1.Podaj definicje i przykład przestrzeni probabilistycznej. 2.Wiedząc, że zmienna losowa X ma gęstość prawdopodobieństwa określoną wzorem [ f(x) =ax+bx^2 ; 0<=x<=2 =0 ; poza ] oraz, że EX=1, wyznaczyć dystrybuantę i medianę tej zmiennej. 3.Niech ro(X,Y) oznacza współczynnik korelacji dwuwymiarowej zmiennej losowej. Udowodnić, że dla każdych a b należących do R : ro(X,aY+b)=ro(X,Y)
zestaw 2
1.podaj i udowodnij nierownosc schwarza. 2. wyprowadz wzor na wartosc oczekiwana zmiennej losowej o rozkladzie wykladniczym z parametrem lambda 3. koszt K pewniej operwacji jest rowny kwadratowi calkowitego czasu jej zakonczenia. Operacja jest dwuetapowa, przy czym czas X zakonczenia pierwszego etapu i Y drugiego etapu sa zmiennymi losowymi skorelowanymi o wspolczynniku korelacji ro. Obliczyc wartosc oczekiwana kosztu K wiedzac ze EX=EY=alfa DX=DY=beta
zestaw3
1.podaj i udoiwodnij wzor na prawdopodobienstwo calkowite. 2.wyznaczyc dystrybuante zmiennej losowej Z-X-Y wiedzac ze X i Y sa niezaleznymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkladnie, przyjmujacymi wartosci 1,2,3 i takimi ze EX=1,75 i EX~2=3,75 3. wykorzystujac wlasciwosci funkcji charakterystycznej wyznaczyc rozklad sumy n niezaleznych zmiennych losowych o rozkladzie dwuwymiarowym z parametrem n,p
zestaw4
1.podaj i udowodnij nierownosc Jensena. 2.podaj i udowodnij warunek dostateczny niezaleznosci zmiennych losowych skokowych. 3. czas X zakonczenia pierwszego etapu i czas Y zakonczenia drugiego etapupewniej operacji sa zmiennycmi losowymi skorelowanymi o wspolczynniku korelacji ro. Obliczyc drugi moment zwykly calkowtego czasu zakonczenia tej operacji wiedzac ze EX=EY=alfa DX=DY=beta x