4531591939
Twierdzenie 7. [10, Twierdzenie 8.1.4]
Niech (fl, A, p) będzie zupełną a - skończoną przestrzenią mierzalną, (X, d) - zupełną, ośrodkową przestrzenią metryczną oraz F : f2 —> 2X - odwzorowaniem o niepustych, domkniętych wartościach w X. Wówczas następujące warunki są równoważne:
a) F - mierzalna (przeciwobraz zbioru otwartego jest mierzalny)
b) Graph(F) € A® B (B - o—ciało borelowskie w X)
c) F~l(C) € A dla każdego C - domkniętego podzbioru X
d) F~1(B) £ A dla każdego B - borelowskiego podzbioru X
e) hh► d(x, F(uj)) - mierzalne jako odwzorowanie (fł, A) —> R
f) Istnieje ciąg mierzalnych selekcji {/n}^=i z F takich, że Vwen.F(a>) — U,(>i {/n(^)} Dowód.
a—> f Niech - gęsty przeliczalny podzbiór X. Zdefiniujmy dla n, k > 1 odwzorowania
J F(lj) fi B(xn, £), jeśli jest to zbiór niepusty I*Txk\p^) — 1
[F(w) w przeciwnym przypadku
Fnk(u) = Gnk(u>).
Jako że F jest mierzalna, to Gnk i Fnk też, bo F~£(Q) — G~[(0) = F~1(Or\B(xn, ^))U (F-1(0) n (n\F~1(B{xn, i)))). Z każdego Fnk na mocy twierdzenia 6 można wybrać selekcję fnk i nietrudno zauważyć, że {/nfc(<*>)} jest gęsty w F(u>).
f—► e Jeśli {/„} - ciąg mierzalnych selekcji, town d(x,fn(oj)) jest mierzalna na mocy lematu 4 (x jest ustalone a zależność od u jest trywialna). Więc u i—► d(x,F{u)) = infnd(:c,/n(u;)) też jest mierzalna jako infimum przeliczalnie wielu mierzalnych.
e—> a Wynika to z faktu, iż w ośrodkowej przestrzeni zbiory otwarte są przeliczalnymi sumami kul, których przeciwobrazy są mierzalne z założenia e.
d —> c Oczywiste.
—* a Jeśli O - otwarty podzbiór X, to F-1(0) = U^=i F-1({z £ X\d(x,X\0) > £}).
—» b Graph(F) = {(w,x) : d(x, F(lu)) = 0}. Jest on więc przeciwobrazem zera przy funkcji (u>, x) <-* d(x, F(u>)), która z lematu 5 i założenia jest mierzalna względem A <8> B.
• —► d Jeśli Graph(F) £ A ® B, to F~1(B) jest rzutem zbioru Graph(F) fi (fi x B) £ .4® B na zupełny o - skończony czynnik. Z lematu 6 obraz jest mierzalny. □
Założenia powyższej charakteryzacji można nieco osłabić, jeśli dziedzina ma pewną szczególną strukturę produktową z jednym czynnikiem równym Rn, gdzie domknięte zbiory są przeliczalną sumą zwartych.
Twierdzenie 8. [9, Twierdzenie 1.3] (X,T,p) - zupełna a-skończona przestrzeń mierzalna. Niech F : X —> 2R"xRm ma domknięte niepuste wartości. H : X x Rn —» 2Rm ma ten sam wykres, jednak inny podział zmiennych - £ £ H{x,r[) wtedy i tylko wtedy, gdy (ą, £) £ F(x). Wówczas równoważne są:
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Lemat 6. Niech (Q,A,p) będzie zupełną, a-skończoną przestrzenią mierzalną, X - zupełną ośrodkową
146101220076616226243270535984 n Twierdzenie 2 Niech <sn) będzie ciągiem spełniającym zależność
610 XIV. Całki zależne od parametru Twierdzenie 2. Niech funkcja f(x,y) będzie określona i ciągła ja
Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa Niech Q będzie daną skończoną przestrzenią zdarzeń
I. PRZESTRZENIE BANACHA 1.13. Przykład. Niech fł będzie przestrzenią topologiczną z nieujemną
z5 Egzamin testowy — zadanie 5 ■ Niech (£U%P) będzie dow olną przestrzenią probabi
10 (33) 184 9. Funkcje wielu zmiennych 9.19. TWIERDZENIE. Niech f będzie funkcją różniczkowalną i ok
10 (48) 199 Pochoane wyższych rzędów 9.40. Twierdzenie. Niech f będzie funkcją rze
Wykład 209.10.2007 Niech d będzie dowolną liczbą naturalną. Twierdzenie 2.1 Rd nie jest ciągowo zwar
§3.3. IY-16 Twierdzenie 2. * Niech V będzie przestrzenią wektorową, a f : V1 —> F funkcją wieloli
P4130295 Twierdzenie 3.7 I Niech C będzie podzbiorem domkniętym osi rzeczywistej. Jeśli F jest I odw
P4200257 lawnonraoraio Twierdzenie 3.7 Niech C będzie podzbiorem domkniętym osi rzeczywistej. Jeśfi
Nierówność Besso la Twierdzenie 4 Niech tą, v2,..., vn będzie bazą orUmormahą podprzcstrzeni U
Kombinatory punktu stałego Powyższy przykład możemy uogólnić. Twierdzenie. Niech C = C[f,x] będzie
Reguły deltaReguły delta Twierdzenie. Niech / będzie funkcją na zamkniętych A-termach w postaci norm
więcej podobnych podstron