METODA RÓŻNIC SKOCCZONYCH. Spośród metod numerycznych dotyczących rozwiązywania r. r. zw., metody korzystające z różnic skończonych są najbardziej zrozumiałe, najczęściej używane i najbardziej uniwersalne. & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & Techniki różnic skończonych oparte są na przybliżeniach, które pozwalają na zastąpienie równania różniczkowego przez równania różnic skończonych. Te przybliżenia mają formę algebraiczną, wiążą wartość zmiennej zależnej w punkcie przedziału rozwiązania z wartościami w sąsiednich punktach (węzłach). & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & .. Rozwiązanie problemu metodą różnic skończonych można podzielić na kilka etapów: (1) podzielenie przedziału rozwiązania na przedziały częściowe z krokiem h, (2) przybliżenie danego równania różniczkowego przez równoważne, równanie różnicowe, co opowiada zależności zmiennej zależnej w punkcie przedziału rozwiązania od jej wartości w punktach sąsiednich, (3) rozwiązywanie równań różnicowych podlegających określonym warunkom początkowym lub brzegowym. & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & Szczegółowy sposób postępowania jest podyktowany przez naturę rozwiązywanego problemu, przedział rozwiązania i warunki początkowe lub brzegowe. & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & Metoda budowy schematu różnicowego dla równań różniczkowych cząstkowych jest zbliżony do schematu r. r. zw. - "obszar całkowania" nie dotyczy jednak przedziału całkowania lecz zbiorów z przestrzeni dwu lub więcej wymiarowej. & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & 1 Konstrukcja przybliżenia (aproksymacji) danego równania różniczkowego różnicami skończonymi. Dla danej funkcji f(x) można aproksymować jej pochodną ( nachylenie, lub tangens) w punkcie P przez 1. nachylenie łuku PB dane przez formułę przedniej różnicy funkcji 2. przez nachylenie łuku AP dane przez lub formułę wstecznej różnicy funkcji = lub 3. przez nachylenie łuku AB dane przez formułę centralnej różnicy funkcji 2 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = Drugą pochodną można aproksymować za pomocą różnicy centralnej: . Jakiekolwiek przybliżenie wartości pochodnej przez dyskretny układ punktów nazywa się przybliżeniem różnicy skończonej. = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = Zaprezentowana interpretacja różnic skończonych jest raczej intuicyjna. Bardziej ogólne wyrażenie można uzyskać z rozwinięcia funkcji w szereg Taylor a. oraz gdy , otrzymamy: . Dodając te równania otrzymamy: gdzie O(Dx)4 jest błędem wprowadzonym przez obcięcie szeregu. Mówimy, że ten błąd jest rzędu (Dx)4 lub po prostu o(Dx)4. Oznacza to, że o(Dx)4 jest nie większy niż (Dx)4. Zakładając, że błąd ten jest pomijalny otrzymamy: Czyli taki sam wynik jak z rozważań intuicyjnych. 3 Odejmując rozwinięcia funkcji w szeregi, i pomijając wyrażenia rzędu (Dx)3 otrzymamy: Wyższe rzędy aproksymacji uzyskuje się przez uwzględnienie większej liczby elementów szeregu. Nieskończona ilość elementów oznacza wyrażenie dokładne. Z powodów praktycznych szeregi są obcinane po wyrażeniach rzędu drugiego. W każdym rozwiązaniu dokonanym metodą różnic skończonych występuje błąd. = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = METODA RÓŻNIC SKOCCZONYCH dla równania różniczkowego zwyczajnego liniowego I-rz.) / y (x) + p(x) y(x) = q(x) x = a Ł x Ł b, y(a = x ) = y , o o o dla idea: na siatce argumentu x: xi , i=1,2, ..., n / yi = y(xi ) y , y dyskretyzujemy równanie wyrażając przez ; y = y(x ) y = y(x ) i+1 i+1 i-1 i-1 i obcinając odpowiednio rozwinięcie Taylora albo wyrażając pochodne przez odpowiednie różnice skończone, np.: 1 / y = [y - y ] i i+1 i-1 2h otrzymujemy dla każdego i yi+1 - yi-1 ć + p(xi )yi = q(xi)
2h Ł ł 4 albo inaczej dla i = 1,2, ... , n-1 , czyli n-1 równań na n niewiadomych oraz warunkiem początkowym . = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = Otrzymamy układ liniowych równań algebraicznych i = 2, ...., n-1 Ay = B możemy rozwiązać znanymi już metodami. = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 5 METODA RÓŻNIC SKOCCZONYCH dla równania różniczkowego zwyczajnego liniowego II-rzędu. = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = y// + p(x)y/ + q(x)y = r(x) a Ł x Ł b, y(a) = a, y(b) = b idea: Na siatce argumentu x : xi , i=1,2, ..., n dyskretyzujemy równanie wyrażając yi = y(xi ) yi+1 = y(xi+1) yi-1 = y(xi-1) y//, y/, y przez , obcinając odpowiednio rozwinięcie Taylora albo wyrażając pochodne przez odpowiednie różnice skończone 1 1 y// = [yi+1 - 2yi + yi-1] y/ = [yi+1 - yi-1] i i oraz 2h h2 otrzymujemy dla każdego i yi+1 - 2yi + yi-1 yi+1 - yi-1 ć + p(xi )ć + q(xi)yi = r(xi )
h2 2h Ł ł Ł ł dla i = 2, ... , n-1 , czyli n-2 równań na n niewiadomych; pozostałe 2 równania to y1 = y(a) = a, yn = y(b) = b y1 = a, yn = b wstawiając wartości do naszego równania różnicowego, otrzymamy układ n-2 liniowych równań yi, algebraicznych na n-2 niewiadomych i = 2, ...., n-1 Ay = B , który możemy rozwiązać znanymi już metodami. 6 PRZYKAAD. PRZYKAAD: 7 PRZYKAAD. (Z wytrzymałości materiałów). Znalezć ugięcie belki opisanej równaniem różniczkowym: dla z warunkami brzegowymi: y(0) = 0 i y(1) = 0. (belka podparta na końcach). 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 yi+1 - 2yi + yi-1 yi+1 - yi-1 ć + p(xi)ć + q(xi)yi = r(xi )
h2 2h Ł ł Ł ł Przyjmijmy h = 0,2. Z założenia mamy, że q = p= 0. Zatem odpowiadające równanie różnicowe przyjmie postać: z krokiem h = 0,2 dla 1 = 1,2,3,4. Więc dla i = 0 y( ) = y(0) = 0 i = 1: , i = 2: ,4 i = 3: ,6 i = 4: ,8 i = 5: y( = = y(1) = 0 i = 0 y( ) = y(0) = 0 i = 1: i = 2: ,4 i = 3: ,6 i = 4: ,8 i = 5: y( = = y(1) = 0 8 i = 0 y( ) = y(0) = 0 i = 1: i = 2: ,4 i = 3: ,6 i = 4: ,8 i = 5: y( = = y(1) = 0 Możemy teraz zapisać równanie macierzowe: A X = B gdzie A = B = skąd otrzymujemy: y0 = 0,0 y1 = 0,032 y2 = 0,056 y3 = 0,064 y4 = 0,048 y5 = 0,0. 9