1935182608

0.3. CIĄGI LICZBOWE

Dowod. Pokażemy punkt (1), zakładając zbieżność ciągu a_n. Niech 0 < e € K, będzie dowolnę liczbą rzeczywistą dodatnią, to isnieje no G N taka, że n> no to |a„ — g\ < e. Wtedy mamy

| n I | n    n

_.|EL o.j ₊ |Er=n₀+i(^Qn-g)| _< | ££, Qj | ₊ (" ~ no)e

_|EL^ai| , n-no

n    n

co kończy dowód części pierwszej, bo e > 0 było dowolne. Drugą część twierdzenia dowodzi się analogicznie. ■

Twierdzenie 0.3.9 Mamy dwa następujące zdania:

1.    Jeśli lim a_n+i — a_n = g, to lim ^ = g.

2.    Jeśli a_n> 0 i lim = g, to lim tfd_n = g.

Dowod. Jeśli spełnione jest założenie (1), to biorąc b„ — a_n — a_n_i dla n > 1 oraz bi — a\ i ao = 0 to wtedy z założenia lim b_n = g więc z poprzedniego Twierdzenia mamy:

E"=l ^a‘ ~ ^Q<-1

n-*oo n    n-»oo    n

Podobnie dowodzimy drugiego punktu (2), biorąc za Cn = lim (^ = g, męc z poprzedniego twierdzenia mamy co kończy dowód. ■

Przykład 0.3.6 Niech a_n — </n, to jeśli b_n — n dla n G N to wtedy lim = 1, więc z poprzedniego twierdzenia mamy lim a_n — 1, czyli

lim \/n — 1.

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Ebook2 54 Rozdział 2. Ciągi liczbowe ROZWIĄZANIE. Pokażemy, że ciąg (bH) jest zbieżny tło granicy
4 (1737) 58 Rozdział 4- Ciągi i szeregi Ą.l. Ciągi liczbowe i ich granU Twierdzenie 4.10. Grani
DSC07026 (4) 40 Ciągi liczbowe Zauważmy, że — ś 1 dla n £ I. Oznacza lo. że ciąg (*„) jest nierosnąc
Zadanie Ciągi i granice www.matemaks.pl Narysuj wykres ciągu an =    ) a)
15 0.3. CIĄGI LICZBOWE Twierdzenie 0.3.4 Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony. Dowod. Jeśli ciąg
MATEMATYKA045 82 D. Ciągi i szeregi liczbowe TWIERDZENIE 2.5 Jeżeli szereg XlaJ jest zbieżny, to sze

więcej podobnych podstron