7025752573

4 Wykład 1. Metody numeryczne - równania liniowe

1.0.2. Algorytm eliminacji Gaussa-Jordana

Najbardziej podstawową metodą rozwiązywania układu równań liniowych jest metoda eliminacji Gaussa-Jordana. Pierwszy etap (etap eliminacyjny) tej metody polega na zastąpieniu układu równań (1.5) układem:

Ux = f    (1.6)

w którym macierz U jest trójkątną macierzą górną (wszystkie elementy poniżej przekątnej głównej są zerowe).

W drugim etapie (etap odwrotny) rozwiązywany jest układ począwszy od ostatniego wiersza macierzy. Kolejne wiersze, do pierwszego włącznie są określane w oparciu o rozwiązanie uzyskane w poprzednich wierszach. Dokładniej, układ równań:

(1.7)

jest poddany postępowaniu eliminacyjnemu, które polega na pomnożeniu pierwszego równania (tj współczynników wiersza macierzy A i wektora b) przez czynnik:

m,i = ^-    (1.8)

i odjęciu go od i-tego równania. W wyniku tej procedury w pierwszej kolumnie macierzy wyeliminowane zostają wszystkie współczynniki z wyjątkiem współczynnika w pierwszym wierszu, tj.:

aU a\2 ••• a\n		’ Xl		K
0 fl22 ••• a2n		x2	=	*2
O •		xn		K .

W kolejnym przebiegu powtarza się powyższą procedurę dla wierszy 2,n eliminując elementy drugiej kolumny macierzy. Postępując analogicznie z pozostałymi wierszami uzyskujemy na końcu macierz U, która jest macierzą trójkątna górną:

(1.10)

W etapie odwrotnym, poczynając od ostatniego wiersza układu równań (1.6) wyznacza się rozwiązanie:

_ _ Sn

a następnie dla każdego wiersza wyżej odpowiednio:

fn—1 tln—lXn

Całe postępowanie przypomina formalnie rozwiązywanie układów równań metodą przeciwnych współczynników (etap eliminacyjny) i syntezę rozwiązania metodą podstawiania (etap odwrotny).

Wyszukiwarka