Estymacja przedziałowa: Zamiast szukad najlepszego estymatora, tak jak w estymacji punktowej będziemy poszukiwad przedziału, do którego będzie należał szukany parametr z odpowiednio dużym prawdopodobieostwem. Def. Przedziałem ufności dla parametru q nazywamy przedział (5M1, 5M2), gdzie 5M1 = 5b1(5K1, 5K2 & , 5K5[), 5M2 = 5b2(5K1, 5K2 & , 5K5[) są statystykami niezależnymi od q takimi, że 5C 5 " 5M1, 5M2 = 1 - 5. Liczbę 1 - a nazywamy poziomem ufności. Zazwyczaj a = 0.1 lub a = 0.05 lub a = 0.01 (najczęściej a = 0.05). Poziom ufności mówi nam, że możemy mied (1 - a)100% ufności, że wyznaczony na podstawie próby (5K1, 5K2 & , 5K5[) przedział (5M1, 5M2) będzie zawierał q. Przedziały ufności dla średniej EX = m: Model I: populacja generalna ma rozkład N(m,s), gdzie s jest znane 1 5 5K;5Z 5[ Statystyka 5K = 5K5V ma rozkład N(m, ), natomiast statystyka 5H = 5[ ma rozkład 5V<1 5[ 5[ 5 N(0,1) niezależny od m. Niech 5b5 będzie dobrane tak, aby 5C 5H > 5b5 = 5. Zauważmy wtedy, że P(-5b5d" 5H d" 5b5) = 5 = Ś 5b5 - (1 - Ś(5b5) = 2Ś 5b5 - 1 = 1 - 5 Ś 5b5 = 1 - 5b5 jest kwantylem rzędu 2 5 1 - rozkładu U. 2 Przedziałem ufności dla parametru m na poziomie 1 - a będzie wtedy (5K - 5b5 5 , 5K + 5b5 5 ) 5[ 5[ Np. Znajdz przedział ufności na poziomie 1 - a = 0.95 dla średniej m w rozkładzie N(m,2), jeżeli na podstawie próbki o liczności 16 wyznaczono x = 34.1 Z tablicy kwantyli rozkładu N(0,1) odczytujemy 5b0.05 = 5 0.975 = 1.96 p 0.9 0.95 0.975 0.99 0.995 1.28 1.64 1.96 2.33 2.58 5 5] czyli przedział ufności (5M1, 5M2) = (33.12 , 35.08) Model II. populacja generalna ma rozkład N(m,s), gdzie s jest nieznane 5[ 1 1 5[ 2 5K = 5K5V i 5F2 = 5K5V - 5K zależą od parametru m, natomiast statystyka 5V<1 5V<1 5[ 5[ 5K;5Z 5a = 5[ - 1 ma rozkład t-Studenta o n-1 stopniach swobody niezależny od m 5F Niech 5a5 będzie takie, że 5C 5a > 5a5 = 5 5a5 jest kwantylem rzędu 1 - 5 rozkładu t 2 5F 5F Przedziałem ufności dla parametru m na poziomie 1 - a będzie wtedy (5K - 5a5 5[;1 , 5K + 5a5 5[;1) Np. Zmierzono wytrzymałośd 10 losowo wybranych elementów konstrukcyjnych i otrzymano: 383, 284, 339, 340, 305, 386, 378, 335, 344, 346. Zakładając, że rozkład wytrzymałości jest N(m,s), wyznacz 95% realizację przedziału ufności dla m. x = 344, 5`2 = 968.8, 5` = 31.13 Z tablicy kwantyli rozkładu t-Studenta o 9 stopniach swobody odczytujemy 5a0.05 = 5 0.975 = 2.26 p 0.9 0.95 0.975 0.99 0.995 1.383 1.833 2.262 2.821 3.25 5 5] czyli przedział ufności (5M1, 5M2) = (320.55 , 367.45) Model III. populacja generalna ma rozkład dowolny o nieznanej skooczonej wariancji 52, przy czym próba ma licznośd n ł 100. 5K;5Z z tw. Lindeberga-Levy ego statystyka 5H = 5[ ma rozkład asymptotycznie normalny 5 N(0,1) niezależny od m. Dla dużych n można zatem rozkład U przybliżad rozkładem N(0,1). Dla danej próbki obliczamy x i 5`, a następnie stosujemy model I. Przedziałem ufności dla parametru m na poziomie 1 - a będzie wtedy (x - 5b5 5` , x + 5b5 5` ) 5[ 5[ Np. Z populacji włókien pobrano 300-elementową próbkę i zmierzono ich długośd, grupując dane w szereg rozdzielczy. Znajdz 95% realizację przedziału ufności dla wartości oczekiwanej. [5N5V;1, 5N5V) x5V 5[5V 1 8 5e = 5e5V 5[5V = 27.43 5V<1 [0,5.5) 2.75 2 5[ 8 1 2 5`2 = 5e5V - 5e 5[5V = 51.598 [5.5,10.5) 7.75 5 5V<1 5[;1 5` = 7.18 [10.5,15.5) 12.75 11 5b0.05 = 5 0.975 = 1.96 [15.5,20.5) 17.75 19 czyli przedział ufności (5M1, 5M2) = [20.5,25.5) 22.75 41 7.18 7.18 =(27.4 -1.96 ,27.4 +1.96 ) = (26.59 , 28.21) [25.5,30.5) 27.75 117 300 300 [30.5,35.5) 32.75 87 [35.5,40.5] 37.75 18 Przedziały ufności dla wariancji 5725K = 52: Model I: populacja ma rozkład N(m,s) o nieznanych m i s, a próba ma licznośd n Ł 50 5[ 2 5[5F2 5K5V;5K statystyka 52 = = ma rozkład chi-kwadrat o n-1 stopniach swobody 52 52 5V<1 niech 5P1 i 5P2 będą kwantylami rzędów 1 - 5 i 5 rozkładu 52 2 2 2 2 Przedziałem ufności dla parametru 52 na poziomie 1 - a będzie wtedy ( 5[5F , 5[5F ) lub 5P1 5P2 2 2 ((5[;1)5F , (5[;1)5F ) 5P1 5P2 Np. Liczba skrętów dla losowo wybranych odcinków przędzy o długości 1 m wynosiła: 87, 102, 119, 81, 97, 93, 100, 114, 99, 100, 113, 93, 95, 85, 123, 99. Zakładając, że liczba skrętów ma rozkład normalny. znajdz 90% realizację przedziału ufności dla wariancji i odchylenia standardowego. x = 100, 5`2 = 134.2 Z tablicy kwantyli rozkładu chi-kwadrat o 15 stopniach swobody odczytujemy 5P1 = 5 0.95 = 25, 5P2 = 5 0.05 = 7.26 p 0.005 0.01 0.025 0.05 0.95 0.975 0.99 0.995 4.601 5.229 6.262 7.261 24.996 27.488 30.578 32.801 5 5] 16"134.2 16"134.2 czyli 52 " , = (85.97,296.04), 5 " (9.3,17.2) 25 7.26 Model II. populacja ma rozkład N(m,s) o nieznanych m i s, a próba ma licznośd n ł 50 5F statystyka 252 = 25[ ma w przybliżeniu rozkład normalny N( 25[ - 3, 1) 5 niech 5b5 będzie kwantylem rzędu 1 - 5 rozkładu normalnego N(0,1) 2 25[5F 5F 25[ Przedziałem ufności dla parametru 5 na poziomie 1 - a jest ( , ) 25[;3:5b5 25[;3;5b5 Np. Przy sprawdzeniu dokładności skrawania dokonano 50 pomiarów i uzyskano 5`2 = 0.00068. Zakładając, że rozkład błędów jest normalny o nieznanym s, wyznacz przedział ufności dla odchylenia standardowego na poziomie 0.95. 5b0.05 = 5 0.975 = 1.96 0.00068 100 0.00068 100 czyli 5 " , = (0.0221,0.033) 97:1.96 97;1.96 Przedział ufności dla wskaznika struktury: Przyjmijmy, że posiadanie przez element z danej próby cechy X oznaczymy przez 1 (sukces). Można teraz wskaznik struktury q traktowad jako prawdopodobieostwo sukcesu P(5K5V = 1) = q, P(5K5V = 0) = 1 - q w n próbach Bernoulliego (5K1, 5K2, & , 5K5[). Oznacza to, że populacja generalna ma rozkład dwupunktowy z prawdopodobieostwem sukcesu q. Model I. populacja generalna ma rozkład dwupunktowy z parametrem p = q, a próba ma licznośd n Ł 100 Przedziałem ufności dla parametru 5] na poziomie 1 - a jest ( 5]1 , 5]2 ), gdzie P 5]1 < 5] < 5]2 = 1 - 5, a wartości 5]1, 5]2 są stablicowane. Np. Z partii towaru pobrano losowo 20 sztuk i zaobserwowano 2 sztuki wadliwe. Podaj 95% realizację przedziału ufności dla frakcji sztuk wadliwych w całej partii towaru. z tablicy wartości kooców przedziału ufności dla a = 0.05 k = 2 i n-k = 18 odczytujemy 5]1 = 0.012, 5]2 = 0.317 n-k k 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 0 0.265 0.247 0.232 0.218 0.206 0.195 0.185 0.176 0.168 0.161 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1 0.36 0.339 0.319 0.302 0.287 0.273 0.26 0.249 0.238 0.228 0.002 0.002 0.002 0.002 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 2 0.428 0.405 0.383 0.364 0.347 0.331 0.317 0.304 0.292 0.28 0.018 0.017 0.016 0.015 0.014 0.013 0.012 0.012 0.011 0.01 3 0.481 0.456 0.434 0.414 0.396 0.379 0.363 0.349 0.336 0.324 0.043 0.04 0.038 0.036 0.034 0.032 0.03 0.029 0.028 0.027 czyli p (0.012,0.317) Model II. populacja generalna ma rozkład dwupunktowy z parametrem p = q, a próba ma licznośd n ł 100 5X 5](1;5]) statystyka 5] = ma rozkład asymptotycznie normalny N(p, ), a po standaryzacji 5[ 5[ 5X;5[5] statystyka 5H = ma rozkład normalny N(0,1). 5[5](1;5]) niech 5b5 będzie kwantylem rzędu 1 - 5 rozkładu normalnego N(0,1) 2 Przedziałem ufności dla parametru p na poziomie 1 - a jest 2 2 5[ 5b5 5X(5[;5X) (5b5)2 5[ 5b5 5X(5[;5X) (5b5)2 ( 5[:(5b )2 [25X: 5b5 - + ,5[:(5b )2 [25X: 5b5 + + ) 25[ 5[ 5[ 4 25[ 5[ 5[ 4 5 5 Np. Spośród 120 pracowników danego zakładu 17 nie wykonuje normy wydajności pracy. Wyznacz 95% realizacje przedziału ufności dla frakcji pracowników nie wykonujących normy w całym zakładzie. mamy k=17, n=120, 5b0.05 = 5 0.975 = 1.96 5[ 25X: 5b5 2 5b5 5X(5[;5X) (5b5)2 stąd 5[:(5b )2 = 0.969, = 0.158, + = 0.064 25[ 5[ 5[ 4 5 czyli p (0.09,0.215) Uogólnienie pojęcia przedziału ufności na przypadek dwóch parametrów: Niech cecha X populacji generalnej ma rozkład zależny od dwóch parametrów (51, 52), a zbiór 5<(5K1, 5K2, & , 5K5[) !2 taki, że 5C((51, 52) 5< 5K1, 5K2, & , 5K5[ ) = 1 - 5. Def. Zbiór 5<(5K1, 5K2, & , 5K5[) nazywamy wtedy (1 - a)100% obszarem ufności dla parametrów (51, 52). Model. populacja ma rozkład normalny N(m,s) o nieznanych m, s. 2 5[ 5K;5Z 5[5F2 statystyki 5:1 = i 5:2 = są niezależne i mają rozkłady chi-kwadrat o odpowiednio 52 52 1 i n-1 stopniach swobody niech 5N5 będzie kwantylem rzedu 1 - 5 rozkładu chi-kwadrat o 1 stopniu swobody 2 5O5 będzie kwantylem rzedu 5 rozkładu chi-kwadrat o n-1 stopniach swobody i 4 5P5 będzie kwantylem rzedu 1 - 5 rozkładu chi-kwadrat o n-1 stopniach swobody. 4 Wtedy (1 - a)100% obszarem ufności dla parametrów (m,52) będzie 2 5[5F2 5[(X;5Z)2 5< = * 5Z, 52 : 5[5F < 52 < - 52 > } 5P5 5O5 5N5 5[5F2 52 52 = 5O5 Np. Wykonano 15 pomiarów czasu likwidowania zrywów na przędzarce otrzymując: 4.5, 3.6, 6.0, 7.9, 5< 6.9, 6.1, 7.4, 4.3, 6.1, 7.4, 4.3, 6.1, 4.9, 7.5, 5.8, 8.2, 6.4, 9.0. Zakładając, że rozkład czasu likwidacji 5[5F2 jest normalny, wyznacz 90% realizację 52 = 5[(X;5Z)2 5P5 52 = obszaru ufności dla (m,52). 5N5 obliczamy 5e = 6.32, 5`2 = 2.30, 5 = 0.1 5Z x z tablic kwantyli rozkładu chi-kwadrat p 0.005 0.01 0.025 0.05 0.95 0.975 0.99 0.995 - - 0.001 0.004 3.841 5.024 6.635 7.879 1 14 4.075 4.66 5.629 6.571 23.685 26.119 29.141 31.319 odczytujemy 5N0.01 = 5 0.95 = 3.84 , 5O0.1 = 5 0.025 = 5.63 , 5P0.1 = 5 0.975 = 26.1 15"2.30 15(6.32;5Z)2 zatem 5< = * 5Z, 52 : 15"2.30 < 52 < - 52 > }= 26.1 5.63 3.84 = * 5Z, 52 :1.32 < 52 < 6.13 - 52 > 3.91 " (6.32 - 5Z)2 } Wyznaczanie minimalnej liczności próby potrzebnej do realizacji przedziału ufności o zadanej długości: zauważamy, że wraz ze wzrostem liczności próby maleje długośd przedziału ufności, więc można postawid zadanie znalezienia takiej minimalnej liczności próby, aby otrzymad przedział ufności nie przekraczający zadanej długości 2l lub zadanego procenta wartości szacowanego parametru Model I. populacja ma rozkład normalny N(m,s) o znanym s. Szukamy minimalnej liczności próby n takiej, aby przy zadanym poziomie ufności 1 - a, długośd przedziału ufności dla wartości oczekiwanej m nie przekraczała 2l (l ustalone). 2 5b55 5[ e" 5[0 = + 1, 5Y gdzie 5b5 jest kwantylem rzędu 1 - 5 rozkładu normalnego N(0,1) 2 Np. Ilu niezależnych pomiarów głębokości morza w pewnym miejscu należy dokonad, aby na poziomie ufności 0.95 wyznaczyd głębokośd z błędem nie większym niż 10 m, przy założeniu, że rozkład błędu pomiarów jest normalny z wariancją 52 = 180 5Z2 ? l = 5, 52 = 180 i 5b0.05 = 5 0.975 = 1.96 2 1.96 5[0 = " 180 + 1 = 28 5 5 Model II. populacja ma rozkład normalny N(m,s) o znanym współczynniku zmienności 5 = . 5Z Szukamy minimalnej liczności próbki, aby na poziomie ufności 1 - a, długośd przedziału ufności dla wartości oczekiwanej nie przekraczała 2mp% (p ustalone). 2 5b55 5[ e" 5[0 = " 100 + 1, 5] gdzie 5b5 jest kwantylem rzędu 1 - 5 rozkładu normalnego N(0,1) 2 Np. Zakładając, że wysokośd plonów żyta w pewnym rejonie ma rozkład normalny o współczynniku zmienności = 0.5, znajdz minimalną liczbę gospodarstw do badania, aby dla 95% poziomu ufności otrzymad przedział ufności dla wartości oczekiwanej o długości nie przekraczającej 10% tej wartości oczekiwanej. = 0.5, p = 5, 5b0.05 = 5 0.975 = 1.96 2 1.96 " 0.5 5[0 = " 100 + 1 = 384 5 Model III. populacja ma rozkład normalny N(m,s) o nieznanych parametrach m, s. Szukamy minimalnej liczności próby, aby przy zadanym poziomie ufności 1 - a, otrzymad przedział ufności dla wartości oczekiwanej o długości nie przekraczającej 2l (l ustalone). 2 5a55F 5[ e" 5X = + 1, 5Y gdzie 5a5 jest kwantylem rzędu 1 - 5 rozkładu t-Studenta o n-1 stopniach swobody. 2 Z powyższego wzoru nie można wyliczyd n, gdyż 5F2 przyjmuje różne wartości dla różnych próbek. Postępujemy więc następująco: 1. z populacji pobieramy próbkę wstępną o pewnej liczności 5[0 i obliczamy 5[0 1 1 5[0 5e0 = 5e5V , 5`0 2 = 5e5V - 5e0 2 5V<1 5[0 5V<1 5[0 z tablicy kwantyli rozkłady t-Studenta o 5[0 - 1 stopniach swobody odczytujemy 5a5 5a55`0 2 5X = + 1 5Y jeżeli 5X - 5[0 d" 0, to 5[0 jest szukaną minimalną licznością próbki 2. jeżeli 5X - 5[0 > 0, to do próbki wstepnej dobieramy próbkę o liczności 5[1 = 5X - 5[0 + 1 i *k+ + 1 jest szukaną minimalną licznością próbki Pozostaje jednak istotne pytanie jak sensownie wybrad licznośd próbki wstępnej 5[0. Praktycznie dobiera się 5[0 tak, aby wartośd oczekiwana liczności obydwu próbek E(5[0 + 5[1) była jak 5Y najmniejsza. Okazuje się, że zależy ona od wartości 5[0 i współczynnika 5P = . Wartości E(5[0 + 5[1) 5 przy ustalonym poziomie ufności 1 - a są stablicowane. 1 - a = 0.95 c 5[0 - 1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 240 388 241 120 392 121 80 396 101 81 60 400 100 61 61 50 403 101 53 51 40 408 102 48 41 41 30 417 104 47 32 31 20 435 109 48 28 22 21 10 496 124 55 31 20 15 12 11 5 661 165 73 41 46 18 14 11 9 8 664 96 43 24 15 11 8 6 5 4 minE(5[0 + 5[1) Np. 1. Czasy wyładowania ośmiu baterii z partii wynosiły: 212, 215, 205, 214, 216, 208, 210, 215. Zakładając, że czas wyładowania ma rozkład normalny, wyznacz minimalna liczbę pomiarów, jakich należy jeszcze dokonad, aby otrzymad 95% realizację przedziału ufności dla wartości oczekiwanej nie przekraczającego długości 4. otrzymujemy 5e = 211.875, 5`2 = 8.313, l = 2, 5a0.05 = 5 0.975 = 2.365 dla rozkładu t-Studenta o 7 stopniach swobody p 0.9 0.95 0.975 0.99 0.995 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499 5 5] zatem 2 2.365 5X = " 8.313 + 1 = 12.62 2 ponieważ 5X - 5[0 = 4.62 > 0, to należy dokonad jeszcze 5[1 = 12.62 - 8 + 1 = 5 pomiarów 2. Z populacji o rozkładzie normalnym wybrano 21 elementową próbę i otrzymano 5e = 11.3, 5`2 = 11.2. Wyznacz przybliżoną wartośd oczekiwaną liczby obserwacji potrzebnych do wyznaczenia przedziału ufności o długości nie większej niż 2, przyjmując poziom ufności 0.95. Czy licznośd próby została wybrana sensownie? 5Y ponieważ nie znamy s, które jest potrzebne do wyliczenia współczynnika 5P = , przyjmijmy, że 5 1 w przybliżeniu s s, wtedy 5P H" = 0.3 11.2 z tabeli dla 1 - a = 0.95 i 5[0 - 1 = 20 odczytujemy E(5[0 + 5[1) = 48 aby wartośd ta była bliższa wartości minimalnej 43 można uznad, że lepsza byłaby licznośd początkowa próby 5[0 = 31 Model IV. populacja ma rozkład dwupunktowy z parametrem p. Szukamy minimalnej liczności próbki, aby przy zadanym poziomie ufności 1 - a maksymalny błąd parametru p nie przekroczył d (d ustalone) 1. jeżeli znamy rząd wielkości parametru p, to minimalną licznośd próby wyznaczamy ze wzoru 5b5 25]5^ 5[ e" , 5Q2 gdzie 5b5 jest kwantylem rzędu 1 - 5 rozkładu normalnego N(0,1), a p spodziewanym rzędem 2 wielkości parametru p 2. jeżeli nie znamy rzędu wielkości parametru p, to przyjmujemy, że pq = 0.25 (największa możliwa wartośd) i minimalną licznośd próby wyznaczamy ze wzoru 5b5 2 5[ e" , 45Q2 przy czym licznośd ta jest dla p ą 0.5 za duża, czyli maksymalny błąd szacunku jest mniejszy od d. Np. Ilu należy wylosowad studentów pewnej uczelni, by oszacowad procent palaczy z błędem maksymalnym 5% przy poziomie ufności 0.95, jeżeli przypuszcza się, że szacowany procent palaczy jest rzędu 70%. 5b0.05 = 5 0.975 = 1.96 2 1.96 " 0.7 " 0.3 5[ e" = 322.69 2 0.05 czyli należy wylosowad próbę 323 studentów. Przedział tolerancji: Niech cecha X badanej populacji ma rozkład o gęstości f oraz (5K1, 5K2, & , 5K5[) będzie próbą prostą z tej populacji. Def. Przedział (5?1, 5?2) nazywamy 100p% przedziałem tolerancji zmiennej X na poziomie ufności 5?2 1 - a 5?1 = 5?1(5K1, 5K2, & , 5K5[) i 5?2 = 5?2(5K1, 5K2, & , 5K5[) oraz 5C 5S 5e 5Q5e > 5] = 1 - 5 5?1 ponieważ 5?1 i 5?2 są zmiennymi losowymi, to frakcja elementów populacji zawartych miedzy losowymi granicami 5?1 i 5?2: 5?2 5J = 5S 5e 5Q5e 5?1 też jest zmienną losową. Jeżeli przedział tolerancji jest nieograniczony ( - Ą, 5?2 ) lub ( 5?1 , Ą ), to nazywamy go jednostronnym przedziałem tolerancji. Jeżeli uporządkujemy próbę rosnąco ze względu na jej wartości otrzymując statystyki pozycyjne (5K12 , 5K22 , & , 5K5[2 ) takie, że 5e12 d" 5e22 d" " d" 5e5[2 , to rozkład statystyki 5K5X2 2 5J = 5S 5e 5Q5e , dla 1 Ł 5X1 < 5X2 Ł n 5K5X1 2 jest rozkładem beta z parametrami 5X2 - 5X1 i n - 5X2 + 5X1 - 1i nie zależy od rozkładu zmiennej X. Jeśli dla ustalonych wartości p i a znajdziemy n, 5X1 i 5X2 takie, że P(W > p) = 1 - a, to przedział 2 2 (5K5X1, 5K5X2) jest 100p% nieparametrycznym przedziałem tolerancji na poziomie ufności 1 - a. W praktyce przyjmujemy 5X1 = 1 i 5X2 = 5[, a nieznaną licznośd próby n znajdujemy z relacji 1 - 5[5]5[;1 + 5[ - 1 5]5[ e" 1 - 5 2 2 Tak otrzymana liczba n jest minimalną licznością próby, aby przedział (5K1, 5K5[) był 100p% przedziałem tolerancji na poziomie ufności nie mniejszym niż 1 - a. Minimalne wartości n spełniające powyższą nierównośd, dla pewnych wartości parametrów p i a są stablicowane. Niech rozkład cechy X będzie normalny N(m,s) o nieznanych m i s. Dla danych a i p można znalezd taką liczbę k(a,n,p), aby przedział ( 5K - k(a,n,p)5F, 5K + k(a,n,p)5F ) był 100p% przedziałem tolerancji na poziomie ufności 1 - a. Wartości k(a,n,p) dla niektórych a, n, p są stablicowane. Dla danych a i p można znalezd taką liczbę 5X1(a,n,p), aby przedział ( 5K - 5X1(a,n,p)5F, Ą ) lub ( - Ą , 5K + 5X1(a,n,p)5F ) był jednostronnym 100p% przedziałem tolerancji na poziomie ufności 1 - a. Wartości 5X1(a,n,p) dla niektórych a, n, p są stablicowane. Np. 1. Pewien zakład produkuje wałki o nominalnej średnicy 15 mm. Dla pobranych losowo 10 sztuk średnice wynosiły: 14.987, 15.004, 15.033, 14.985, 14.979, 14.995, 15.01, 15.012, 14.997, 15.019 Zakładając, że rozkład średnic jest normalny na poziomie ufności 0.95 znajdz 90% przedział tolerancji dla próbki. Czy proces technologiczny jest poprawny, jeśli norma dopuszcza proces, w którym 90% wałków mieści się w granicach od 14.95 do 15.05 obliczamy x = 15.0021, 5` = 0.0168 z tablicy dla a = 0.05, p = 0.9 i n = 10 odczytujemy wartośd k = 2.839 p n 0.75 0.9 0.95 0.99 10 1.987 2.839 3.379 4.433 szukany przedział tolerancji (5?1, 5?2) = ( 14.955 , 15.05 ) ponieważ przedział tolerancji mieści się w granicach normy, to proces technologiczny jest poprawny 2. Ilu elementową próbę należy pobrad, aby na poziomie ufności 0.99 otrzymad 98% 2 2 nieparametryczny przedział tolerancji (5K1, 5K5[ ) ? p = 0.9 , a = 0.01, z tablic odczytujemy minimalną wartośd n = 330 0.975 0.98 0.99 0.995 1-a p 0.99 263 330 662 1325