o„-i(^x)^ddx„^i + • •' + + «o(*)( )■ (⁴)

Aby operator C był liniowy musi spełniać następujący warunek:

£[cij/i + c₂y₂] = Ci£[i/i] + c₂C[y₂}. (5)

Rozpatrzmy jako przykład dwa równania:

d²y

sdy

^a) +⁸-^4a;r = ⁰’ b) + exp(x²) = 0

da;²

Operatory różniczkowe £ mają odpowiednio postać:

Jeżeli operator C z przykładu a) jest liniowy to powinien spełniać warunek (5):

-8.4xci(j/i)² + c₂

dyi V da: /

- 8.4 z c₂ (y₂)²

Sprawdźmy to:

£[cii/i + c₂y₂] =

d(cm + c₂y₂)

da;

+ 8.4 x (ciyi + c₂y₂)²

_ f rf(ciyi)y _[ frf(czy2)y _| r.djcm) d{c₂y₂)

\ dx ) \ dx J

dx dx

da: da:

= c?£[j/i] + c\C\y₂} + 2^rf(c,^m)d(?!²⁾ + 16.8cij/ic₂y₂

^ Cl£fol] + c₂£[i/₂]

A zatem równanie z przykładu a) jest równaniem nieliniowym. Dla przykładu b) mamy:

£[<*».+<**] =----sm(z)-^-

d²{cm) , d²(c₂t/₂) . , ,d(cij/i) . , ,d(c₂j/₂)

-I--—--smla:)—---sinfa;)-

dx²

d²yi d²y₂ . , . dyi . . , dy₂= ^{Cl + C2} d^ " ^Sm(x)ci d^ “ ^Sm(:c)c2 d^

= ci£[j/i] + c₂£[j/₂]

A zatem równanie z przykładu b) jest równaniem liniowym.

Równania różniczkowe zwyczajne. Lista zadań nr 1