5032124891

Uniwersytet Wrocławski, Instytut Fizyki Doświadczalnej, I Pracownia

Ćwiczenie nr 15

DRGANIA MASY ZAWIESZONEJ NA SPRĘŻYNIE

L WSTĘP

1.1. Siły sprężyste

Robert Hooke sformułował w r. 1660 ogólne prawo opisujące własności sprężyste ciał stałych mówiące, że odkształcenie ciała jest proporcjonalne do przyłożonego naprężenia. Prawo to jest spełnione dla małych odkształceń W tym ćwiczeniu ograniczymy się do rozważań tylko takich właśnie odkształceń. W przypadku rozciąganej lub ściskanej sprężyny miarą odkształcenia jest jej wydłużenie x (dodatnie, gdy sprężyna jest rozciągana a ujemne, gdy jest ściskana). Ponieważ naprężenie jest proporcjonalne do działającej siły zewnętrznej F, powodującej odkształcenie prawo Hooke'a dla sprężyny można zapisać w postaci:

F_z = kx (1)

Współczynnik proporcjonalności k charakteryzuje własności sprężyste określonej sprężyny

Pionowo wiszącą sprężynę można rozciągnąć zawieszając na jej dolnym końcu ciężarek o masie m. Rozważmy najpierw przypadek, gdy sprężyna jest nieważka lub jej masa własna jest znikomo mała w porównaniu z masą zawieszonego na niej ciężarka. Zgodnie z trzecią zasadą dynamiki Newtona, sprężyna rozciągnięta ciężarkiem, działa na ciężarek siłą sprężystą F_spr równą co do wartości sile rozciągającej sprężynę (1), lecz przeciwnie do niej skierowaną. Zapisujemy to:

F_spr = -kx (2)

Ciężarek będzie w równowadze w położeniu, x₀, w którym siła sprężystości zrównoważy jego ciężar mg:

mg - kx„ = 0 (3)

Stąd wydłużenie x₀ odpowiadające stanowi równowagi jest równe:

1.2. Równanie ruchu ciężarka zawieszonego na nieważkiej sprężynie.

Jeśli sprężyna zostanie wydłużona tak, by wypadkowa ciężaru (mg) i siły sprężystej (- kx), działających na masę m nie była równa zeru, wówczas zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona, ciężarek będzie poruszał się ruchem przyspieszonym, z przyspieszeniem:

Równanie ruchu ma postać: lub po podzieleniu przez m i po uwzględnieniu wzoru (4):

Wprowadzając nową zmienną z = x - x₀, określającą wychylenie masy m z położenia równowagi, otrzymujemy

ą₊*_z=o

dr m

Rozwiązaniem równania (5c) jest funkcja opisująca drganie harmoniczne wokół położenia równowagi

(6)

z = Acos(0>_ot + <p)

5032124891

5032124891

DRGANIA MASY ZAWIESZONEJ NA SPRĘŻYNIE

ą+*z=o

ą₊*_z=o