1935182614
Dowod. Niech D CR jest podzbiorem ograniczonym z góry. Rozpatrzmy następujący podział i4,Bcl zbioru liczb rzeczywistych:
x & A = (3a € D) x < a, oraz B — R \ A.
Oczywiście A, B są niepuste z założenia. Jeśli by istniały elementy x G A i y £ B takie że y < x to istniałby a € A taki że x < a i z przechodniości relacji mniejszości mamy y < a więc y € A co jest niemożliwe (y E R \ A), więc
x € A, y € B to x < y.
Więc rzeczywiście A, B jest niepustym podziałem R. Z aksjomatu Dedekinda wynika istnienie elementu c € R takiego że c € A jest największym elementem zbioru A lub c € B najmniejszym zbioru B. Oczywiście c jest ograniczeniem górnym zbioru D C A (c jest największym w A o ile c € A, c € B to a € A to a < c bo A, B jest podziałem R). Teraz udowodnimy, że c jest najmniejszym ograniczeniem zbioru D. Przypuśćmy że istnieje mniejsze ograniczenie górne zbioru D np d < c, to oczywiście d < c” := < c i c" jest ograniczeniem zbioru A a więc D. Oczywiście
c” € B więc tym bardziej c € B wiec c jest najmnieszym elementem w B z aksjomatu Dedekinda co jest sprzeczne z faktem że c” < c (c” € B) co kończy dowód naszego twierdzenia. ■
Uwaga 0.2.1 Analogicznie definiuje się pojęcie ograniczenia dolnego zbioru oraz kresu dolnego zbioru i oczywiście zachodzi Twierdzenie o kresie dolnym.
Twierdzenie 0.2.2 Zbiór liczb naturalnych N jest nieograniczony w R.
Dowod. Przypuśćmy, że teza jest nieprawdziwa, tzn. N jest ograniczony. Więc na mocy poprzedniego twierdzenia o kresach zbiór N ma kres górny g £ R. Więc
1. n € N to n < g.
2. g' < g to istnieje no € N takie że g' < no.
Jeśli g' — g — 1 to z 2) mamy
g-l<n0 —> g<n0 + l<g —► g < g,
gdzie skorzystaliśmy z definicji liczb naturalnych (n € N to n + 1 € N), a stąd otrzymujemy sprzeczność. ■
Twierdzenie 0.2.3 Jeśli a, b G R \ Q i a < b, to istnieje c€ Q takie że a < c < b.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Dowod. Niech D CR jest podzbiorem ograniczonym z góry. Rozpatrzmy następujący podział i4,Bcl zbioru
Dowod. Niech D CR jest podzbiorem ograniczonym z góry. Rozpatrzmy następujący podział i4,Bcl zbioru
Dowod. Niech D CR jest podzbiorem ograniczonym z góry. Rozpatrzmy następujący podział i4,Bcl zbioru
Dowod. Niech D CR jest podzbiorem ograniczonym z góry. Rozpatrzmy następujący podział i4,Bcl zbioru
Dowod. Niech D CR jest podzbiorem ograniczonym z góry. Rozpatrzmy następujący podział i4,Bcl zbioru
Dowod. Niech D CR jest podzbiorem ograniczonym z góry. Rozpatrzmy następujący podział i4,Bcl zbioru
P3160273 komputerowa ftpraw Aproksymacja funkcji Dowód. Przedział [0,1] nie jest tutaj ogranicz
501 § 4. Długość krzywej płaskiej Zbiór {p} jest więc ograniczony z góry, bo S i S" są skończo
Ebook5 40 Rotdtinl 2. Ciągi liczbowe Ciąg, który jest jednoczenie ograniczony z góry i z dołu nazyw
3. Liczba stopni obejmujących arytmetykę kolejnych podzbiorów zbioru liczb naturalnych jest ogranicz
Przykład 4.29 Wykazać, że funkcja f(x) = x2 jest ściśle wypukła w zbiorze liczb rzeczywistych.Dowód:
Twierdzenie 4.6 Szereg bezwzględnie zbieżny jest zbieżny. OC* Dowód: Niech szereg Y,
Twierdzenie 6.2. Jądro homomorfizmu <p: G —»//jest podgrupą grupy G. Dowód. Niech ax, a2 e Ker 9,
21 (77) iStrona 21 z 21 (ioeo) 158. Niech S = {I, 2, {1, 2}} • Które z następujących zbiorów Jest po
więcej podobnych podstron