9414912643

Rozdział 4

Elementy teorii miary

Zajmiemy się teraz całkowaniem funkcji wielu zmiennych. Czytelnik wie już, że do ważnych zastosowań całki należy obliczanie pól i objętości. Okazuje się, że pytania jakie funkcje wolno (próbować) całkować¹? dla jakich podzbiorów przestrzeni można w ogóle określić ich objętość? są subtelne, a odpowiedzi na te pytania wymagają głębokiego wniknięcia w pogranicze teorii mnogości i topologii.

Zacznijmy od przykładu, który dobitnie wyjaśnia, że funkcji, która miałaby naturalne pożądane cechy miary, nie można określić na wszystkich podzbiorach prostej.

Przykład 4.1 (G.Vitali). Nie istnieje funkcja /t: 2^R —> [0,+oo)U{+oo}, która spełniałaby następujące warunki:

(i) p([a,b]) = b- a dla każdego przedziału [a,b] C E;

(ii) /i(0) = 0;

(iii) przeliczalna addytywność: Jeśli zbiory Ai C E, i = 1,2,..., są parami rozłączne, to

MUŁ M) = EŁMM);

(iv) niezmienniczość ze względu na przesunięcia: dla każdego zbioru V C E i każdej liczby t G E jest p(t + V) = p(V).

Przypuśćmy, że taka funkcja // jednak istnieje. Określmy relację w zbiorze E: przyjmijmy, że x ~ y wtedy i tylko wtedy, gdy x — yeQ. Łatwo zauważyć, że jest to relacja równoważności: x ~ x dla każdego x e E, gdyż x — x — 0, a 0 € Q; jeśli x ~ y, to także y ~ x, gdyż y — x = — (x — y) jest liczbą wymierną, gdy x — y e Q; wreszcie, x ~ y i y ~ 2 pociąga za sobą x ~ 2, gdyż x — z — (x — y) + (y — z), a suma dwóch liczb wymiernych jest wymierna.

Każda klasa abstrakcji [z] ma reprezentanta y € [0,1]; to wynika stąd, że x ~ x + k dla każdego x € E i każdego k € Z. Korzystając z aksjomatu wyboru, utwórzmy zbiór V C [0,1], który zawiera dokładnie jednego reprezentanta każdej klasy abstrakcji. Rozpatrzmy zbiór

W= U (t + V),

teQn[-i,i]

tzn. sumę mnogościową przesunięć t + V zbioru V o wektory wymierne t z przedziału [—1,1]. Ponieważ V C [0,1], więc W C [—1,2]. Ponadto, dla różnych ti,t2 zbiory t\ + V i £2 + V są rozłączne: gdyby t\ + vi = t% + V2 dla pewnych t\ t2 € Q i V\, V2 G V, to mielibyśmy tą — V2 = <2 — h G Q i t>2 ^ fi, tzn. tą ~ t»2 byłyby różnymi elementami tej samej klasy abstrakcji, wbrew definicji V.