9414912684
10
WYKŁAD 1. CIĄGI I SZEREGI LICZBOWE
1.1 Definicja i podstawowe własności
Definicja 1.1. Ciąg liczbowy jest funkcją, której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych N natomiast wartościami liczby rzeczywste (lub zespolone jeśli rozpatrujemy ciągi o wartościach zespolonych).
Liczbę rzeczywistą przyporządkowaną liczbie naturalnej n, oznaczamy przez an i nazywamy n-tym wyrazem ciągu, zaś ciąg oznaczamy symbolem {an}. Aby określić ciąg podajemy wzór na n-ty wyraz ciągu, czyli an.
Przykład 1.2. a) an = ^ czyli Oi = l,a2= 5,03 = 5,...
b) an = (—l)n czyli a\ = —1, <22 = 1,03 = — 1,...
Aby utworzyć an+1 wyraz ciągu należy zastąpić występującą w an liczbę n przez n +1.
Przykład 1.3.
2 n + 1 2 (n + 1) 1 2n -t- 3
n 3n + 2’ n+1 3(n+l) + 2 3n + 5
Ciąg ma interpretację geometryczną na płaszczyźnie OXY, jako zbiór punktów (n, an). Ciąg może być:
a) rosnący jeżeli an+1 > an dla każdego n € N.
b) niemalejący jeżeli an+1 > an dla każdego n G N.
c) malejący jeżeli an+1 < an dla każdego n G N.
d) nierosnący jeżeli an+1 < an dla każdego n G N.
Ciąg jest monotoniczny, jeżeli spełnia co najmniej jeden z powyższych warunków, z tym, że ciąg rosnący jest także niemalejący, zaś ciąg malejący jest także nierosnący. Ciągi rosnące i malejące nazywamy ściśle monotoniczny mi. Ciągi które nie są monotoniczne nazywamy niemonotonicznymi.
Przykład 1.4. Zbadać monotoniczność ciągu
_ 2n+ 1 ~ 3n + 2
mamy
2n + 3 2n + l (2n + 3)(3n + 2) - (3n + 5)(2n + 1) an+i -an- 3n + 5 - 3n + 2 “ (3n + 5)(3n + 2) "
- 1
(3n + 5)(3n + 2) >
dla n e N. Oznacza to, że an+1 — an > 0 tzn. an+1 > an. Ciąg jest zatem rosnący.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
12 WYKŁAD 1. CIĄGI I SZEREGI LICZBOWEGranica ciągu Liczbę a nazywamy granicą ciągu {an}, co
14 Rozwiązanie. WYKŁAD 1. CIĄGI I SZEREGI LICZBOWE lim Vńi = lim (l/S)4 = (lim ?/5)4 = (l)4 = 1. Prz
16 WYKŁAD 1. CIĄGI I SZEREGI LICZBOWE1.3 Kryteria zbieżności szeregów Kryterium porównawcze Bardzo
18 WYKŁAD 1. CIĄGI I SZEREGI LICZBOWE Rozwiązanie. Stosujemy kryterium Cauchy’ego lim /an —
20 WYKŁAD 1. CIĄGI I SZEREGI LICZBOWE1.4 Pytania do Wykładu 1. Co to jest ciąg lic
MATEMATYKA033 58 II. Ciągi i szeregi liczbowe W szczególności ciągi rosnące i malejące nazywamy ściś
MATEMATYKA035 m. 62 U Ciągi i szeregi liczbowe Z tej ostatniej nierówności i twierdzenia o granicy t
MATEMATYKA038 0. Ciągi i szeregi liczbowe . gdy:7.b)a„=(-ir^. £ s d)a„=(-D II. Obliczyć lims/faj, gd
MATEMATYKA041 74 II. Ciągi i szeregi liczbowe Ponieważ twierdzenia proste i przeciwstawne są równowa
MATEMATYKA046 84 II. Ciągi i szeregi liczbowv KRYTERIUM DALEMBERTA (dla szeregów o wyrazach dowolnyc
więcej podobnych podstron