1935182603

SPIS TREŚCI

Definicja 0.3.3 (Ciąg ograniczony) Niech będzie dany ciąg liczbowy (a_n)_nem> to powiemy że jest on

ograniczony z góry: gdy (3M G R)(Vn G N)    < M,

ograniczony z dołu: gdy (3m G R)(Vn G N) m < a_n,

ograniczony: gdy jednocześnie jest ograniczony z góry i jest ograniczony z dołu.

Oczywiście mamy następujący fakt

Fakt 0.3.1 Ciąg liczbowy (on)neN jest ograniczony wtedy i tylko wtedy gdy

(3M G R)(Vn G N) |o„| < M.

Przykład 0.3.3 Rozważmy dwa ciągi (a_n)_n6N,

•    jeżeli dla dowolnego n G N a_n = ^y, to wtedy 0 < ^y < 1, więc (a_n)neN jest ograniczony,

•    jeżeli dla dowolnego n G N b_n = n², to wtedy dla każdego n G N mamy 0 < b_n i dla dowolnej liczby rzeczywistej M G R istnieje no G N takie że M < % ale mamy również n < n² dla każdej liczby naturalnej n. Więc ostatecznie dla każdej Mg R istnieje no G N takie że M < n% = b„₀. Reasumując, (b_n)_n€n jest ciągiem ograniczonym z dołu ale nie jest ciągiem ograniczonym z góry.

Twierdzenie 0.3.3 (Weierstrassa) Każdy ciąg ograniczony zawiera podciąg zbieżny.

Dowod. Załóżmy, że ciąd (a„)neN jest oganiczony, weźmy pod uwagę następujący zbiór:

P=|iGR: |{n G N : a_n < z}| < N₀

Zauważmy, że nasz zbiór jest niepusty i nie jest całą prostą R, co wynika z tego, że istnieje takie m, M G R, że m < a_n < M dla dowowlnego n G N (ciąg ograniczony). Niech x G P i y < x, to wtedy prawdziwa jest inkluzja

{n G N : a_n < y} C {n G N : a_n < x}

ale ten większy zbiór jest skończony, więc {n G N : a_n < y} jest skończony a stąd y G P, więc P jest przedziałem ograniczonym z góry. Stąd istnieje kres górny g G R zbioru P. Niech k G N to {n (żN : On < g — £} jest skończony oraz {nGN:a„<j + |} jest nieskończony, więc

Więc istnieje mk > k, że a_mk G (ff —    + f), ale k € N jest dowolne, co kończy dowód naszego

twierdzenia. ■

Zachodzi w pewnym sensie twierdzenie odwrotne do poprzedniego.

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Definicja (w sensie Cauchy’ego) Niech będzie dany punkt € R oraz niech będzie dana funkcja f : Df —►
Definicja 6.14 (Całka potrójna po obszarze w ft*) Niech f będzie funkcją ograniczoną i określoną nu
12 SPIS TREŚCI0.3 Ciągi liczbowe Definicja 0.3.1 (Ciąg liczbowy) Ciągiem liczbowym nazywamy każdą
12 SPIS TREŚCI0.3 Ciągi liczbowe Definicja 0.3.1 (Ciąg liczbowy) Ciągiem liczbowym nazywamy każdą
12 SPIS TREŚCI0.3 Ciągi liczbowe Definicja 0.3.1 (Ciąg liczbowy) Ciągiem liczbowym nazywamy każdą
1 (47) 53 Szeregi 3.21. Definicja. Niech będzie dany ciąg {<!„}. Sumę flp+flp+, + ...+fl,(p <
12 SPIS TREŚCI0.3 Ciągi liczbowe Definicja 0.3.1 (Ciąg liczbowy) Ciągiem liczbowym nazywamy każdą
12 SPIS TREŚCI0.3 Ciągi liczbowe Definicja 0.3.1 (Ciąg liczbowy) Ciągiem liczbowym nazywamy każdą
12 SPIS TREŚCI0.3 Ciągi liczbowe Definicja 0.3.1 (Ciąg liczbowy) Ciągiem liczbowym nazywamy każdą
12 SPIS TREŚCI0.3 Ciągi liczbowe Definicja 0.3.1 (Ciąg liczbowy) Ciągiem liczbowym nazywamy każdą
http://layer.uci.agh.edu.pl/maglay/wrona/SPIS TREŚCI 1.Definicja linii

więcej podobnych podstron