2852046711

2. Co każdy logik wiedzieć powinien ... 12

Jak możemy zobaczyć, na diagramie zaznaczona została pustość zbioru wszystkich przedmiotów nie mających własności A („-” na obszarach III, IV) oraz pustość zbioru wszystkich przedmiotów nie mających własności B na obszarach II i IV). A zatem prawdziwe jest zdanie [(Vx)A(a;) A (Vx)B(x)], czyli badane wyrażenie jest prawem logiki.

2.3. Wybrane pojęcia teorii zbiorów i relacji

Podczas dotychczas prowadzonych rozważań pojawiały się terminy „zbiór” oraz „relacja”. W tym miejscu chcemy krótko omówić kilka spośród najważniejszych pojęć teorii zbiorów oraz tej jej części, którą stanowi teoria relacji. Ponieważ pojęcia te są znane z programu matematyki w szkole średniej, poniższe uwagi będą bardzo krótkie. Należy jeszcze dodać, że w poniżej prezentowanej teorii zbiorów posługiwać się będziemy znakiem równości, zakładając, że spełnione są następujące trzy warunki dotyczące relacji równości (identyczności):

x = x

tzn., że każdy przedmiot jest identyczny z samym sobą.

x = y

y = x

czyli jeśli x jest identyczny z y, to i y jest identyczny z x.

(x = y Ay = z) —> x = z

czyli jeśli x jest identyczny z y, a y jest identyczny z z, to x jest identyczny z z.

2.3.1. Pojęcie zbioru, działania na zbiorach i stosunki między zbiorami

Jak wskazaliśmy we wzmiankowanym już paragrafie książki, zbiory w sensie dystrybutywnym mogą być formowane przez proste wyliczenie jakichś przedmiotów lub przez podanie własności posiadanej przez wszystkie przedmioty danego zbioru. Ten drugi sposób można zapisać w postaci wzoru:

X S {y : W(y)} = W(x)

co można odczytać w sposób następujący: x należy do zbioru tych i tylko tych przedmiotów, które posiadają własność W wtedy i tylko wtedy, gdy x posiada własność W. Formułę tę czasem nazywa się aksjomatem definicyjnym. Obok tego warunku podstawowy dla rozumienia pojęcia zbioru jest warunek równości dwóch zbiorów, który może być zapisany w następujący sposób:

A = B = (Vx)[x G A = x G B]

Warunek ten stwierdza, że dwa zbiory są równe (identyczne) wtedy i tylko wtedy, gdy mają dokładnie te same elementy. Identyczne są więc np. takie