05


5.INTERPRETACJA TENSORA ODKSZTAłCEC 1
5 Ł
5.INTERPRETACJA TENSORA ODKSZTAACEC
5.1.Interpretacja E  i=j.
ij
Związki geometrzyczne w liniowej teorii sprężystości mają postać:
(5.1)
ą ui ą u
1
j
ąij= ą
śą źą
2 ą X ą X
j i
Z poprzednich rozważań wiadomo że miarą deformacji jest róznica między odległością końcową i
początkową:
(5.2)
dl2-dL2=2 Eij dX dX
i j
Rozważamy kostkę sześcienną. Wyodrębniamy w niej włókno równoległe do osi X Zakładamy że
1.
jego długość pierwotna jest równa dX , a pozostałe wymiary są równe 0.
1
dX =0
2
dX
=0
3
dX =dL
1
zatem
(5.3)
dl2-dL2=2 E11 dX dX
1 1
Wprowadzamy wyrażenie:
dl-dL (5.4)
e=
dL
Gdzie stanowi względne wydłużenie włókien względem osi X
e
1
Wtedy:
(5.5)
dl2-dL2=[śą1ąeźą2-1]dL2=2 E11 dL2
1 1 (5.6)
E11= [śą1ąeźą2-1]=
[1ą2eąe -1]
2
2 2
1 (5.7)
e= E11-1H"1ą śą2 E22źą-1H"E11
ćą1ą2
2
E11
Można uznać , że dla małych przemieszczeń oznacza wydłużenie względne włókien wzdłóż osi
X .
1
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. AlmaMater
5.INTERPRETACJA TENSORA ODKSZTAłCEC 2
`"
5.2.Interpretacja E - i j
ij .
Bierzemy pod uwagę dwa elementy liniowe X i X' o długościach odpowiednio dL i dL' (wzajemnie do
i i
siebie prostopadłych)
zakładamy:
dX =dL dX =0 dX =0
1) , ,
1 2 3
, , ,
2) dX =0 , dX =dL , dX =0
1 2 3
dl,
dL,
dl
ą
dL
Rys. 5.1
Po przemieszczeniu włókna odkształcą sie i zmieni się kąt między nimi.
dL,=dl, o współrzędnych dxi,
dxi
dL=dl o współrzędnych
dl
Traktujemy odcinki i jako wektory.
dl,
Obliczamy iloczyn skalarny :
ą xk ą xk , (5.8)
Śą Śą
dl dl,=dl dl, cosą=dxi dxi,= dX ą X =2 E dL dL,
i j
,
ą X
ą X
i
j
(5.9)
dl dl, cos ą=2 E12 dL dL,
Na podstawie wcześniejszych wywodów otrzymujemy:
(5.10)
dl= E11 dL
ćą1ą2
(5.11)
dl,= E22 dL,
ćą1ą2
Po podstawiemiu i przekształceniu otrzymujemy:
2 E12 2 E12 (5.12)
cos ą= = =2 E12
ćą1ą2 E11ćą1ą2 E22 śą1ąe1źąśą1ąe,źą
Dla małych odksztalceń można przyjąć że powyższy mianownik jest bliski 1 i możemy go pominąć.
Ponieważ:
Ćą (5.13)
ą= -ą12
2
więc
cos ą=siną12 (5.14)
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. AlmaMater
5.INTERPRETACJA TENSORA ODKSZTAłCEC 3
zatem możemy napisać:
siną12=2 E12 (5.15)
siną12=ą12
Dla małych kątów , a wiec:
ą12 1 (5.16)
E12H" = ąą
2 2
E wyraża połowę zmiany kąta między badanymi włóknami.
12
Zapisując tensor Lagrange'a otrzymamy:
ą ui ą u (5.17)
j
ąąij= ą
ą X ą X
j i
5.3.Równania geometryczne.
Równania geometryczne , zwane także równaniami Cauchego, opisują związki między
odkształceniami a przemieszczeniami. W liniowej teorii sprężystości wyrażają się następująco:
1 (5.18)
ąij= śąui , jąu źą
j ,i
2
Gdzie:
ą11 ą22 ą33 -są miarą odkształcenia liniowe (zmiana objętości)
, ,
ą12 ą13 ą23 ą21 ą31 ą32
, , , , , -są miarą odkształcenia kątowego (zmiana postaci)
5.4 Dylatacja
Dylatacja jest to względna zmiana objętości cząstki materialnej przed i po odkształceniu
Objętość elementarnej cząstki przed odkształceniem jest następująca:
(5.19)
V= dx dx dx
1 2 3
Objętość po odkształceniu :
(5.20)
V'=(1+e )dx (1+e )dx (1+e )dx
1 1 2 2 3 3
'
(5.21)
ąV -V
V
= =śą1ąe1źąśą1ąe2źąśą1ąe3źą-1
V V
e oznacza małe wielkości i e e zdąża do 0, a więc:
i j
ąV (5.22)
=e1ąe2ąe3=ąii
V
Dylatacja jest pierwszym niezmiennikiem stanu odkształcenia.
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. AlmaMater
5.INTERPRETACJA TENSORA ODKSZTAłCEC 4
5.5Tensor małych obrotów.
X
2
ą12
X
1
Rys. 5.2
1 (5.23)
ąij= śąui , j-u źą
j ,i
2
ąij
wyraża obrót dwusiecznej kąta mmiędzy osiami i i j
ąij
jest tensorem skośniesymetrycznym
ąij=-ą (5.24)
ji
5.6 Związki między składowymi tensora odkształceń.
Mamy 3 składowe przemieszczenia: u u , u
1 , 2 3
(5.25)
ąui ąu
1
j
ąij= ą
śą źą
2 ą X ą X
j i
Mając podany stan przemieszczenia możemy określić w sposób jednoznaczny stan odkształcenia.
ciało przed odkształceniem ciało po odkształceniu
Rys 5.3
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. AlmaMater
5.INTERPRETACJA TENSORA ODKSZTAłCEC 5
Mogą jednak powstać nieodwracalne pęknięcia:
Rys. 5.4
Warunki ciągłości odkształceń zapewniają jednoznaczną relację między odkształceniami, a
przemieszczeniami.
ąij , kląą -ąikjl-ą =0 (5.26)
jrs jl ,ik
Dopiero po spełnieniu powyższych warunków możemy zapewnić zgodność przemieszczeń.
eilm e ąlr , sm=0 (5.27)
jrs
Z powyższego wyrażenia otrzymujemy 81 równań ale tylko 6 jest niezależnych, ze względu na
symetrię tensora odkształceń. Są to równania DeSaint-Venanta:
(5.28)
ą2ą11 ą2 ą22 ą2 ą12
ą =2
ą x22 ą x12 ą x1 x2
(5.29)
ą2ą22 ą2ą33 ą2ą23
ą =2
ą x32 ą x22 ą x2 x3
(5.30)
ą2ą33 ą2 ą11 ą2ą31
ą =2
ą x12 ą x32 ą x1 x3
(5.31)
ąą23 ą ą31 ąą12 ą2 ą11
ą
śą- ą ą źą=
ą x1 ą x1 ą x2 ą x3 ą x2 x3
(5.32)
ąą13 ą ą12 ąą23 ą2ą22
ą
śą- ą ą źą=
ą x2 ą x2 ą x3 ą x1 ą x1 x3
(5.33)
ąą12 ą ą23 ą ą31 ą2 ą33
ą
śą- ą ą źą=
ą x3 ą x3 ą x1 ą x2 ą x1 x2
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. AlmaMater


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Wykład 05 Opadanie i fluidyzacja
Prezentacja MG 05 2012
2011 05 P
05 2
ei 05 08 s029
ei 05 s052
05 RU 486 pigulka aborcyjna
473 05
R 05 07

więcej podobnych podstron