9414912654
81
© MIM UW, 2011 /12
Jeśli fi spełnia warunki (i)—(iv), to n(A) < n(B) dla A C B C R. Dlatego
3 = m([-1,2]) >h(W) = J U (t + V))
'teQn[-i,i]
® E v(t + V)tSii(V)+n(V)+n(V)+--t€Qn[-i,i]
Gdyby fi(V) > 0, to prawa strona byłaby nieskończona. Otrzymujemy więc /z(P) = 0, stąd zaś ii(W) = 0 + 0 + • • • = 0.
Z drugiej strony, zbiór W zawiera cały przedział [0,1]. Istotnie, niech x G [0,1] będzie dowolną liczbą. Wybierzmy v G V tak, aby x ~ v; jest to możliwe, gdyż zbiór V zawiera reprezentanta każdej klasy abstrakcji. Wtedy t = x—v G Qfi[—1,1] i x = t+v G t+V C W. Zatem
l = /*([0,1])<#) = 0.
Ta sprzeczność dowodzi, że nie istnieje funkcja n, spełniająca warunki (iMiv). □
W przestrzeni M3 nawet rezygnacja z przeliczalnej addytywności na rzecz skończonej addytywności nie pomaga: jak udowodnili Banach i Tarski, kulę jednostkową w R3 można podzielić na pięć (parami rozłącznych) zbiorów A,;, 1 < i < 5, a następnie wskazać pięć izometrii 1 < i < 5, przestrzeni R3 takich, że
1) =0l(^l)U02(A2)U03(A3) = 54(^4) Ug5(A5),
gdzie każda z dwóch sum jest sumą zbiorów parami rozłącznych. Gdyby więc istniała skończenie addytywna funkcja nieujemna fi, określona na wszystkich podzbiorach R3 i niezmiennicza ze względu na izometrie, to mielibyśmy
5 5
MB(0,1)) = E M = E Mffi(A)) = 2/1(JJ(0,1)).
(Konstrukcja takiego paradoksalnego rozkładu kuli wykorzystuje, prócz aksjomatu wyboru, fakt, że składanie obrotów w R3 nie jest przemienne, a grupa obrotów zawiera podgrupę wolną o dwóch generatorach.)
Podobne przykłady wskazują, że jakieś ograniczenie klasy zbiorów, dla których będziemy określać miarę, jest rzeczą konieczną.
4.1 Podstawowe pojęcia. Twierdzenie Caratheodory’ego
Niech X będzie dowolnym zbiorem. Będziemy używać oznaczenia [0, +00] = [0, +00) U {+00} = R+ U {0, +00}.
Definicja 4.2 (ciało i <r-ciało zbiorów). Powiemy, że rodzina zbiorów C 2X jest ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy
(i) 0 G
(ii) Jeśli A G &, to także X\Ag-?;
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
85 © MIM UW, 2011/12 Krok 3: jeśli A, B € to A U B e Aby to wykazać, piszemy = AU(
87 © MIM UW, 2011/12 Definicja 4.14. Niech p* będzie miarą zewnętrzną na X. Każdy zbiór Ac X spełnia
93 © MIM UW, 2011 /12 Dla dostatecznie dużego k każdy z przedziałów Pj ma średnicę mniejszą niż d/2,
95 © MIM UW, 2011/12 pierwsza i trzecia równość zachodzą, gdyż miary £ i An znikają na podprzestrzen
97 © MIM UW, 2011/12 Potraktujmy teraz c jako funkcję, określoną na grupie GL(n, R) macierzy nieosob
99 © MIM UW, 2011/12 z dowolności e > 0 wynika, że Xn+m(A x B) — 0 = An(A) x
83 © MIM UW, 2011/12 Definicja 4.7 (miara zewnętrzna). Funkcję p*: 2X —> [O, +oo] nazywamy miarą
2011 12 19 ;57;084 u = - f gdy Re=0 to G(ju) = 2 — 22j• 2j{ 3w-w3) -189^/3-y^ S/31-3 3w — w 3 = 0 w
047 4 Ukladv liniowe 47 Jeśli jest spełniony warunek (6.25), to odpowiedź jest ograniczona: istnieje
DSC05279 (3) 2011-12-05OSTRE ROZSZERZENIE I SKRĘT ŻOŁĄDKA jest to stan w którym dochodzi do powiększ
Kursy do wyboru TRANSLATORYKA — ST. DZIENNE 2011/12 texts. Students will be required to make both de
Badania laboratoryjne w psychiatrii (2) 2011-12-16Pobieranie krwi żylnej - wskazania • &
227(1) (4) «•= 1 / -j~dx («= 1,2,3,...) o Jeśli funkcja f(x), spełniająca warunki Dirichleta, jest
DSC?16 (2) 20 Pewne szczegóły mogłyby mnie „nakłuwać”. Jeśli się tak nie dzieje, to pewnie dlatego,
9 Cykle Hamiltona/obchody Eulera Zadanie 9.1. Udowodnij, że jeśli graf G ma ścieżkę Hamiltona, to dl
KIF40 232. Dowiedź, że jeśli R jest relacją odwrotnie jednozm. i to dla dowolnych zbiorów A. B: (a)
KSE6153 II L09 467 1R49 „dom obrzydliwy. Pomnieć trzeba na to, ae jeśli kogo z niska „fortuna wynos
więcej podobnych podstron