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Bv Chaąue nombre Cardinal est fini ou transfini (m < ou K0<!m).
Cv Si ni On, on n’a pas: n < m.
Or, on sait que:
83. La proposition 51 est equivalente a chacune des suivantes:
(L) BY Si l’on a: m -j- N0 < m -[- q, on a: K0<q.
(L) By Si Ton a: N0 + p < X0 + q, on a: p < q.
(T) BĄ. Si Ton a: N0<>n, on a: N0 n.
(T) Bs. Si Ton a: K0+p = K0+q, on a: P *o et q<K0
ou bien: p = q.
B2 et B.j sont a confronter avec le th. 33.
84 (T). On peut deduire de la proposition C1 (sans faire intervenir l’axiome du choix) les consequences que voici:
Cr L’ensemble de points d’une droite ne peut etre de-compose en deux ensembles de puissance plus petite (en d’autres termes: 2s,ł est un nombre indecomposable).
Cy II existe des ensembles non-denombrables de points ne contenant aucun sous-ensemble parfait.
C4. II existe des fonctions de variable reelle non mesura-
bles (L).
Les propositions C2 — C4 resultent de certaines propositions
plus generales qui peuvent etre deduites de Cv mais que nous ne citons pas ici.
M. Lindenbaum a pose le probleme de rechercher les relations logiques entre l’axiome du choix et les propositions suivantes qui expriment de differentes manieres rhypothese dite „hypothese gfeneralisee du continu,> (ou „hypothese de C a n t o r sur les alephs”):
Dy m 6tant un nombre transfini quelconque, il n’y a aucun nombre X qui satisfasse a la formule: m<,v<2in.
Dy a etant un aleph quelconque, il n’y a alcun nombre X
tel que Ton ait: a<y<:2a.
Dy a. etant un nombre ordinal arbitraire, ona:Ka+1=2x«.
MM. Lindenbaum et Tarski ont resolu ensemble (1925) ce probleme (v. 94 — 96), en partant de quelques theo-remes generaux sur les nombres cardinaux; pour formuler ces
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