9414912686

WYKŁAD 1. CIĄGI I SZEREGI LICZBOWE

Granica ciągu

Liczbę a nazywamy granicą ciągu {a_n}, co zapisujemy

lim a_n = a

n—>oo

jeżeli każde otoczenie liczby a zawiera prawie wszystkie wyrazy tego ciągu.

Jest to równoważne następującemu zapisowi: dla każdego e > O prawie wszystkie wyrazy ciągu spełniają nierówność \a_n — a\ < e. Jeżeli ciąg {a_n} posiada granicę skończoną to mówimy, że ciąg jest zbieżny. Ciąg, który nie jest zbieżny nazywamy rozbieżnym. Można wykazać następujące

Twierdzenie 1.6. Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony.

Twierdzenie 1.7. Każdy ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny.

Wśród ciągów rozbieżnych wyróżniamy takie które są rozbieżne do +oo lub —oo, czyli lim a_n = oo lub lim a_n = —oo Wyznaczanie granic ciągów ułatwia następujące twierdzenie Twierdzenie 1.8. Jeżeli ciągi {a_n},{6_n} są zbieżne oraz

lim a_n = a lim b_n = b

n—>oo    n—>oo

to mamy następujące równości

a) lim (a_n ± b_n) — a ± b

n—> oo

b) lim (a_nb_n) — ab

n—>oo

c) lim p =

n—> oo b_n

gdy b_n yś O dla każdego n € N oraz b ^ 0.

Przy obliczaniu granic mogą wystąpić wyrażenia nieoznaczone

OO O    _n „fi . nr.

—,    -, O • oo, oo ,    0°,    1, oo — oo.

oo O

W tym przypadku nie można powiedzieć nic o zbieżności ciągu. Stosując odpowiednie przekształcenie wyrazu ogólnego a_n ciągu, można niejednokrotnie uwolnić się od wyrażenia nieoznaczonego.

Jeżeli a_n jest funkcją wymierną to wystarczy podzielić licznik oraz mianownik przez n występujące w najwyższej potędze mianownika.

Przykład 1.9. a) lim —■=- = lim -^ — -

³    ’ oo 3n² + 1 rwoo 3 +    3

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
80805 MF dodatekA02 Aneks A .1 Ciągi i szeregi liczbowe 247 Liczbę q nazywamy ilorazem ciągu g
18 WYKŁAD 1. CIĄGI I SZEREGI LICZBOWE Rozwiązanie. Stosujemy kryterium Cauchy’ego lim /an —
10 WYKŁAD 1. CIĄGI I SZEREGI LICZBOWE1.1 Definicja i podstawowe własności Definicja 1.1. Ciąg liczbo
14 Rozwiązanie. WYKŁAD 1. CIĄGI I SZEREGI LICZBOWE lim Vńi = lim (l/S)4 = (lim ?/5)4 = (l)4 = 1. Prz
16 WYKŁAD 1. CIĄGI I SZEREGI LICZBOWE1.3 Kryteria zbieżności szeregów Kryterium porównawcze Bardzo
20 WYKŁAD 1. CIĄGI I SZEREGI LICZBOWE1.4 Pytania do Wykładu 1.    Co to jest ciąg lic
PB032261 129 Granica ciągu liczbowego DEFINICJA 2.12 Liczbę O nazywamy granicą ciągu (a„) wtedy i ty
PB032261 129 Granica ciągu liczbowego DEFINICJA 2.12 Liczbę O nazywamy granicą ciągu (a„) wtedy i ty
PB032261 129 Granica ciągu liczbowego DEFINICJA 2.12 Liczbę O nazywamy granicą ciągu (a„) wtedy i ty
MATEMATYKA033 58 II. Ciągi i szeregi liczbowe W szczególności ciągi rosnące i malejące nazywamy ściś
2 (3) 68 3. Ciągi i szeregi liczbowe Wybierzmy tak liczbę naturalną p, aby liczby 1,2,..., N były za
MATEMATYKA035 m. 62 U Ciągi i szeregi liczbowe Z tej ostatniej nierówności i twierdzenia o granicy t
MATEMATYKA038 0. Ciągi i szeregi liczbowe . gdy:7.b)a„=(-ir^. £ s d)a„=(-D II. Obliczyć lims/faj, gd
MATEMATYKA041 74 II. Ciągi i szeregi liczbowe Ponieważ twierdzenia proste i przeciwstawne są równowa

więcej podobnych podstron