3893820040
IV-12
§3.1.
W przypadku macierzy o dostatecznie regularnej budowie można wykorzystać rozwinięcie Laplace’a do uzyskania rekurencyjnych zależności pomiędzy wyznacznikami macierzy różnych stopni. Rozpatrzymy dwa przykłady.
Przykład 2. Ustalmy ciąg x, ci,C2... elementów F i niech A„ oznacza n x n macierz, której pierwszym wierszem jest xei+Cnen, drugim —ei +a:e2 + cn_ien, trzecim —e2 + x&z + Cn-2eni i tak dalej aż do wiersza n-tego, którym jest — e„_i + (x + ci)e„. N.p.:
|
( |
X |
0 |
0 |
c4 ^ |
|
-1 |
X |
0 |
C3 | |
|
0 |
-1 |
X |
C2 | |
|
V |
0 |
0 |
-1 |
X + C\ ) |
W celu obliczenia | An| wykorzystamy rozwinięcie wzdłuż pierszego wiersza. Oznaczmy chwilowo A„ przez B. Oczywiście, Bu — A„_i, zaś Bi„ jest macierzą trójkątną mającą wyłącznie wyrazy —1 na przekątnej. Wobec tego
|A„| =X|A^_!| + (-l)“+1C„(-l)”“I — x|A„_i| + Cn.
Stąd przez indukcję nietrudno dowieść, że |A„| = xn+c\xn i+C2Xn 2 + ...+cn-\x+cn. Przykład 3. Wyliczymy wyznacznik Vandermonde’a
|
V(xq, ...,xn) := det |
/ 1 x0 X2q 1 X\ x\ |
... xg \ ... x\ |
|
^ 1 xn x\ |
... xnn ) |
W tym celu poczynając od przedostatniej, a kończąc na pierwszej, mnożymy każdą kolumnę przez xq i odejmujemy od następnej. Ponieważ żadna z tych operacji nie zmienia wartości wyznacznika, więc
0 \
X1 ~ x\ *o
X™ — x"_1Xo /
0 0
2
X\ Xq X^ X\Xq Xn — Xq x\ — XnXo
Rozwińmy ten wyznacznik wzdłuż pierwszego wiersza, a następnie zastosujmy wielokrotnie własność iii) z p.l. Otrzymamy
(X\ Xq (Xj Xq)X\ ... (x4 Xo)iCj \ n
I = JT(x,—Xo)U(xi, ...,XT Xn — Xq (xn — Xo)Xi ... (xn—Xo)x„~1/ i= 1
Stąd przez łatwą indukcję V(xq, ...,xn) = riocicjcnfai — xi)- D
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
IV-18 §3.4. 4. * Wyznaczniki macierzy o wyrazach w pierścieniu przemiennym. Uwaga
Oprócz elementów budowlanych stosowanych w regulacji cieków można wykorzystywać także elementy
IV. 12. WPODZISŁAW OIIOHC. 219 wszakże nie wyłącznie,
220 WŁOllZISŁAW ODONIC. IV. 12. ciu (1207 — 1217)1 2). Dla ustalenia daty urodzin Odonica ma oc
IV. 12. W LUDZISK A W ODONIC (ż. JADWIGA). 221 Według Stronez.yńskiego 7) znajdujący się w kościele
IV. 12. W LUDZISK A W ODONIC (ż. JADWIGA). 221 Według Stronez.yńskiego 7) znajdujący się w kościele
222 WLODZISŁAW ODONIC (i. JADWIGA!. IV. 12. stosunek pokrewieństwa w czwartym stopniu pomiędzy Poppo
222 WLODZISŁAW ODONIC (i. JADWIGA!. IV. 12. stosunek pokrewieństwa w czwartym stopniu pomiędzy Poppo
IV. 12. 1 WŁODZ1SŁAW ODONIC <Ł JADWHTAT: OTTON. 223 Ostatni dyploinat, w którym Jadwiga wymi
reh test (12) 37)W przypadku urazu stawu kolanowego najbardziej dochodzi do zaniku? a)
IV-10 §3.1. a) istnieją liczby a ^ b takie, że ay = a gdy i = j i ay = b w przeciwnym razie, przy cz
IV-14 §3.2. Przejdźmy do niejednorodnych układów równań. Twierdzenie 1. Rozważmy układ równań Ax
więcej podobnych podstron